Freier Fall - Senkrechter Wurf

Mechanik

Freier Fall - Senkrechter Wurf

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von Justus Sustermans [Public domain],
via Wikimedia Commons

Wirkt auf einen Körper nur die Gewichtskraft \({\vec F_{\rm{G}}}\), so bewirkt diese Kraft eine geradlinige, konstant beschleunigte Bewegung in Richtung auf den Erdmittelpunkt zu. Diese Bewegung nennt man in der Physik den Freien Fall.

Die von der Gewichtskraft bewirkte Beschleunigung \(\vec a\) hat überall auf der Erdoberfläche in etwa den gleichen Betrag von \(9,8\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}\). In Würdigung der Verdienste von Galileo GALILEI um diese Erkenntnis wird diese besondere Beschleunigung mit "\(g\)" bezeichnet.

Etwas salopp sagt man auch "alle Körper fallen gleich schnell". Etwas genauer müsste man sagen: "Bei fehlender Reibung und bei ausschließlichem Wirken der Gewichtskraft erfahren alle Körper (unabhängig von ihrer Masse) die gleiche Beschleunigung."

Zunächst könnte man meinen, dass ein Körper mit einer größeren Masse (Körper A), der dann auch eine größere Gewichtskraft hat, eine höhere Beschleunigung erfahren müsste, als ein Körper mit geringerer Masse (Körper B). Dies ist aber nicht so. Körper A erfährt zwar eine größere beschleunigende Kraft als Körper B. Jedoch hat Körper A auch eine größere träge Masse als Körper B, so dass sich nach dem Kraftgesetz von NEWTON beim Freien Fall für beide Körper die gleiche Beschleunigung  ergibt.

Die folgende Animation stellt den zeitlichen Verlauf eines Freien Falls dar. Auf der linken Seite sind die Bewegungsgleichungen für den Freien Fall und die dazugehörigen Diagramme für den Fall dargestellt, dass die Ortsachse (y-Achse) nach oben orientiert ist. Häufig wird der Freie Fall mit einer nach unten orientierten Ortsachse (y-Achse) dargestellt. Die entsprechenden Bewegungsgleichungen und Diagramme sind in der rechten Seite dargestellt.

Hinweis: Oft wird die Ortsachse als h-Achse (Höhenachse) bezeichnet. Im Prinzip ist man aber bei der Wahl der Achsenbezeichnung frei, in Anlehnung an die Mathematik haben wir die vertikale Achse als y-Achse (Hochwert-Achse) bezeichnet.

2 Freier Fall eines Körpers und die dazugehörigen Zeit-Orts-, Zeit-Geschwindigkeits- und Zeit-Beschleunigungsgraphen in verschiedenen Koordinatensystemen

Bewegungsgesetze des Freien Falls

Für den Freien Fall eines Körpers, d.h. die Bewegung des Körpers unter alleinigem Einfluss der Erdanziehungskraft (und ohne Anfangsgeschwindigkeit) gelten die folgenden Bewegungsgesetze:

  Ortsachse nach oben orientiert Ortsachse nach unten orientiert
Zeit-Orts-Gesetz \[{y(t) = {y_0} - \frac{1}{2} \cdot g \cdot {t^2}}\] \[{y(t) = \frac{1}{2} \cdot g \cdot {t^2}}\]
Zeit-Geschwindigkeits-Gesetz \[{{v_y}(t) =  - g \cdot t}\] \[{{v_y}(t) = g \cdot t}\]
Zeit-Beschleunigungs-Gesetz \[{{a_y}(t) = - g}\] \[{{a_y}(t) = g}\]

 

Aufgabe

Zeige für die Beschreibung des Freien Falls mit einer nach oben orientierten Ortsachse, dass sich die Fallzeit (das ist die Zeitspanne vom Loslassen des Körpers bis zu dessen Auftreffen auf dem Boden) \({t_{\rm{F}}} = \sqrt {\frac{{2 \cdot {y_0}}}{g}} \) ergibt.

Aufgabe (mit höherem mathematischem Anspruch)

Aus der Kombination von Zeit-Orts-Gesetz und Zeit-Geschwindigkeits-Gesetz kann man durch Elimination der Zeit eine Beziehung zwischen der Geschwindigkeit und dem Ort, ein sogenanntes Orts-Geschwindigkeits-Gesetz erhalten.

a)

Zeige, dass sich bei der Beschreibung des Freien Falls mit einer nach oben orientierten Ortsachse das Orts-Geschwindigkeits-Gesetz
\[v_y^2 = 2 \cdot g \cdot \left( {{y_0} - y} \right)\]
ergibt.

b)

Zeige, dass sich bei der Beschreibung des Freien Falls mit einer nach unten orientierten Ortsachse das Orts-Geschwindigkeits-Gesetz
\[v_y^2 = 2 \cdot g \cdot y\]
ergibt.

Gelegentlich kommt es vor, dass ein Körper mit einer nach unten gerichteten Anfangsgeschwindigkeit \({v_{y0}}\) lotrecht nach unten geworfen wird. Diese Bewegung nennt man in der Physik einen "Wurf nach unten".

Die folgende Animation stellt den zeitlichen Verlauf eines solchen "Wurf nach unten" dar. Auf der linken Seite sind die Bewegungsgleichungen für den Wurf nach unten und die dazugehörigen Diagramme für den Fall dargestellt, dass die Ortsachse (y-Achse) nach oben orientiert ist. Häufig wird der Wurf nach unten mit einer nach unten orientierten Ortsachse (y-Achse) dargestellt. Die entsprechenden Bewegungsgleichungen und Diagramme sind in der rechten Seite dargestellt.

Hinweis: Oft wird die Ortsachse als h-Achse (Höhenachse) bezeichnet. Im Prinzip ist man aber bei der Wahl der Achsenbezeichnung frei, in Anlehnung an die Mathematik haben wir die vertikale Achse als y-Achse (Hochwert-Achse) bezeichnet.

3 Nach unten geworfener Körper und die dazugehörigen Zeit-Orts-, Zeit-Geschwindigkeits- und Zeit-Beschleunigungsgraphen in verschiedenen Koordinatensystemen

Bewegungsgesetze des "Wurfs nach unten"

Für den "Wurf nach unten", d.h. die Bewegung des Körpers unter alleinigem Einfluss der Erdanziehungskraft mit einer nach unten gerichteten Anfangsgeschwindigkeit gelten die folgenden Bewegungsgesetze:

  Ortsachse nach oben orientiert Ortsachse nach unten orientiert
Zeit-Orts-Gesetz \[{y(t) = {y_0} - {v_{y0}} \cdot t - \frac{1}{2} \cdot g \cdot {t^2}}\] \[{y(t) = {v_{y0}} \cdot t + \frac{1}{2} \cdot g \cdot {t^2}}\]
Zeit-Geschwindigkeits-Gesetz \[{{v_y}(t) =  - {v_{y0}} - g \cdot t}\] \[{{v_y}(t) = {v_{y0}} + g \cdot t}\]
Zeit-Beschleunigungs-Gesetz \[{{a_y}(t) = - g}\] \[{{a_y}(t) = g}\]

 

Aufgabe (mit höherem mathematischem Anspruch)

Zeige für die Beschreibung des Wurfs nach unten mit einer nach oben orientierten Ortsachse, dass sich die Fallzeit (das ist die Zeitspanne vom Loswerfen des Körpers bis zu dessen Auftreffen auf dem Boden) \({t_{\rm{F}}} = \frac{{ - {v_{y0}} + \sqrt {v_{y0}^2 + 2 \cdot g \cdot {y_0}} }}{g}\) ergibt.

Aufgabe (mit höherem mathematischem Anspruch)

Aus der Kombination von Zeit-Orts-Gesetz und Zeit-Geschwindigkeits-Gesetz kann man durch Elimination der Zeit eine Beziehung zwischen der Geschwindigkeit und dem Ort, ein sogenanntes Orts-Geschwindigkeits-Gesetz erhalten.

a)

Zeige, dass sich bei der Beschreibung des Wurfs nach unten mit einer nach oben orientierten Ortsachse das Orts-Geschwindigkeits-Gesetz
\[v_y^2 - v_{y0}^2 = 2 \cdot g \cdot \left( {{y_0} - y} \right)\]
ergibt.

b)

Zeige, dass sich bei der Beschreibung des Wurfs nach unten mit einer nach unten orientierten Ortsachse das Orts-Geschwindigkeits-Gesetz
\[v_y^2 - v_{y0}^2 = 2 \cdot g \cdot y\]
ergibt.

Häufiger als der "Wurf nach unten" kommt es vor, dass ein Körper mit einer nach oben gerichteten Anfangsgeschwindigkeit \({v_{y0}}\) lotrecht nach oben geworfen wird. Diese Bewegung nennt man in der Physik einen "Wurf nach oben".

Die folgende Animation stellt den zeitlichen Verlauf eines solchen "Wurf nach oben" dar. Die Bewegungsgleichungen für den Wurf nach oben und die dazugehörigen Diagramme sind für den Fall dargestellt, dass die Ortsachse (y-Achse) nach oben orientiert ist und sich die "Abwurfstelle" am Nullpunkt der Ortsache befindet. Die Größen \(t_{\rm{S}}\) und \(y_{\rm{S}}\) in der Animation bezeichnen Steigzeit (Zeitspanne von "Abwurf" bis zum Erreichen der größten Höhe) und Steighöhe (größte Höhe) des Körpers.

Hinweis: Oft wird die Ortsachse als h-Achse (Höhenachse) bezeichnet. Im Prinzip ist man aber bei der Wahl der Achsenbezeichnung frei, in Anlehnung an die Mathematik haben wir die vertikale Achse als y-Achse (Hochwert-Achse) bezeichnet.

4 Nach oben geworfener Körper und die dazugehörigen Zeit-Orts-, Zeit-Geschwindigkeits- und Zeit-Beschleunigungsgraphen

Bewegungsgesetze des "Wurfs nach oben"

Für den "Wurf nach oben", d.h. die Bewegung des Körpers unter alleinigem Einfluss der Erdanziehungskraft mit einer nach oben gerichteten Anfangsgeschwindigkeit gelten die folgenden Bewegungsgesetze:

  Ortsachse nach oben orientiert
Zeit-Orts-Gesetz \[{y(t) = {v_{y0}} \cdot t - \frac{1}{2} \cdot g \cdot {t^2}}\]
Zeit-Geschwindigkeits-Gesetz \[{{v_y}(t) =  {v_{y0}} - g \cdot t}\]
Zeit-Beschleunigungs-Gesetz \[{{a_y}(t) = - g}\]

 

Aufgabe

a)

Zeige, dass sich beim Wurf nach oben die Steigzeit \(t_{\rm{S}} = \frac{v_{y0}}{g}\) ergibt.

b)

Zeige, dass sich beim Wurf nach oben die Steighöhe \({y_{\rm{S}}} = \frac{{v_{y0}^2}}{{2 \cdot g}}\) ergibt.

Aufgabe (mit höherem mathematischem Anspruch)

Aus der Kombination von Zeit-Orts-Gesetz und Zeit-Geschwindigkeits-Gesetz kann man durch Elimination der Zeit eine Beziehung zwischen der Geschwindigkeit und dem Ort, ein sogenanntes Orts-Geschwindigkeits-Gesetz erhalten.

Zeige, dass sich bei der Beschreibung des Wurfs nach oben mit einer nach oben orientierten Ortsachse das Orts-Geschwindigkeits-Gesetz
\[v_y^2 - v_{y0}^2 = - 2 \cdot g \cdot  y\]
ergibt.

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