Wir haben in den Vorversuchen erkannt, dass die kinetischen Energie \(E_{\rm{kin}}\) eines Körpers von seiner Masse \(m\) und seiner Geschwindigkeit \(v\) abhängt:
Je größer die Masse des Körpers, desto größer seine kinetische Energie.
Je größer die Geschwindigkeit des Körpers, desto größer seine kinetische Energie.
Um diese Abhängigkeit genauer beschreiben zu können benötigen wir eine "Formel" für die kinetische Energie. Mit einigen der folgenden Versuche kannst du den Term, der diese Abhängigkeit beschreibt, durch Messreihen experimentell gewinnen. Mit anderen Versuchen kannst du die Richtigkeit des Terms bestätigen.
Wir werden jeweils am Anfang der Versuchsbeschreibung angeben, ob wir den Term gewinnen oder aber nur bestätigen wollen. Außerdem werden wir erläutern, welche Eigenschaften der Energie wir bei der Planung des Versuchs voraussetzen.
die Formel \(E_{\rm{pot}}=m \cdot g \cdot h\) für die potentielle Energie korrekt ist
bei der Umwandlung von potentieller in kinetische Energie die Energie erhalten bleibt
bei der Umwandlung von potentieller in kinetische Energie keine Energie entwertet wird
dann kannst du mit diesem Versuche den Term für die kinetische Energie durch zwei Messreihen experimentell gewinnen.
Der Versuchsaufbau ist so gewählt, dass in einem möglichst reibungsfreien Vorgang potentielle Energie in kinetische Energie umgewandelt wird:
Da die kinetische Energie eines Körpers von zwei Größen anhängt, sind dabei zwei Messreihen notwendig, Die folgende Animation in Abb. 2 zeigt, wie du eine (sehr kleine) Messreihe zum Einfluss der Geschwindigkeit aufnehmen kannst.
Einfluss der Geschwindigkeit \(v\)
Abb. 1
Quantitative Untersuchung zur Abhängigkeit der kinetischen Energie von der Geschwindigkeit mit einem Fadenpendel
Um den Zusammenhang von der Geschwindigkeit \(v\) mit \(E_{\rm{kin}}\) eines Körpers zu untersuchen, nimmst du eine Messreihe auf, bei der die Ausgangshöhe \(h\) des Körpers verändert wird. Die Gewichtskraft \(F_g\) bleibt fest.
Im Versuch in Abb. 2 bleibt die Gewichtskraft \(F_g\) des Probekörpers in den Versuchen 1 und 2 gleich, die Ausgangshöhe \(h\) wird verändert und die Geschwindigkeit \(v\) im tiefsten Punkt gemessen. Es zeigt sich:
\[
\begin{aligned}
h \sim v^2 \; &\Rightarrow \; \text{wegen } F_g = const \quad \Rightarrow \quad F_g \cdot h \sim v^2 \\
Um den Zusammenhang zwischen der Masse \(m\) eines Körpers und \(E_{\rm{kin}}\) zu untersuchen nimmst du eine 2. Messreihe auf (in der Animation nicht gezeigt!), bei der die Masse \(m\) des Körpers verändert wird. Die Ausgangshöhe \(h\) bleibt fest.
Im Versuch muss die Masse \(m\) der Kugel (bzw. des Wagens) bei gleicher Höhe verändert werden. Aus dem Versuch ergibt sich, dass die Geschwindigkeit unabhängig von der Masse der Kugel ist. Da bei unveränderter Höhe \(E_{\rm{pot}}\sim m\) ist, gilt auf Grund der Energieerhaltung auch:
\[ E_{kin} \sim m \qquad \text{(2)}\]
Zusammenführen der Erkenntnisse
Aus den beiden Beziehungen (1) und (2) folgt
\[ E_{kin} \sim m \cdot v^2 \quad \Rightarrow \quad E_{kin} = C \cdot m \cdot v^2 \]
Eine genaue Auswertung der entsprechenden Experimente ergibt, dass der Proportionalitätsfaktor \(C\) den Wert \(\frac{1}{2}\) hat.
Pendelkörper
Wenn du voraussetzt, dass
die Formel \(E_{\rm{pot}}=m \cdot g \cdot h\) für die potentielle Energie korrekt ist
bei der Umwandlung von potentieller in kinetische Energie die Energie erhalten bleibt
bei der Umwandlung von potentieller in kinetische Energie keine Energie entwertet wird
dann kannst du mit diesem Versuch bestätigen, dass die Formel für die kinetische Energie korrekt ist.
Aufbau und Durchführung
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Abb. 2 Versuchsaufbau mit Pendel
Ein bifilar (an zwei Fäden) aufgehängter Pendelkörper besteht aus zwei Metallstreifen, die nacheinander durch eine Lichtschranke laufen. Die Messstrecke \(\Delta x = 1{,}0\,\rm{cm}\) ist der Abstand für zwei Verdunkelungen auf der Lichtschranke. Die Lichtschranke wird an den tiefsten Punkt des Pendels gebracht. Nun lenkt man den Pendelkörper so aus, dass er sich um die Höhe \(h\) hebt und lässt ihn dann los. Mittels Torsteuerung und Zähler wird die Zeit \(\Delta t\) von der ersten zur zweiten Verdunkelung gemessen.
Beobachtung
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Abb. 3 Skizze des Versuchsaufbaus Pendel
Bei einer Höhe von \(h = 8{,}8\,\rm{cm}\) ergab sich eine Zeit \(\Delta t = 7{,}6\,\rm{ms}\).
Auswertung
Aufgabe
Berechne die Geschwindigkeit des Pendelkörpers beim Durchgang durch die Lichtschranke. Gehe dabei davon aus, dass sich der Pendelkörper mit konstanter Geschwindigkeit durch die Lichtschranke bewegt.
Bestätige rechnerisch, dass die Formel für die kinetische Energie korrekt ist. Beachte dabei die Voraussetzungen, die wir bei diesem Versuch machen.
NEWTON-Wagen
Wenn du voraussetzt, dass
die Formel \(E_{\rm{pot}}=m \cdot g \cdot h\) für die potentielle Energie korrekt ist
bei der Umwandlung von potentieller in kinetische Energie die Energie erhalten bleibt
bei der Umwandlung von potentieller in kinetische Energie keine Energie entwertet wird
dann kannst du mit diesem Versuche den Term für die kinetische Energie durch eine Messreihe experimentell bestätigen.
Der Versuchsaufbau ist so gewählt, dass in einem möglichst reibungsfreien Vorgang potentielle Energie in kinetische Energie umgewandelt wird:
Aufbau und Durchführung
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Abb. 4 Versuchsaufbau Newton Waagen
Der NEWTON-Wagen mit der Masse \(m=0{,}940\,\rm{kg}\) rollt auf drei versetzt laufenden Schienen so ab, dass alle Räder stets parallel zum Boden sind. Er wird die schiefe Ebene um die Höhe \(h\) hochgestellt und dann losgelassen. Es wird die Zeit \(\Delta t\) gemessen, die er auf der waagerechter Strecke \(\Delta s\) läuft.
Abb. 5
Aufbau, Durchführung und Beobachtung des Versuchs mit dem NEWTON-Wagen zur Bestätigung des Terms für die kinetische Energie
Man wählt die Messstrecke \(\Delta s = 2{,}00\,\rm{m}\). Zum Stoppen der Zeit nimmt man als Startsignal das Aufsetzgeräusch der Räder, als Stoppsignal, das Auftreffen am Holzklotz.
Beobachtung
Tab. 2a Messwerte zum Versuch mit dem NEWTON-Wagen
\(h\;\rm{in}\,\rm{m}\)
\(0{,}037\)
\(0{,}082\)
\(0{,}111\)
\(0{,}188\)
\(\Delta t\;\rm{in}\,\rm{s}\)
\(2{,}43\)
\(1{,}58\)
\(1{,}38\)
\(1{,}06\)
Auswertung
Aufgabe
Berechne die Geschwindigkeiten des NEWTON-Wagens für die vier Versuchsdurchführungen. Gehe dabei davon aus, dass sich der NEWTON-Wagen waagerecht mit konstanter Geschwindigkeit bewegt.
Bestätige rechnerisch für alle vier Versuchsdurchführungen, dass die Formel für die kinetische Energie korrekt ist. Beachte dabei die Voraussetzungen, die wir bei diesem Versuch machen.
Kugel auf der schiefen Ebene
Hinweis: Idee, Fotos und Messwerte für diesen Artikel stammen von Josef Fertsch, Gymnasium Sulzbach Rosenberg.
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Abb. 6 Versuchsaufbau und Auswertung Kugel auf der schiefen Ebene
Zuerst macht man eine Stroboskopaufnahme oder Videoaufnahme der Bewegung der Kugel auf der schiefen Ebene. Das Foto kann mit Hilfe einer geeigneten Software z.B. VIVITAB quantitativ ausgewertet werden. Die Reibung berücksichtigen wir nicht, da die Kugel auch in der Waagrechten keine Geschwindigkeit verliert. Aus VIVITAB erhalten wir für die maximale Geschwindigkeit \({v_{{\rm{max}}}} \approx 0{,}8\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}}\). Dies wollen wir theoretisch bestätigen.
Ohne Berücksichtigung der Rotationsenergie der Kugel ergibt sich\[E_{\rm{pot}} = E_{\rm{kin}} \Leftrightarrow m \cdot g \cdot h = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2 \Rightarrow v = \sqrt {2 \cdot g \cdot h} \]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[v = \sqrt {2 \cdot 9{,}81\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}^2} \cdot 0{,}0487\,\rm{m}} = 0{,}96\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}}\]Dies ist keine gute Übereinstimmung.
Mit Berücksichtigung der Rotationsenergie der Kugel (s.a. Formelsammlung) ergibt sich\[E_{\rm{pot}} = E_{\rm{kin}} + E_{\rm{rot}} \Leftrightarrow m \cdot g \cdot h = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2 + \frac{1}{5} \cdot m \cdot v^2 = \frac{7}{{10}} \cdot m \cdot v^2 \Rightarrow v = \sqrt {\frac{{10 \cdot g \cdot h}}{7}} \]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[v = \sqrt {\frac {10 \cdot 9{,}81\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}^2} \cdot 0{,}0487\,\rm{m}}{7}} = 0{,}83\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}}\]Dies ist eine gute Übereinstimmung.
Rampe
Wenn du voraussetzt, dass
die Formel \(E_{\rm{pot}}=m \cdot g \cdot h\) für die potentielle Energie korrekt ist
bei der Umwandlung von kinetischer in potentielle Energie die Energie erhalten bleibt
bei der Umwandlung von kinetischer in potentielle Energie keine Energie entwertet wird
dann kannst du mit diesem Versuche den Term für die kinetische Energie durch zwei Messreihen experimentell gewinnen.
Der Versuchsaufbau ist so gewählt, dass in einem möglichst reibungsfreien Vorgang kinetische Energie in potentielle Energie umgewandelt wird:
Aufbau und Durchführung
Abb. 7
Aufbau, Durchführung und Beobachtung des Versuchs zur Untersuchung der Abhängigkeit der kinetischen Energie eines Körpers von dessen Geschwindigkeit
Um den genauen Zusammenhang herauszufinden, brauchen wir ein Maß für die kinetische Energie des Wagens. In dem dargestellten Versuch besitzt der Wagen am Fuß der schiefen Ebene kinetische Energie. Diese wird beim Hinausfahren des Wagens geringer und in potentielle Energie umgewandelt. Im Umkehrpunkt ist die kinetische Energie Null, es liegt nur noch potentielle Energie vor, die wir bereits berechnen können. Daher sind wir - aufgrund des Energieerhaltungssatzes - zu einer Aussage über die kinetische Energie des Wagens am Fuße der schiefen Ebene in der Lage.
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Abb. 8 Versuchsaufbau Rampe
Massenbestimmung des Wagens: \(m = 0{,}154\,\rm{kg}\)
Der Wagen wird mit der Hand beschleunigt und kurz vor der Lichtschranke (links davon) losgelassen.
Geschwindigkeitsmessung des Wagens: Eine \(\Delta Δx = 0{,}010\,\rm{m}\) breite Fahne, die am Wagen befestigt ist, dunkelt die Lichtschranke beim Passieren ab. Die Abdunkelzeit \(\Delta t\) wird mit dem Digitalzähler gemessen. Für die Wagengeschwindigkeit gilt dann: v = Δx/Δt.
Beim Hinauflaufen des Wagens längs der schiefen Ebene bis zum Umkehrpunkt wird die beim Passieren der Lichtschranke vorhandene kinetische Energie in potentielle Energie umgewandelt. Aufgrund des Energiesatzes gilt:
\[E_{kin,1} = E_{pot,2} \Rightarrow E_{kin,1} = m \cdot g \cdot h \Rightarrow \rm{oder}\;\rm{knapp:}\;E_{kin} = m \cdot g \cdot h\]
Hinweise
Zur genauen Festlegung des höchsten Punktes lässt man den Wagen einen leichten Plastik-Reiter vor sich herschieben (vgl. Animation).
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Abb. 9 Skizze zum Berechnen der Hubhöhe
Die direkte Messung der Hubhöhe wäre etwas umständlich. Es geht einfacher, wenn man die Gesamtlänge L und die Gesamthöhe H der schiefen Ebene weiß. Dann kann man mittels Strahlensatz aus s die Hubhöhe h berechnen:
\[\frac{h}{s} = \frac{H}{L} \Rightarrow h = s \cdot \frac{H}{L}\]
Vorgegebene Größen:
\(\begin{aligned}m &= 0,154 \,\mathrm{kg}\\ H &= 0,225 \, \mathrm{m}\\ L &= 0,900 \, \mathrm{m}\\ g &= 9,81 \, \mathrm{m/s^2}\\ \Delta x &= 0,0100\, \mathrm{m}\end{aligned}\)
Messwerte
Auswertung
\(s \; \rm{in \; m}\)
\(t \; \rm{in \; ms}\)
\(h \; \rm{in \; m}\)
\(E_{\mathrm{kin}} = m \cdot g \cdot h \rm{ \; in \; J}\)
\(v \; \rm{in \; m/s}\)
\(0\)
\(0\)
\(0\)
\(0\)
\(0\)
\(0,104\)
\(14,07\)
\(0,162\)
\(11,57\)
\(0,342\)
\(7,86\)
\(0,363\)
\(7,62\)
\(0,407\)
\(7,08\)
Aufgabe und Auswertung
Aufgabe
Fülle die Tabelle aus und zeichne ein \(v-E_{\rm{kin}}\) - Diagramm. Welchen Zusammenhang kann man aufgrund des Diagramms zwischen der kinetischen Energie und der Geschwindigkeit vermuten?
