Mechanik

Einfache Maschinen

D

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Der Affe und die Bananen

Aufgabe

Hinweis: Die Idee zu dieser Aufgabe stammt aus dem Bundeswettbewerb Physik – Sekundarstufe I

der-affe-und-die-bananen-bild-1.svg
Abb.
1
Skizze zur Aufgabenstellung

Ein Affe (\(30\,\rm{kg}\)) hängt, wie auf dem Bild zu sehen, an einer losen Rolle, die über zwei feste Rollen mit einem Korb voller Bananen verbunden ist. Es herrscht Gleichgewicht. Der Affe nimmt nun eine Banane (\(150\,\rm{g}\)) aus dem Korb, die ihm allerdings dann herunterfällt. Als der Korb beginnt, sich nach oben zu bewegen, hält der Affe ihn fest und nimmt sich noch eine Banane. Diesmal gelingt es ihm, sie zu essen.

Berechne den Betrag der Kraft, mit der der Affe den Korb jetzt festhalten muss.

Hinweis: Die Massen der Rollen, des Seils und des Haltebügels sind zu vernachlässigen.

Lösung

Wir nutzen folgende Bezeichnungen: \({F_{{\rm{Ban}}}}\): Betrag der Gewichtskraft einer Banane; \({F_{{\rm{Affe}}}}\): Betrag der Gewichtskraft des Affen; \({F_{{\rm{Korb}}}}\): Betrag der Anfangsgewichtskraft des Korbes mit allen Bananen; \({F_{{\rm{Seil}}}}\): Betrag der Kraft im Seil; \({F_{{\rm{Zug}}}}\): Betrag der Zugkraft des Affen am Schluss

Situation zu Beginn

der-affe-und-die-bananen-bild-2.svg
Abb.
2
Skizze der Situation zu Beginn

Der Affe hängt an der losen Rolle, er hält dem mit Bananen gefüllten Korb das Gleichgewicht. In diesem Fall gilt\[\frac{{{F_{{\rm{Affe}}}}}}{2} = {F_{{\rm{Korb}}}} \Leftrightarrow {F_{{\rm{Affe}}}} = 2 \cdot {F_{{\rm{Korb}}}}\quad(1)\]

Situation am Ende

der-affe-und-die-bananen-bild-3.svg
Abb.
3
Skizze zur Situation am Ende

Gleichgewicht an der losen Rolle (links):\[2 \cdot {F_{{\rm{Seil}}}} + {F_{{\rm{Zug}}}} = {F_{{\rm{Affe}}}} + {F_{{\rm{Ban}}}}\quad(2)\]Gleichgewicht an der festen Rolle (rechts):\[{F_{{\rm{Seil}}}} = {F_{{\rm{Korb}}}} + {F_{{\rm{Zug}}}} - 2 \cdot {F_{{\rm{Ban}}}}\quad(3)\]Setzt man \((3)\) in \((2)\) ein, so folgt\[\begin{eqnarray}2 \cdot \left( {{F_{{\rm{Korb}}}} + {F_{{\rm{Zug}}}} - 2 \cdot {F_{{\rm{Ban}}}}} \right) + {F_{{\rm{Zug}}}} &=& {F_{{\rm{Affe}}}} + {F_{{\rm{Ban}}}}\\ 2 \cdot {F_{{\rm{Korb}}}} + 2 \cdot {F_{{\rm{Zug}}}} - 4 \cdot {F_{{\rm{Ban}}}} + {F_{{\rm{Zug}}}} &=& {F_{{\rm{Affe}}}} + {F_{{\rm{Ban}}}}\\ 3 \cdot {F_{{\rm{Zug}}}} &=& {F_{{\rm{Affe}}}} + 5 \cdot {F_{{\rm{Ban}}}} - 2 \cdot {F_{{\rm{Korb}}}} \quad (4)\end{eqnarray}\]Setzt man schließlich \((1)\) in \((4)\) ein, so folgt\[3 \cdot {F_{{\rm{Zug}}}} = 5 \cdot {F_{{\rm{Ban}}}} \Leftrightarrow {F_{{\rm{Zug}}}} = \frac{5}{3} \cdot {F_{{\rm{Ban}}}}\]