Ein Pfeil wird mittels eines Bogens aus der Höhe \(h_0=2{,}0\,\rm{m}\) senkrecht nach oben abgeschossen und erreicht eine maximale Höhe von \(h_{\rm{max}}=50\,\rm{m}\) über dem Boden.
Hinweis: Die Luftreibung beim Pfeil bleibe außer Acht.
a)
Lege eine geeignetes Bezugssystem fest und berechne dann mit Hilfe der Bewegungsgleichungen die Abschussgeschwindigkeit \(v_0\) des Pfeils.
b)
Berechne \(v_0\) mit Hilfe des Energiesatzes.
c)
Berechne die Momentangeschwindigkeit und die Beschleunigung, die der Pfeil beim Aufstieg in der Höhe \(h^\ast = 40\,\rm{m} \) über dem Boden besitzt.
d)
Welche Momentangeschwindigkeit und Beschleunigung hat der Pfeil bei der Abwärtsbewegung in einer Höhe \(h^\ast\)?
Der Ursprung der h-Achse wird in den Abschusspunkt gelegt, die Achsenrichtung zeigt nach oben (diese Festlegungen könnten auch anders gemacht werden).
Im höchsten Punkt ist die Geschwindigkeit \(v = 0\). Somit folgt aus dem t-v-Gesetz:
\[ v(t) = v_0 - g \cdot t \quad \Rightarrow \quad 0 = v_0 - g \cdot t_{steig} \quad \Rightarrow \quad t_{steig} = \frac{v_0}{g} \]
Den Ausdruck für die Steigzeit setzt man ein in das t-h-Gesetz:
\[ \begin{array}{} h_{max} = v_0 \cdot t_{steig} - \frac{1}{2} \cdot g \cdot t_{steig}^2 \quad \Rightarrow \quad h_{max} = v_0 \cdot \frac{v_0}{g} - \frac{1}{2} \cdot g \cdot \left(\frac{v_0}{g}\right)^2 \\ \\
h_{max} = \frac{1}{2} \cdot \frac{v_0^2}{g} \quad \Rightarrow \quad v_0 = \pm \sqrt{2 \cdot g \cdot h_{max}} \quad \Rightarrow \\ \\
v_0 = \sqrt{2 \cdot 9,81 \cdot 48} \mathrm{\frac{m}{s}} \approx 31 \mathrm{\frac{m}{s}} \end{array} \]
Bei dem gewählten Bezugssystem ist die Anfangsgeschwindigkeit positiv anzusetzen!
b)
\[ E_{ges,1} = E_{ges,2} \quad \Rightarrow \quad E_{pot,1} + E_{kin,1} = E_{pot,2} + E_{kin,2} \]
Im tiefsten Punkt ist die Lageenergie \(E_{pot}\) Null, im höchsten Punkt gilt dies für die
Bewegungsenergie \(E_{kin}\).
Somit gilt:
\[ \begin{array}{} E_{kin,1} = E_{pot,2} \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{2} \cdot m \cdot v_0^2 = m \cdot g \cdot h_{max} \quad \Rightarrow \\ \\
v_0 = \pm \sqrt{2 \cdot g \cdot h_{max}} \quad \Rightarrow \quad v_0 = \sqrt{2 \cdot 9,81 \cdot 48} \mathrm{\frac{m}{s}} \approx 31 \mathrm{\frac{m}{s}} \end{array} \]
Bei dem gewählten Bezugssystem ist die Anfangsgeschwindigkeit positiv anzusetzen!
c)
Berechnung der Momentangeschwindigkeit in 40m Höhe über dem Boden (Energiesatz):