Wenn du die Animation in Abb. 1 startest, so wird ein Körper vom Erdboden mit einer Anfangsgeschwindigkeit \(\vec v_0\) "senkrecht nach oben geworfen". Der Körper bewegt sich zuerst nach oben, dann nach unten und trifft nach einiger Zeit auf dem Erdboden auf. Wir nennen diese Bewegung einen (senkrechten oder lotrechten) Wurf nach oben ohne Anfangshöhe.
In der Animation kannst du dir folgende Informationen einblenden lassen:
- Eine Stroboskopaufnahme des Wurfs mit laufender Uhr, die beim Abwerfen des Körpers startet und beim Aufprall auf den Erdboden stoppt.
- Eine nach oben orientierte Ortsachse (\(y\)-Achse) mit dem Nullpunkt auf dem Erdboden direkt unterhalb der Abwurfstelle.
- Einige wichtige Größen des Wurfs wie die Anfangsgeschwindigkeit \(\vec v_0\), die Steighöhe \(y_{\rm{S}}\) und die Wurfzeit \(t_{\rm{W}}\).
- Das \(t\)-\(y\)-, das \(t\)-\(v_y\)- oder das \(t\)-\(a_y\)- Diagramm des Wurfs.
Bewegungsgesetze des Wurfs nach oben ohne Anfangshöhe
Wir beschreiben den Wurf nach oben ohne Anfangshöhe mit einer nach oben orientierten Ortsachse (\(y\)-Achse) mit dem Nullpunkt auf dem Erdboden (vgl. Abb. 1). In diesem Koordinatensystem gilt:
- Die Anfangsgeschwindigkeit ist nach oben gerichtet und hat einen positiven Wert: \(v_{y,0} > 0\).
- Die Beschleunigung ist während des gesamten Wurfs nach unten gerichtet und hat den Wert \(a_y = -\,g\) mit \(g= 9{,}81\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}^2}\).
Zeit-Ort-Gesetz | Zeit-Geschwindigkeit-Gesetz | |
---|---|---|
\(y\)-Richtung Gleichmäßig beschleunigte Bewegung mit Anfangsgeschwindigkeit mit \(a_y = -\,g\) |
\[y(t) = - {\textstyle{1 \over 2}}\cdot g \cdot t^2+v_{y,0} \cdot t \quad (1)\] |
\[v_y(t) = \frac{\;}{\;}\,g \cdot t + v_{y,0} \quad (2)\] |
Mit Hilfe der Bewegungsgesetze \((1)\) und \((2)\) kann man zu jedem Zeitpunkt \(t\) die Ortskoordinate \(y\) und die Geschwindigkeit \(v_y\) des Körpers bestimmen.
Steigzeit und Wurfhöhe
Als Wurfhöhe \(y_{\rm{S}}\) bezeichnen wir die größte \(y\)-Koordinate, die der Körper während des Wurfs erreicht. Als Steigzeit \(t_{\rm{S}}\) bezeichnen wir die Zeitspanne vom Abwurf des Körpers bis zum Erreichen dieser Wurfhöhe.
Nach der Steigzeit, d.h. zu dem Zeitpunkt \(t_{\rm{S}}\), an dem der Körper die Wurfhöhe erreicht hat, ist seine Gewindigkeit \(0\). Es gilt deshalb\[v_{y}(t_{\rm{S}})=0 \quad(3^{**})\]Mit Gleichung \((2)\) ergibt sich daraus\[-g \cdot t_{\rm{S}} + v_{y,0}=0 \quad (3^*)\]Löst man Gleichung \((3^*)\) nach \(t_{\rm{S}}\) auf, so ergibt sich für die Steigzeit\[t_{\rm{S}} = \frac{v_{y,0}}{g} \quad (3)\]Setzt man dieses Ergebnis in Gleichung \((1)\) ein, so ergibt sich für die Wurfhöhe\[y_{\rm{S}}=\frac{{v_{y,0}}^2}{2 \cdot g} \quad (4)\]
Berechnung von Steigzeit und Wurfhöhe
Aufgabe
In der Animation in Abb. 1 beträgt die Anfangsgeschwindigkeit \(v_{y,0}=30{,}0\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}}\) und \(g=10{,}0\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}^2}\).
Berechne aus diesen Angaben die Steigzeit \(t_{\rm{S}}\) und die Wurfhöhe \(y_{\rm{S}}\).
Wurfzeit
Als Wurfzeit \(t_{\rm{W}}\) bezeichnen wir die Zeitspanne vom Abwurf des Körpers bis zum Auftreffen auf den Boden.
Nach der Wurfzeit, d.h. zu dem Zeitpunkt \(t_{\rm{W}}\), an dem der Körper auf dem Boden auftrifft, ist seine Ortskoordinate \(0\). Es gilt deshalb\[y(t_{\rm{W}})=0 \quad(5^{**})\]Mit Gleichung \((1)\) ergibt sich daraus\[- {\textstyle{1 \over 2}}\cdot g \cdot {t_{\rm{W}}}^2+v_{y,0} \cdot {t_{\rm{W}}}=0 \quad (5^*)\]Löst man Gleichung \((5^*)\) nach \(t_{\rm{W}}\) auf, so ergibt sich für die Wurfzeit\[t_{\rm{W}} = \frac{2 \cdot v_{y,0}}{g} \quad (5)\]Beachte: Die Wurfzeit ist beim Wurf nach oben ohne Anfangshöhe aus Symmetriegründen immer das Doppelte der Steigzeit.
Berechnung der Wurfzeit
Aufgabe
In der Animation in Abb. 1 beträgt die Anfangsgeschwindigkeit \(v_{y,0}=30{,}0\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}}\) und \(g=10{,}0\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}^2}\).
Berechne aus diesen Angaben die Wurfzeit \(t_{\rm{W}}\).
Herleitung des Ort-Geschwindigkeit-Gesetzes (höherer mathematischer Anspruch)
Aufgabe
Aus der Kombination von Zeit-Ort-Gesetz \((1)\) und Zeit-Geschwindigkeit-Gesetz \((2)\) kann man durch Elimination der Zeit eine Beziehung zwischen dem Ort und der Geschwindigkeit, ein sogenanntes Ort-Geschwindigkeit-Gesetz erhalten.
Zeige, dass sich bei der Beschreibung des Wurfs nach oben ohne Anfangshöhe das folgende Ort-Geschwindigkeit-Gesetz ergibt:\[v_y^2 - v_{y,0}^2 = - 2 \cdot g \cdot y \quad (6)\]Hinweis: Beim Berechnen der Geschwindigkeit \(v_y\) in Abhängigkeit vom Ort \(y\) muss man beim Wurf nach oben berücksichtigen, ob es sich um den Aufstieg (\(v_y>0\)) oder den Abstieg (\(v_y<0\)) handelt.
In der Animation in Abb. 1 beträgt die Anfangsgeschwindigkeit \(v_{y,0}=30{,}0\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}}\) und \(g=10{,}0\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}^2}\).
Berechne aus diesen Angaben die Geschwindigkeit des Körpers beim Aufprall auf den Boden.