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Aufgabe

Das Fass und die Schwelle

Schwierigkeitsgrad: schwere Aufgabe

Hinweis: Diese Aufgabe wurde im Rahmen des bundesweiten Wettbewerbs Physik 2007 - 2. Runde gestellt. Wenn Du dich mit den neuen Aufgaben des Wettbewerbs auseinandersetzen willst, so gehe zur MNU-Seite (Wettbewerb Physik).

In der Autowerkstatt von Meister Kurt: Azubi Lars will ein volles \(60\,\ell \)-Ölfass mit einem Leergewicht von \(100\,\rm{N}\) und einem Durchmesser von \(40\,\rm{cm}\) am Werkstatteingang über eine \(5\,\rm{cm}\) hohe Schwelle rollen.

Zuerst versucht Lars mit dem Fuß, das heißt mit einer horizontalen Kraft auf halber Höhe des Fasses, die Schwelle zu überwinden.

a)Berechne, welche Kraft er mindestens aufbringen müsste und schätze ab, ob der das schaffen kann.

b)Das sieht Meister Kurt und sagt: "So wird das nichts, mein Junge, lass mich mal' ran" und schiebt das Fass locker über die Schwelle.
Berechne, wie hoch die Krafteinsparung höchstens sein kann, wenn Meister Kurt mit anderem Angriffspunkt und anderer Richtung schiebt.

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Vorarbeit: Bestimmung der Gewichtskraft des Fasses

Bestimmung der Gewichtskraft des Öles \({\rho _{{\rm{Öl}}}} = 0,90\frac{{{\rm{kg}}}}{\ell }\):
\[{m_{{\rm{Öl}}}} = {\rho _{{\rm{Öl}}}} \cdot {V_{{\rm{Öl}}}} \Rightarrow {m_{{\rm{Öl}}}} = 0,90\frac{{{\rm{kg}}}}{\ell } \cdot 60\ell  = 54{\rm{kg}}\]Somit gilt für die Gewichtskraft des Öles\[{F_{{\rm{G,Öl}}}} = g \cdot {m_{{\rm{Öl}}}} \Rightarrow {F_{{\rm{G,Öl}}}} = 9,81\frac{{\rm{N}}}{{{\rm{kg}}}} \cdot 54{\rm{kg}} = 530{\rm{N}}\]Die Gewichtskraft des Fasses ist dann\[{F_{{\rm{G}}{\rm{,Fass}}}} = 100{\rm{N}} + 530{\rm{N}} = 630{\rm{N}}\]

a)Vorgehensweise von Lars

 

 

Die horizontal wirkende Kraft von Lars (rot) kann man sich im Mittelpunkt M des Fasses (grün) angreifen denken. Ebenfalls in M greift die Gewichtskraft des Faßes (blau) an.

Man kann das Fass als Hebel mit dem Drehpunkt D auffassen. Dieser Hebel ist im Gleichgewicht, wenn gilt\[{F_{{\rm{Lars}}}} \cdot {a_{{\rm{Lars}}}} = {F_{{\rm{G}}{\rm{,Fass}}}} \cdot {a_{{\rm{G}}{\rm{,Fass}}}}\quad(1)\]Über diese Beziehung kann der Betrag \({F_{{\rm{Lars}}}}\) der Kraft ausgerechnet werden, die Lars mindestens braucht, um das Faß über die Schwelle zu bringen.

 

 

 

Der Hebelarm \({a_{{\rm{Lars}}}}\) ist leicht aus dem Radius des Fasses (\(r = 20\rm{cm}\)) und der Höhe der Schwelle (\(5,0\rm{cm}\)) zu bestimmen; es gilt\[{a_{{\rm{Lars}}}} = 20{\rm{cm}} - 5 {\rm{cm}} = 15 {\rm{cm}}\]Zur Bestimmung des Hebelarmes \({a_{{\rm{G,Fass}}}}\) betrachtet man das grau markierte rechtwinklige Dreieck, von dem man die Hypotenuse (\(r = 20\rm{cm}\)) und eine Kathete (\({a_{{\rm{Lars}}}} = 15 {\rm{cm}}\)) kennt. Mit Hilfe des Satzes von Pythagoras gilt dann\[{a_{{\rm{G,Fass}}}} = \sqrt {{{\left( {20{\rm{cm}}} \right)}^2} - {{\left( {15{\rm{cm}}} \right)}^2}} = 13{\rm{cm}}\]Löst man \((1)\) nach der gesuchten Kraft \({F_{{\rm{Lars}}}}\) auf und setzt die berechneten Werte ein, so erhält man\[{F_{{\rm{Lars}}}} = \frac{{{F_{{\rm{G}}{\rm{,Fass}}}} \cdot {a_{{\rm{G,Fass}}}}}}{{{a_{{\rm{Lars}}}}}} \Rightarrow {F_{{\rm{Lars}}}} = \frac{{630{\rm{N}} \cdot 13{\rm{cm}}}}{{15{\rm{cm}}}} = 550{\rm{N}}\]Ein durchschnittlich gebauter Azubi wird diese Kraft in der skizzierten Richtung wohl nicht aufbringen können.

b)Vorgehensweise von Meister Kurt

 

 

Meister Kurt wählt den Angriffspunkt seiner Kraft \({F_{{\rm{Kurt}}}}\) und deren Richtung so aus, dass der dazugehörige Hebelarm möglichst groß wird. Dies hat zur Folge, dass dann die aufzuwendende Kraft deutlich kleiner als bei Lars wird. Meister Kurt wählt Angriffspunkt und Richtung seiner Kraft \({F_{{\rm{Kurt}}}}\) wie in nebenstehender Zeichnung skizziert. Dann gilt \[{{F_{{\rm{Kurt}}}} \cdot {a_{{\rm{Kurt}}}} = {F_{{\rm{G,Fass}}}} \cdot {a_{{\rm{G,Fass}}}} \Leftrightarrow {F_{{\rm{Kurt}}}} = \frac{{{F_{{\rm{G,Fass}}}} \cdot {a_{{\rm{G,Fass}}}}}}{{{a_{{\rm{Kurt}}}}}}}\] Einsetzen der gegebenen Werte liefert \[{{F_{{\rm{Kurt}}}} = \frac{{630{\rm{N}} \cdot 13{\rm{cm}}}}{{40{\rm{cm}}}} = 210{\rm{N}}}\] Meister Kurt muss etwas weniger als die Hälfte der Kraft aufwenden, die Lars benötigt.

Grundwissen zu dieser Aufgabe

Mechanik

Einfache Maschinen