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Aufgabe

Gekippter Stuhl

Schwierigkeitsgrad: schwere Aufgabe

Normale Sitzposition

Stühle im Klassenzimmer sind so konstruiert, dass sie eine lange Lebensdauer haben, wenn man "normal" auf ihnen sitzt. Manche Schüler meinen jedoch, sie müssten auf dem gekippten Stuhl sitzen. In der folgenden Aufgabe sollst du zeigen, dass die Belastung des Stuhls im gekippten Zustand deutlich höher ist.

Ein Schüler sitzt "normal" auf seinem Stuhl. Sein Schwerpunkt sei S1, seine Gewichtskraft F1 = 500 N. Der Schwerpunkt des Stuhls sei S2, dessen Gewichtskraft F2 = 50 N.

a)Berechne die Kräfte Fa und Fb mit denen der Stuhl in den Punkten A und B auf den Boden drückt. Das Vorgehen bei der Rechnung soll kurz erläutert werden.

Aus Unwissenheit nimmt der Schüler nun eine Haltung mit gekipptem Stuhl ein.

Gekippte Position

b)Mit welcher Kraft Fd muss er sich längs der skizzierten Wirkungslinie d am Tisch abstützen, damit er in der gezeichneten Stellung das Gleichgewicht halten kann?

c)Welche Kraft wirkt jetzt bei A auf den Boden?

d)Welcher Punkt des Stuhls ist bei der im unteren Bild skizzierten Stellung besonders beansprucht?

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a)Gedachter Drehpunkt A:

Dem von der Gewichtskraft des Schülers und des Stuhls bewirkten rechtsdrehenden Moment hält das von der Gegenkraft des Bodens bei B bewirkte linksdrehende Moment das Gleichgewicht:
\[{F_{\rm{b}}} \cdot {a_{\rm{b}}} = {F_{\rm{1}}} \cdot {a_{\rm{1}}} + {F_{\rm{2}}} \cdot {a_{\rm{2}}} \Leftrightarrow {F_{\rm{b}}} = \frac{{{F_{\rm{1}}} \cdot {a_{\rm{1}}} + {F_{\rm{2}}} \cdot {a_{\rm{2}}}}}{{{a_{\rm{b}}}}}\]
Einsetzen der gegebenen Werte liefert
\[{F_{\rm{b}}} = \frac{{500{\rm{N}} \cdot 20{\rm{cm}} + 50{\rm{N}} \cdot 10{\rm{cm}}}}{{40{\rm{cm}}}} = 2,6 \cdot {10^2}{\rm{N}}\]
Berechnung der Kraft bei A:
\[{F_{\rm{a}}} + {F_{\rm{b}}} = {F_{\rm{1}}} + {F_{\rm{2}}} \Leftrightarrow {F_{\rm{a}}} = {F_{\rm{1}}} + {F_{\rm{2}}} - {F_{\rm{b}}}\]
Einsetzen der gegebenen Werte liefert
\[{F_{\rm{a}}} = 5,00 \cdot {10^2}{\rm{N}} + 0,50 \cdot {10^2}{\rm{N}} - 0,26 \cdot {10^2}{\rm{N}} = 2,9 \cdot {10^2}{\rm{N}}\]

b)Die Kraft \({{\vec F}_{\rm{2}}}\) hat kein Drehmoment bezüglich A, da der Hebelarm Null ist.

\[{F_{\rm{d}}} \cdot {a_{\rm{d}}} = {F_{\rm{1}}} \cdot {{a'}_{\rm{1}}} \Leftrightarrow {F_{\rm{d}}} = \frac{{{F_{\rm{1}}} \cdot {{a'}_{\rm{1}}}}}{{{a_{\rm{d}}}}}\]
Einsetzen der gegebenen Werte liefert
\[{F_{\rm{d}}} = \frac{{500{\rm{N}} \cdot 10{\rm{cm}}}}{{80{\rm{cm}}}} = 63{\rm{N}}\]

c)Berechnung der Kraft im Punkt A:
\[{F_{\rm{a}}} = {F_{\rm{1}}} + {F_{\rm{2}}} \Rightarrow {F_{\rm{a}}} = 500{\rm{N}} + 50{\rm{N}} = 550{\rm{N}}\]Im Vergleich zur Teilaufgabe a) hat sich die Kraft im Punkt A also fast verdoppelt.

d) Die stärkste Beanspruchung tritt im Punkt X auf, da Biegemomente von den beiden Kräften \({{\vec F}_{\rm{1}}}\) und \({{\vec F}_{\rm{2}}}\) zu berücksichtigen sind.

Grundwissen zu dieser Aufgabe

Mechanik

Einfache Maschinen