Beim \({\beta ^ - }\)-Zerfall von \({}^{51}{\rm{Ti}}\) befinden sich die Tochterkerne unmittelbar nach dem Zerfall stets in einem von zwei Anregungszuständen, jedoch niemals im Grundzustand. Die \({\beta ^ - }\)-Energien sind maximal \(2150\,{\rm{keV}}\) bzw. \(1542\,{\rm{keV}}\).
a)Gib die Zerfallsgleichung an. (3 BE)
b)Skizziere ein geeignetes Energieniveauschema.
Erkläre damit, dass beim Zerfall von \({}^{51}{\rm{Ti}}\) auch \(\gamma \)-Strahlung mit drei verschiedenen Quantenenergien auftritt. (7 BE)
c)Die kleinste auftretende \(\gamma \)-Quantenenergie beträgt \(320\,{\rm{keV}}\).
Berechne die beiden anderen \(\gamma \)-Energien sowie die gesamte bei diesem Zerfall frei werdende Energie \(\Delta E\).
Ordne im Energieniveauschema von Teilaufgabe b) allen Übergängen ihre Energiebeträge zu. (6 BE)
b)Durch den \({\beta ^ - }\)-Zerfall mit \(1542\,{\rm{keV}}\) zerfällt Ti in den 2. angeregten Vanadium-Zustand \({{\rm{V}}_{2*}}\), durch \({\beta ^ - }\)-Zerfall mit \(2150{\rm{keV}}\) zerfällt Ti in den 1. angeregten Vanadium-Zustand \({{\rm{V}}_{1*}}\).
Um aus \({{\rm{V}}_{1*}}\) in den Grundzustand \({\rm{V}}\) zu gelangen gibt es den \(\gamma \)-Übergang \({\gamma _1}\).
Um aus \({{\rm{V}}_{2*}}\) in den Grundzustand \({\rm{V}}\) zu gelangen gibt es den \(\gamma \)-Übergang \({\gamma _3}\).
Außerdem kann man aus dem Zustand \({{\rm{V}}_{2*}}\) durch den \(\gamma \)-Übergang \({\gamma _2}\) zunächst in den angeregten Zustand \({{\rm{V}}_{1*}}\) gelangen.
Der \(\Delta E\)-Wert berechnet sich auch durch (Rechnung mit Kernmassen)\[\begin{eqnarray}\Delta E &=& \Delta m \cdot {c^2}\\ &=& \left[ {{m_{\rm{K}}}\left( {_{22}^{51}{\rm{Ti}}} \right) - \left( {{m_{\rm{K}}}\left( {_{23}^{51}{\rm{V}}} \right) + {m_{\rm{e}}}} \right)} \right] \cdot {c^2}\\ &=& \left[ {{m_{\rm{K}}}\left( {_{22}^{51}{\rm{Ti}}} \right) - {m_{\rm{K}}}\left( {_{23}^{51}{\rm{V}}} \right) - {m_{\rm{e}}}} \right] \cdot {c^2}\\ &=& \left[ {50,934541{\rm{u}} - 50,931340{\rm{u}} - 0,000549{\rm{u}}} \right] \cdot {c^2}\\ &=& 0,002652 \cdot u \cdot {c^2}\\ &=& 0,002652 \cdot 931,49{\rm{MeV}}\\ &=& 2,470{\rm{MeV}}\end{eqnarray}\]oder (Rechnung mit Atommassen)\[\begin{eqnarray}\Delta E &=& \Delta m \cdot {c^2}\\ &=& \left[ {{m_{\rm{A}}}\left( {_{22}^{51}{\rm{Ti}}} \right) - {m_{\rm{A}}}\left( {_{23}^{51}{\rm{V}}} \right)} \right] \cdot {c^2}\\ &=& \left[ {50{,}946610{\rm{u}} - 50{,}943957{\rm{u}}} \right] \cdot {c^2}\\ &=& 0{,}002653 \cdot u \cdot {c^2}\\ &=& 0{,}002653 \cdot 931{,}49\,{\rm{MeV}}\\ &=& 2{,}471\,{\rm{MeV}}\end{eqnarray}\]
Hinweis: Die hier angegebenen Kernmassen wurden berechnet aus den in der vom AMDC-Atomic Mass Data Center im Rahmen der AME2016 angegebenen Atommassen abzüglich der Masse der Elektronen ohne Berücksichtigung der Bindungsenergie der Elektronen, die lediglich in der Größenordnung von wenigen \(\rm{eV}\) liegt.
