Ein Fallschirmsprung ist in der Praxis kein freier Fall. Sowohl bei geschlossenem als auch bei geöffnetem Schirm spielt die Luftreibung eine entscheidende Rolle. Auch die Höhe des Springers hat einen Einfluss auf den genauen Ablauf des Fallschirmsprungs.
Einfluss der Reibungskraft
Auf den Fallschirmspringer wirkt die Gewichtskraft \(F_g = m \cdot g\), die wir zunächst als konstant annehmen, und die Reibungskraft \(F_r\). Die Reibungskraft ist nicht konstant, sondern hängt von der Geschwindigkeit des fallenden Körpers ab. Für die Reibungskraft \(F_r(v)\) gilt in guter Näherung:
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\[ F_r(v) = \frac{1}{2} \cdot c_w \cdot \rho_L \cdot A \cdot v^2 \]
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Dabei ist
- \(c_w\): Widerstandsbeiwert (reine Zahl) für den der Wert \(1{,}11\) angenommen wird.
- \(A\): Fläche des fallenden Gegenstandes; bei zusammengepacktem Fallschirm wird \(A = 1{,}0\,\rm{m^2}\) angenommen Bei entpacktem Fallschirm \(A = 40\,\rm{m^2}\).
- \(\rho_L\): Luftdichte \(1{,}23 \rm{\frac{kg}{m^3}}\).
- \(v\): Fallgeschwindigkeit.
Joachim Herz Stiftung
Für die resultierende Kraft \(F_{res}\) und die daraus sich ergebende Beschleunigung \(a\) gilt dann:
\[\begin{align}
F_{res} = & \; F_g - F_r \tag{1} \\
\Rightarrow \quad F_{res} = & \; m \cdot g - \frac{1}{2} \cdot c_w \cdot \rho_L \cdot A \cdot v^2 \tag{2} \\
m \cdot a = & \; m \cdot g - \frac{1}{2} \cdot c_w \cdot \rho_L \cdot A \cdot v^2 \tag{3} \\
\Rightarrow a = & \; g - \frac{c_w \cdot \rho_L \cdot A \cdot v^2}{2 \cdot m} \tag{4}
\end{align}\]
An der letzten Zeile kannst du sehen, dass beim freien Fall mit Reibung keine konstante Beschleunigung vorliegt. Die Beschleunigung \(a\) hängt noch von der Geschwindigkeit \(v\) des Körpers ab. Du kannst also nicht mit den Gleichungen für die konstant beschleunigte Bewegung arbeiten.
Excel-Simulation mit Berücksichtigung der Reibungskraft
Das folgende Tabellenblatt in Excel ermöglicht es einen Fallschirmsprung zu simulieren. Dabei kannst du die für den Sprung zentralen Parameter variieren und siehst die Auswirkungen sowohl rechnerisch als auch in entsprechenden \(t\text{-}x\)-, \(t\text{-}v\)- und \(t\text{-}a\)-Diagrammen. Zur Simulation wird dabei die Methode der kleinen Schritte genutzt.
Aufgaben
Aufgabe
Mache dir das Rechenverfahren auf dem beigefügten Tabellenblatt klar und studiere den Aufbau der Simulation, indem du die Zellen der ersten beiden Zeilen anklickst.
a)Ermittle, nach welcher Fallhöhe und welcher Fallzeit der Springer bei nicht geöffnetem Schirm (\(A = 1{,}0 \,\rm{m^2}\) ) eine nahezu konstante Geschwindigkeit erreicht.
b)Ermittle, wie groß die bei Teilaufgabe a) angesprochene Geschwindigkeit bei \(A = 1{,}0\,\rm{m^2}\) bzw. bei \(A = 0{,}80\,\rm{m^2}\) ist.
c)Ermittle den Betrag der konstanten Endgeschwindigkeit bei geöffnetem Fallschirm, also \(A = 40\,\rm{m^2}\).
d)Untersuche oder berechne, aus welcher Höhe jemand frei, also ohne Luftreibung, fallen müsste, damit der die bei c) berechnete Endgeschwindigkeit hat.