Leite allgemein eine Beziehung für die Steigzeit \({t_{\rm{S}}}\) (dies ist die Zeitspanne vom Abwurf bis zum Erreichen des höchsten Punkts des Wurfes) beim lotrechten Wurf nach oben her.
Tipp: Überlege dir, wie groß die Geschwindigkeit im höchsten Punkt des Wurfes ist.
b)
Berechne die Steigzeit für eine Kugel, die mit \(20\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}}\) vertikal nach oben geworfen wird.
c)
Leite allgemein eine Beziehung für die Steighöhe \({y_{\rm{S}}}\) (dies ist die \(y\)-Koordinate des höchsten Punktes des Wurfes) beim lotrechten Wurf nach oben her.
d)
Berechne die Steighöhe für eine Kugel, die mit \(20\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}}\) vertikal nach oben geworfen wird.
Ist die Orientierung der Ortsachse nach oben, so gilt für die Geschwindigkeit
\[{v_y}(t) = {v_{y0}} - g \cdot t\]
Im Umkehrpunkt, der nach der Zeit \({t_{\rm{S}}}\) erreicht sein soll, ist die Geschwindigkeit \({v_y}(t) = 0\). Somit gilt
\[0 = {v_{y0}} - g \cdot {t_{\rm{S}}} \Leftrightarrow g \cdot {t_{\rm{S}}} = {v_{y0}} \Leftrightarrow {t_{\rm{S}}} = \frac{{{v_{y0}}}}{g} \quad (1)\]
b)
Für \({v_{y0}} = 20\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\) ergibt sich\[t_{\rm{S}} = \frac{20\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}}}{9{,}81\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}^2}} = 2{,}0\,\rm{s}\]
c)
Die Steighöhe \({y_{\rm{S}}}\) erhält man, indem man die Steigzeit \({t_{\rm{S}}}\) in das Zeit-Ort-Gesetz einsetzt:\[{y_{\rm{S}}} = {v_{y0}} \cdot {t_{\rm{S}}} - \frac{1}{2} \cdot g \cdot {t_{\rm{S}}}^2 \quad (2)\]Setzt man den Term der rechten Seite von Gleichung \((1)\) von Teilaufgabe a) in Gleichung \((2)\) ein, so ergibt sich\[{y_{\rm{S}}} = {v_{y0}} \cdot \frac{{{v_{y0}}}}{g} - \frac{1}{2} \cdot g \cdot {\left( {\frac{{{v_{y0}}}}{g}} \right)^2} = \frac{{v_{y0}^2}}{g} - \frac{1}{2} \cdot \frac{{v_{y0}^2}}{g}= \frac{1}{2} \cdot \frac{{v_{y0}^2}}{g}\]
