Als Flaschenzug bezeichnet man eine geschickte Kombination von einer oder mehreren Rollen, um die ein Seil geschlungen ist. In den Abbildungen rechts siehst du verschiedene, immer komplizierter werdende Flaschenzüge.
Üblicherweise ist entweder das Seil oder aber eine der Rollen an der Decke oder einem starken Balken unterhalb der Decke befestigt. An einer anderen Rolle befindet sich jeweils eine Last, die mit Hilfe des Flaschenzugs angehoben werden soll. Schließlich ist ein Ende des Seils entweder an der Decke oder an einer der Rollen befestigt, an dem anderen Ende des Seils kann man ziehen.
Größen am Flaschenzug
Wir bezeichnen die Kraft der Last mit \({\vec F_{\rm{L}}}\), die Länge der Strecke, um die die Last angehoben wird, mit \({s_{\rm{L}}}\), die Kraft, mit der man am Seil ziehen muss (die Zugkraft), mit \({\vec F_{\rm{Z}}}\) und die Länge der Strecke, um die das Seil gezogen werden muss (die Zugstrecke), mit \({s_{\rm{Z}}}\).
Tragende Seile
Entscheidend bei der Anordnung der Rolle(n) und des Seils ist es nun, dass die Last nicht mehr nur an einem, sondern an mehreren Teilen des Seils hängt. Man spricht bei diesen Teilen von den "tragenden Seilen", obwohl es sich natürlich immer nur um das gleiche Seil handelt. Die "tragenden Seile" sind in den Abbildungen jeweils durch rote Punkte markiert, ihre Anzahl bezeichnen wir mit \(n\). Je größer die Anzahl \(n\) der tragenden Seile eines Flaschenzuges, desto geringer ist die Zugkraft \({\vec F_{\rm{Z}}}\), die du aufbringen musst, um eine Last anzuheben.
Gesetze des Flaschenzugs
Wir nutzen folgende Bezeichnungen:
\(n\): Anzahl der "tragenden Seile"
\({F_{\rm{L}}}\): Betrag der Kraft der Last
\({s_{\rm{L}}}\): Länge der Strecke, um die die Last angehoben wird
\({F_{\rm{Z}}}\): Betrag der Kraft, mit der man am Seil ziehen muss
\({s_{\rm{Z}}}\): Länge der Strecke, um die das Seil gezogen werden muss
Dann gilt:
1. Der Betrag \({F_{\rm{Z}}}\) der Zugkraft ist gleich dem \(n\)-ten Teil des Betrages \({F_{\rm{L}}}\) der Kraft der Last:\[{F_{\rm{Z}}} = \frac{1}{n} \cdot F_{\rm{L}} \quad (1)\]
2. Die Länge \({s_{\rm{Z}}}\) der Strecke, um die das Seil gezogen werden muss, ist gleich dem \(n\)-fachen der Länge \({s_{\rm{L}}}\) der Strecke, um die die Last angehoben wird:\[{s_{\rm{Z}}} = n \cdot {s_{\rm{L}}} \quad (2)\]
3. Bei jedem Flaschenzug ist das Produkt aus dem Betrag \({F_{\rm{Z}}}\) der Zugkraft und der Länge \({s_{\rm{Z}}}\) der Zugstrecke gleich dem Produkt aus dem Betrag \({F_{\rm{L}}}\) der Kraft der Last und der Länge \({s_{\rm{L}}}\) der Strecke, um die die Last angehoben wird:\[{F_{\rm{Z}}} \cdot {s_{\rm{Z}}} = {F_{\rm{L}}} \cdot {s_{\rm{L}}} \quad (3)\]
Aufgabe
Leite mit Hilfe der beiden Gleichungen \((1)\) und \((2)\) die Gleichung \((3)\) her.
Hinweis: Manchmal werden Flaschenzüge auch horizontal angeordnet, um z.B. ein Auto, das im Schnee feststeckt, freizuziehen. Dann gelten die obigen Gleichungen entsprechend auch.
Mathematische Hilfen
Um Aufgaben zum Flaschenzug zu lösen musst du häufig eine der drei Gleichungen \((1)\), \((2)\) oder \((3)\) nach einer unbekannten Größe auflösen. Wie du das machen kannst zeigen wir dir in den folgenden drei Animationen.
Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit \(\color{Red}{n}\). Schreibe das \(\color{Red}{n}\) auf der rechten Seite der Gleichung direkt als Zähler in den Bruch.\[\color{Red}{n} \cdot {F_{\rm{Z}}} = \frac{\color{Red}{n}}{\color{Red}{n}} \cdot {F_{\rm{L}}}\]
Vertausche die beiden Seiten der Gleichung.\[{\frac {1}{n}} \cdot \color{Red}{F_{\rm{L}}} = {F_{\rm{Z}}}\]
Vertausche die beiden Seiten der Gleichung.\[\color{Red}{n} \cdot {s_{\rm{L}}} = {s_{\rm{Z}}}\]
Vertausche die beiden Seiten der Gleichung.\[{n} \cdot \color{Red}{s_{\rm{L}}} = {s_{\rm{Z}}}\]
Dividiere beide Seiten der Gleichung durch \({s_{\rm{Z}}}\). Schreibe diese Division aber nicht mit dem Divisionszeichen (:), sondern als Bruch, in dem \({s_{\rm{Z}}}\) im Nenner steht.\[\frac{\color{Red}{F_{\rm{Z}}} \cdot {s_{\rm{Z}}}}{{s_{\rm{Z}}}} = \frac{{F_{\rm{L}}} \cdot {s_{\rm{L}}}}{{s_{\rm{Z}}}}\]
Dividiere beide Seiten der Gleichung durch \({F_{\rm{Z}}}\). Schreibe diese Division aber nicht mit dem Divisionszeichen (:), sondern als Bruch, in dem \({s_{\rm{Z}}}\) im Nenner steht.\[\frac{{F_{\rm{Z}}} \cdot \color{Red}{s_{\rm{Z}}}}{{F_{\rm{Z}}}} = \frac{{F_{\rm{L}}} \cdot {s_{\rm{L}}}}{{F_{\rm{Z}}}}\]
Vertausche die beiden Seiten der Gleichung.\[\color{Red}{F_{\rm{L}}} \cdot {s_{\rm{L}}} = {F_{\rm{Z}}} \cdot {s_{\rm{Z}}}\]
Vertausche die beiden Seiten der Gleichung.\[{F_{\rm{L}}} \cdot \color{Red}{s_{\rm{L}}} = {F_{\rm{Z}}} \cdot {s_{\rm{Z}}}\]