Freier Fall - Senkrechter Wurf

Mechanik

Freier Fall - Senkrechter Wurf

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Bungeespringen

Zunehmend mehr Menschen suchen in ihrer Freizeit die "besondere Herausforderung" und wenden sich Unternehmungen zu, die ihren Adrenalinspiegel steigen lässt. Zu diesen Aktivitäten zählt sicher auch das Bungee-Springen, bei dem man von einem Kran, einer Brücke, einer Staumauer ... angebunden an ein dickes Gummiseil in die Tiefe stürzt.

So kann man z.B. in der Nähe von Innsbruck von der \(192 \mathrm{m}\) hohen Europa-Brücke abspringen (vgl. nebenstehendes Bild).

 

Das Bungee-Seil besteht aus einer Vielzahl von Gummifäden (je nach Tragkraft 1000 - 1300 Fäden). Bessere Bungee-Seile haben zusätzlich einen Dehnungsbegrenzer eingebaut. Ein Dehnungsbegrenzer ist ein am Gummiseil wellenartig angebrachtes, leicht elastisches Gewebeband, das beim Sprung zunächst die normale Dehnung des Gummis nicht hindert. Bei übermäßiger Dehnung des Gummibandes oder einem Abriss des Gummibandes verhindert das Gewebeband den Absturz des Springers.

Fallschirmsprung mit Luftreibung

Beim Fallschirmsprung spielt die Luftreibung eine entscheidende Rolle! Auf den Fallschirmspringer wirkt die konstante Gewichtskraft \(F_g = m \cdot g\) und die geschwindigkeitsabhängige Reibungskraft \(F_r(v)\), für die in guter Näherung gilt:

\[ F_r(v) = \frac{1}{2} \cdot c_w \cdot \rho_L \cdot A \cdot v^2 \]
  • \(c_w\): Widerstandsbeiwert (reine Zahl) für den der Wert \(1,11\) angenommen wird
  • \(A\): Fläche des fallenden Gegenstandes; bei zusammengepacktem Fallschirm wird \(A = 1,0 \mathrm{m^2}\) angenommen Bei entpacktem Fallschirm \(A = 40 \mathrm{m^2}\)
  • \(\rho_L\): Luftdichte \(1,23 \mathrm{\frac{kg}{m^3}}\)
  • \(v\): Fallgeschwindigkeit

Für die resultierende Kraft und die daraus sich ergebende Beschleunigung gilt dann:

\[ F_{res} = F_g - F_r \quad \Rightarrow \quad F_{res} = m \cdot g - \frac{1}{2} \cdot c_w \cdot \rho_L \cdot A \cdot v^2 \\
m \cdot a = m \cdot g - \frac{1}{2} \cdot c_w \cdot \rho_L \cdot A \cdot v^2 \quad \Rightarrow \\
a = g - \frac{c_w \cdot \rho_L \cdot A \cdot v^2}{2 \cdot m} \]

An der letzten Zeile sieht man, dass beim freien Fall mit Reibung keine konstante Beschleunigung vorliegt (\(a\) hängt noch von \(v\) ab!). Man kann also nicht mit den Gleichungen für die konstant beschleunigte Bewegung arbeiten.

Fallschirmsprung mit Luftreibung
a) Machen Sie sich das Rechenverfahren auf dem beigefügten Tabellenblatt klar und studieren Sie den Aufbau der Simulation, indem Sie die Zellen der ersten beiden Zeilen anklicken.
b) Nach welcher Fallhöhe und welcher Fallzeit erreicht der Springer bei nicht geöffnetem Schirm (\(A = 1,0 \mathrm{m^2}\) ) eine nahezu konstante Geschwindigkeit?
c) Wie groß ist die bei Teilaufgabe b) angesprochene Geschwindigkeit bei \(A = 1,0 \mathrm{m^2}\)  bzw. bei \(A = 0,80 \mathrm{m^2}\) ?
d) Wie groß ist die konstante Endgeschwindigkeit bei \(A = 40 \mathrm{m^2}\) (geöffneter Fallschirm)?
e) Aus welcher Höhe müsste jemand frei fallen (keine Luftreibung), damit der die bei d) berechnete Endgeschwindigkeit hat?

zum Tabellenblatt

Weltrekordsprung aus Atmosphäre

Geschichte

Der französische Fallschirmspringer Michel Fournier verfolgte lange Zeit das Ziel mit einem Stratosphärenballon in ca. 40.000 m Höhe aufzusteigen und von dort abzuspringen. Dabei wollte er vier Weltrekorde auf einmal brechen (siehe unten). Alle Versuche scheiterten jedoch. Die Graphik zeigt die Phasen des geplanten Weltrekordsprungs von Michel Fournier.

Mögliche Rekorde

1. Den Höhenrekord mit einem Sprung aus \(40.000\,{\rm m}\) Höhe. Diesen hielt offiziell der russische Offizier Roger Eugène Andreyev mit einem Sprung aus \(24.483\,{\rm m}\) Höhe, den er am 1. November 1962 durchführte. Captain Joseph Kittinger machte am 16. August 1960 einen Sprung aus \(31.333\,{\rm m}\) Höhe während eines wissenschaftlichen Versuches, der allerdings nicht als Rekord anerkannt wurde, da der Fall mit Hilfe eines kleinen Hilfsschirm stabilisiert wurde.
2. Die größte Höhe, die jemals ein Mensch mit einem Ballon erreicht hat. Er gab an etwa zwei Stunden zu brauchen, um mit seinem Stratosphären-Ballon auf \(40.000\,{\rm m}\) aufzusteigen. Frühere Rekordhalter sind Malcom Ross (USA), der mit seinem Ballon im Mai 1962 eine Höhe von \(34.668\,{\rm m}\) erreichte, und Nick Piantanida (USA) der am 2. Februar 1966 auf \(37.000\,{\rm m}\) aufstieg.
3. Der dritte Rekord sollte die Freifallgeschwindigkeit sein. Er wollte als erster Mensch im freien Fall die Schallmauer durchbrechen und eine Endgeschwindigkeit von \(1791\,{\rm km/h}\) erreichen.
4. Der vierte Rekord sollte die Dauer des Freifalls sein. 6 Minuten und 25 Sekunden wollte Michel Fournier der Erde entgegenfallen.

Aktuelle Entwicklungen

Am 14. Oktober 2012 hat der Österreicher Felix Baumgarten einen solchen Stratosphärensprung durchgeführt. Er stieg bei Roswell, New Mexico (USA) mit einem Heliumballon in einer Druckkapsel in die Stratosphäre auf und sprang dann mit Schutzanzug und Fallschirm ab.
Er erreichte dabei folgende Werte:

1. Den mit \(39.045\,{\rm m}\) höchste Absprung eines Fallschirmsprungs.
2. Den mit \(36.529\,{\rm m}\) längsten freien Fall.
3. Die mit \(1342,87\,{\rm km/h}\) höchste im freien Fall erreichte Geschwindigkeit ohne Stabilisierungsschirm.

Doch der Höhenrekord ist inzwischen auch bereits Geschichte. Am 24. Oktober 2014 machte Alan Eustace im Rahmen seines StratEx-Projektes einen Stratosphärensprung aus \(41.419\,{\rm m}\) Höhe und brach damit den Höhenrekord. Auf dem Weg zur Erde war Eustace mit \(1323\,{\rm km/h}\) zwar etwas langsamer als Baumgartner, durchbrach aber als zweiter Mensch im freien Fall die Schallmauer.

Berechne den Höhenunterschied, den man ohne Luftwiderstand durchfallen müsste, um die Schallgeschwindigkeit von 344 m/s zu erreichen.

Berechne, wie groß die Luftdichte \(\rho_L\) höchstens sein darf, damit ein Körper der Masse \(100 \mathrm{kg}\), der Querschnittsfläche \(A = 1,0 \mathrm{m^2}\) und dem Widerstandsbeiwert  \(c_w = 0,35\) (Halbkugel) die Schallgeschwindigkeit \(v_s = 344 \mathrm{\frac{m}{s}}\) erreicht, wenn die Luftwiderstandskraft sich aus \(F_r(v) = \frac{1}{2} \cdot c_w \cdot \rho_L \cdot A \cdot v^2\) errechnet.

Entnimm der nebenstehenden Grafik, in welcher Höhe diese Dichte etwa erreicht ist.

Berechne, welche Größe (Volumen und Radius) der mit Helium gefüllte Stratosphärenballon mindestens haben müsste, damit er die Last von Ausrüstung und Ballonhülle von ca. \(1000 \mathrm{kg}\) (siehe Korb oben) in \(40 000 \mathrm{m}\) Höhe hebt.

Berechne weiter, wie viel Kilogramm Helium man am Boden einfüllen muss.

 

Freier Fall (Modellbildung)

Modelldiagramm

Modelldiagramm zur Simulation eines freien Falls
Abb.
1
Modelldiagramm zur Simulation eines freien Falls

In Abb. 1 siehst du das Modelldiagramm zur Simulation eines freien Falls.

Um die Bewegung zu beschreiben nutzen wir eine nach oben gerichtete Ortsache mit dem Ursprung auf der Erdoberfläche.

Der fallende Körper soll zum Zeitpunkt \(t_0 = 0\) eine Anfangshöhe \(y_0 > 0\) und die Anfangsgeschwindigkeit \(v_0 = 0\) haben.

Wirkende Kräfte

Auf einen frei fallenden Körper wirkt nur eine einzige Kraft: seine Gewichtskraft \(\vec F_{\rm{G}}\). Deren Betrag berechnet sich aus der Masse \(m\) des Körpers und dem Ortsfaktor \(g\) durch \(m \cdot g\). Da die Gewichtskraft zum Erdboden und damit entgegen der Orientierung der Orsachse gerichtet ist, gilt hier \(F_{\rm{G}} = - m \cdot g\).

Bewegte Masse

Beim freien Fall eines Körpers ändert sich normalerweise seine Masse nicht. Deshalb bleibt die Masse \(m\) konstant.

Kinematik

Die Beschleunigung \(a\) des Körpers berechnen wir nach dem 2. NEWTON'schen Axiom durch \(a = \frac{F_{\rm{G}}}{m}\) und damit nach der Methode der kleinen Schritte die Werte von Geschwindigkeit \(v\) und Ort \(y\).

Programmierung

Zentrale Programmzeilen eines JavaScript-Programms zur Simulation eines freien Falls
Abb.
2
Zentrale Programmzeilen eines JavaScript-Programms zur Simulation eines freien Falls
In Abb. 2 siehst du die zentralen Programmzeilen eines JavaScript-Programms zur Simulation eines freien Falls.

Wir setzen in diesem Beispiel \(dt = 0{,}01\,\rm{s}\), die Masse soll \(m=1{,}0\,\rm{kg}\) und die Anfangshöhe \(y_0 = 10{,}0\,\rm{m}\) betragen.

Das Tabellenblatt führt die Simulation durch und stellt das \(t\)-\(y\)- und das \(t\)-\(v\)-Diagramm dar.

Aufgabe

Bestätige mit Hilfe einer Simulation des freien Falls die Gültigkeit der Formel \({t_{\rm{F}}} = \sqrt {\frac{{2 \cdot {y_0}}}{g}}\) für \(y_0=10{,}0\,\rm{m}\).

Lösung

Mit \(y_0=10{,}0\,\rm{m}\) und \(g = 9{,}81\,\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}\) ergibt sich\[{t_{\rm{F}}} = \sqrt {\frac{{2 \cdot {y_0}}}{g}}  \Rightarrow {t_{\rm{F}}} = \sqrt {\frac{{2 \cdot 10{,}0\,{\rm{m}}}}{{9{,}81\,\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}}}}  = 1{,}43\,{\rm{s}}\]Die Simulation liefert für \(t=1{,}43\,{\rm{s}}\) \(y = 0{,}04\,{\rm{m}}\) und für \(t=1{,}44\,{\rm{s}}\) \(y = -0{,}10\,{\rm{m}}\), was im Rahmen der Rechengenauigkeit der Simulation die Gültigkeit der Formel bestätigt.

Wurf nach unten (Modellbildung)

Modelldiagramm

Modelldiagramm zur Simulation eines Wurfs nach unten
Abb.
1
Modelldiagramm zur Simulation eines Wurfs nach unten

In Abb. 1 siehst du das Modelldiagramm zur Simulation eines Wurfs nach unten.

Um die Bewegung zu beschreiben nutzen wir eine nach oben gerichtete Ortsache mit dem Ursprung auf der Erdoberfläche.

Der nach unten geworfene Körper soll zum Zeitpunkt \(t_0 = 0\) eine Anfangshöhe \(y_0 > 0\) und die Anfangsgeschwindigkeit \(v_0 < 0\) haben.

Wirkende Kräfte

Auf einen nach unten geworfenen Körper wirkt nur eine einzige Kraft: seine Gewichtskraft \(\vec F_{\rm{G}}\). Deren Betrag berechnet sich aus der Masse \(m\) des Körpers und dem Ortsfaktor \(g\) durch \(m \cdot g\). Da die Gewichtskraft zum Erdboden und damit entgegen der Orientierung der Orsachse gerichtet ist, gilt hier \(F_{\rm{G}} = - m \cdot g\).

Bewegte Masse

Beim einem nach unten geworfenen Körper ändert sich normalerweise seine Masse nicht. Deshalb bleibt die Masse \(m\) konstant.

Kinematik

Die Beschleunigung \(a\) des Körpers berechnen wir nach dem 2. NEWTON'schen Axiom durch \(a = \frac{F_{\rm{G}}}{m}\) und damit nach der Methode der kleinen Schritte die Werte von Geschwindigkeit \(v\) und Ort \(y\).

Programmierung

Zentrale Programmzeilen eines JavaScript-Programms zur Simulation eines Wurfs nach unten
Abb.
2
Zentrale Programmzeilen eines JavaScript-Programms zur Simulation eines Wurfs nach unten

In Abb. 2 siehst du die zentralen Programmzeilen eines JavaScript-Programms zur Simulation eines Wurfs nach unten.

Wir setzen in diesem Beispiel \(dt = 0{,}01\,\rm{s}\), die Masse soll \(m=1{,}0\,\rm{kg}\), die Anfangshöhe \(y_0 = 10{,}0\,\rm{m}\) und die Anfangsgeschwindigkeit \({v_0} = -5{,}0\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\) betragen.

Das Tabellenblatt führt die Simulation durch und stellt das \(t\)-\(y\)- und das \(t\)-\(v\)-Diagramm dar.

Aufgabe

Bestätige mit Hilfe einer Simulation des Wurfs nach unten die Gültigkeit der Formel \({t_{\rm{F}}} = \frac{{ - {v_{y0}} + \sqrt {v_{y0}^2 + 2 \cdot g \cdot {y_0}} }}{g}\) für \(y_0=10{,}0\,\rm{m}\) und \(v_{y0} = -5{,}00\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\).

Lösung

Mit \(y_0=10{,}0\,\rm{m}\),  \(v_{y0} = -5{,}0\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\) und \(g = 9{,}81\,\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}\) ergibt sich\[{t_{\rm{F}}} = \frac{{ - {v_{y0}} + \sqrt {v_{y0}^2 + 2 \cdot g \cdot {y_0}} }}{g} \Rightarrow {t_{\rm{F}}} = \frac{{ - \left( { - 5{,}00\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}} \right) + \sqrt {{{\left( { - 5{,}00\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}} \right)}^2} + 2 \cdot 9{,}81\,\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} \cdot 10{,}0\,{\rm{m}}} }}{{9{,}81\,\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}}} = 2{,}03\,{\rm{s}}\]Die Simulation liefert für \(t=2{,}04\,{\rm{s}}\) \(y = 0{,}09\,{\rm{m}}\) und für \(t=2{,}05\,{\rm{s}}\) \(y = -0{,}01\,{\rm{m}}\). Hier macht sich die numerische Ungenauigkeit der Simulation bemerkbar. Durch eine Verkleinerung der Schrittweite \({\Delta t}\) kannst du aber die Rechengenauigkeit der Simulation erhöhen und dann die Gültigkeit der Formel bestätigen.

Wurf nach oben (Modellbildung)

Modelldiagramm

Modelldiagramm zur Simulation eines Wurfs nach oben
Abb.
1
Modelldiagramm zur Simulation eines Wurfs nach oben

In Abb. 1 siehst du das Modelldiagramm zur Simulation eines Wurfs nach oben.

Um die Bewegung zu beschreiben nutzen wir eine nach oben gerichtete Ortsache mit dem Ursprung auf der Erdoberfläche.

Der nach oben geworfene Körper soll zum Zeitpunkt \(t_0 = 0\) die Anfangshöhe \(y_0 = 0\) und die Anfangsgeschwindigkeit \(v_0 > 0\) haben.

Wirkende Kräfte

Auf einen nach oben geworfenen Körper wirkt nur eine einzige Kraft: seine Gewichtskraft \(\vec F_{\rm{G}}\). Deren Betrag berechnet sich aus der Masse \(m\) des Körpers und dem Ortsfaktor \(g\) durch \(m \cdot g\). Da die Gewichtskraft zum Erdboden und damit entgegen der Orientierung der Orsachse gerichtet ist, gilt hier \(F_{\rm{G}} = - m \cdot g\).

Bewegte Masse

Beim einem nach oben geworfenen Körper ändert sich normalerweise seine Masse nicht. Deshalb bleibt die Masse \(m\) konstant.

Kinematik

Die Beschleunigung \(a\) des Körpers berechnen wir nach dem 2. NEWTON'schen Axiom durch \(a = \frac{F_{\rm{G}}}{m}\) und damit nach der Methode der kleinen Schritte die Werte von Geschwindigkeit \(v\) und Ort \(y\).

Programmierung

Zentrale Programmzeilen eines JavaScript-Programms zur Simulation eines Wurfs nach oben
Abb.
2
Zentrale Programmzeilen eines JavaScript-Programms zur Simulation eines Wurfs nach oben

In Abb. 2 siehst du die zentralen Programmzeilen eines JavaScript-Programms zur Simulation eines Wurfs nach oben.

Wir setzen in diesem Beispiel \(dt = 0{,}01\,\rm{s}\), die Masse soll \(m=1{,}0\,\rm{kg}\) und die Anfangsgeschwindigkeit \({v_0} = 10{,}0\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\) betragen.

Das Tabellenblatt führt die Simulation durch und stellt das \(t\)-\(y\)- und das \(t\)-\(v\)-Diagramm dar.

Aufgabe

Bestätige mit Hilfe einer Simulation des Wurfs nach oben die Gültigkeit der Formeln \(t_{\rm{S}} = \frac{v_{y0}}{g}\) und \({y_{\rm{S}}} = \frac{{v_{y0}^2}}{{2 \cdot g}}\) für \(v_{y0} = 10{,}0\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\).

Lösung

Mit \(v_{y0} = 10{,}0\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\) und \(g = 9{,}81\,\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}\) ergibt sich\[{t_{\rm{S}}} = \frac{{{v_{y0}}}}{g} \Rightarrow {t_{\rm{S}}} = \frac{{10{,}0\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}}{{9{,}81\,\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}}} = 1{,}02\,{\rm{s}}\]und\[{y_{\rm{S}}} = \frac{{v_{y0}^2}}{{2 \cdot g}} \Rightarrow {y_{\rm{S}}} = \frac{{{{\left( {10{,}0\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}} \right)}^2}}}{{2 \cdot 9{,}81\,\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}}} = 5{,}10\,{\rm{m}}\]Die Simulation liefert für \(t=1{,}01\,{\rm{s}}\) \(v = 0{,}09\,{\rm{\frac{m}{s}}}\) und für \(t=1{,}02\,{\rm{s}}\) \(v = -0{,}01\,{\rm{\frac{m}{s}}}\) und für beide Zeitpunkte \(y = 5{,}15\,{\rm{m}}\). Hier macht sich die numerische Ungenauigkeit der Simulation bemerkbar. Durch eine Verkleinerung der Schrittweite \({\Delta t}\) kannst du aber die Rechengenauigkeit der Simulation erhöhen und dann die Gültigkeit der Formel bestätigen.

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