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Aufgabe

Sprungbrett

Schwierigkeitsgrad: schwere Aufgabe

Ein Wasserspringer mit der Gewichtskraft \(F_{\rm{g}}=700\,\rm{N}\) steht ganz am Ende des Sprungbrettes, das zwischen die Lager A und B eingespannt ist. Mit welchen Kräften drücken die Lager auf das \(2{,}00\,\rm{m}\) lange, homogene Brett, dessen Gewichtskraft 200 N ist?

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Berechnung von FB:

Zur Berechnung der Kraft FB, welche das Lager B auf das Brett ausübt, wird A als (virtueller) Drehpunkt aufgefasst:

Im Gleichgewicht gilt dann:

Summe aller links drehenden Momente = Summe aller rechts drehenden Momente

\[{F_{{\rm{spring}}}} \cdot {a_{{\rm{spring}}}} + {F_{{\rm{brett}}}} \cdot {a_{{\rm{brett}}}} = {F_{\rm{B}}} \cdot {a_{\rm{B}}} \Leftrightarrow {F_{\rm{B}}} = \frac{{{F_{{\rm{spring}}}} \cdot {a_{{\rm{spring}}}} + {F_{{\rm{brett}}}} \cdot {a_{{\rm{brett}}}}}}{{{a_{\rm{B}}}}}\]
Einsetzen der gegebenen Werte liefert
\[{F_{\rm{B}}} = \frac{{700{\rm{N}} \cdot 200,0{\rm{cm}} + 200{\rm{N}} \cdot 100,0{\rm{cm}}}}{{75,0{\rm{cm}}}} = 2,13 \cdot {10^3}{\rm{N}}\]

Berechnung von FA:

1. Möglichkeit: Summe aller Kräfte ist Null
Im Gleichgewichtsfall ist die Summe aller Kräfte Null, d.h. der Betrag der Summe aller nach unten wirkenden Kräfte ist gleich dem Betrag der Summe aller nach oben wirkenden Kräfte:

\[{F_{\rm{A}}} + {F_{{\rm{spring}}}} + {F_{{\rm{brett}}}} = {F_{\rm{B}}} \Leftrightarrow {F_{\rm{A}}} = {F_{\rm{B}}} - {F_{{\rm{spring}}}} - {F_{{\rm{brett}}}}\]
Einsetzen der gegebenen Werte liefert
\[{F_{\rm{A}}} = 2,13 \cdot {10^3}{\rm{N}} - 0,70 \cdot {10^3}{\rm{N}} - 0,20 \cdot {10^3}{\rm{N}} = 1,23 \cdot {10^3}{\rm{N}}\]

2. Möglichkeit: Man fasst B als (virtuellen) Drehpunkt auf (aufwändiger!)

Summe aller links drehenden Momente = Summe aller rechts drehenden Momente

\[{F_{{\rm{spring}}}} \cdot {a^*}_{{\rm{spring}}} + {F_{{\rm{brett}}}} \cdot {a^*}_{{\rm{brett}}} = {F_{\rm{A}}} \cdot {a^*}_{\rm{A}} \Leftrightarrow {F_{\rm{A}}} = \frac{{{F_{{\rm{spring}}}} \cdot {a^*}_{{\rm{spring}}} + {F_{{\rm{brett}}}} \cdot {a^*}_{{\rm{brett}}}}}{{{a^*}_{\rm{A}}}}\]
Einsetzen der gegebenen Werte liefert
\[{F_{\rm{A}}} = \frac{{700{\rm{N}} \cdot 125{\rm{cm}} + 200{\rm{N}} \cdot 25,0{\rm{cm}}}}{{75,0{\rm{cm}}}} = 1,23 \cdot {10^3}{\rm{N}}\]

Grundwissen zu dieser Aufgabe

Mechanik

Einfache Maschinen