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Aufgabe

Strahlendes Mondgestein (Abitur BY 2009 GK A4-1)

Schwierigkeitsgrad: mittelschwere Aufgabe

Bei den Apollo-Missionen wurden von Astronauten einige Kilogramm Mondgestein zur Erde gebracht. Viele dieser Steine enthalten eine sehr kleine Menge des radioaktiven Isotops \({}^{87}{\rm{Rb}}\). Dieses besitzt die Atommasse \(86,909181\rm{u}\) und zerfällt mit der Halbwertszeit \({T_{1/2}} = 4,88 \cdot {10^{10}}{\rm{a}}\) in das stabile Strontium Isotop \({}^{87}{\rm{Sr}}\).

a)Gib die Reaktionsgleichung für diesen Zerfall an. (3 BE)

b)Berechne die gesamte Reaktionsenergie. (4 BE)

c)Die Mondgesteinsproben enthielten weniger als \(100\mu {\rm{g}}\) \({}^{87}{\rm{Rb}}\).

Berechne die Aktivität einer Probe, die \(100\mu {\rm{g}}\) \({}^{87}{\rm{Rb}}\) enthält.

Begründe, warum eine genaue Altersbestimmung durch Aktivitätsmessung kaum möglich ist, wenn wie hier die Aktivität der Probe sehr gering ist. (8 BE)

Mit Hilfe eines Massenspektrometers kann man für eine Gesteinsprobe das Verhältnis der Zahl \({N_{{\rm{Rb}}}}\) der \({}^{87}{\rm{Rb}}\)-Atome zur Zahl \({N_{{\rm{Sr}}}}\) der \({}^{87}{\rm{Sr}}\)-Atome bestimmen.

d)Erläutere anhand einer geeigneten Skizze einen möglichen Aufbau und die Funktionsweise eines Massenspektrometers. (7 BE)

e)Nimm zunächst an, dass sich die Gesteinsprobe zum Zeitpunkt der Entstehung \(4,0 \cdot {10^{17}}\) Atome des Isotops \({}^{87}{\rm{Rb}}\) und keine Atome des Isotops \({}^{87}{\rm{Sr}}\) befinden.

Übertrage und vervollständige die nachfolgende Tabelle. (4 BE)

\(t\) \(0\) \({T_{1/2}}\) \(2 \cdot {T_{1/2}}\) \(3 \cdot {T_{1/2}}\) \(4 \cdot {T_{1/2}}\)
\({N_{{\rm{Rb}}}}\) \(4,0 \cdot {10^{17}}\)        
\({N_{{\rm{Sr}}}}\) \(0\)        
\({N_{{\rm{Rb}}}}:{N_{{\rm{Sr}}}}\)          

f)Zeichne mit Hilfe der Daten aus Teilaufgabe e) ein Diagramm, in dem das Verhältnis \({N_{{\rm{Rb}}}}:{N_{{\rm{Sr}}}}\) gegen die Zeit \(t\) aufgetragen wird. (4 BE)

Bei einer bestimmten Probe des Mondgesteins wurde für das Verhältnis \({N_{{\rm{Rb}}}}:{N_{{\rm{Sr}}}}\) der Wert \(0,19\) gemessen.

g)Bestimme mit Hilfe des Diagramms von Teilaufgabe f) das Alter des Gesteins. (3 BE)

Das Ergebnis aus Teilaufgabe g) ist deutlich zu groß (geeignete Methoden führen zum \(3,2 \cdot {10^9}\)  Jahren), da nicht berücksichtigt wurde, dass zum Zeitpunkt der Entstehung bereits \({N_{{\rm{Sr}}}}\) im Gestein vorhanden war.

h)Erläutere, wie sich der Verlauf des Diagramms aus Teilaufgabe f) verändert, wenn man dies berücksichtigt.

Erkläre, warum man damit ein geringeres Alter erhält, als in Teilaufgabe g) ermittelt wurde. (6 BE)

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Hinweis: Bei dieser Lösung von LEIFIphysik handelt es sich nicht um den amtlichen Lösungsvorschlag des bayr. Kultusministeriums.

a)Es handelt sich um einen ß-- Zerfall:\[{}_{37}^{87}Rb \to {}_{38}^{87}Sr + {}_{ - 1}^0e + {}_0^0\bar \nu \]

b)Berechnung des Q-Wertes mit Atommassen:\[\begin{eqnarray}Q &=& \Delta m \cdot {c^2}\\ &=& \left[ {{m_{\rm{A}}}({}_{37}^{87}{\rm{Rb}}) - {m_{\rm{A}}}\left( {{}_{38}^{87}{\rm{Sr}}} \right)} \right] \cdot {c^2}\\ &=& \left[ {86,909181{\rm{u}} - 86,908877{\rm{u}}} \right] \cdot {c^2}\\ &=& 0,000304 \cdot {\rm{u}} \cdot {c^2}\\ &=& 0,000304 \cdot 931,49{\rm{MeV}}\\ &=& 0,283{\rm{MeV}}\end{eqnarray}\]

c)Bestimmung der Aktivität einer \(100\mu {\rm{g}}\)–Probe von \({}^{87}{\rm{Rb}}\): Zahl der Atomkerne in der Probe:\[N = \frac{m}{{{m_a}({}_{37}^{87}Rb)}} \Rightarrow N = \frac{{100 \cdot {{10}^{ - 9}}}}{{87 \cdot u}} \approx 6,0 \cdot {10^{17}}\]Aktivitätsberechnung:\[\begin{array}{l}A(t) = \lambda  \cdot N(t) \Rightarrow A(t) = \frac{{\ln 2}}{{{T_{1/2}}}} \cdot N(t)\\A(t) = \frac{{\ln 2}}{{4,88 \cdot {{10}^{10}} \cdot 365 \cdot 24 \cdot 3600}} \cdot 6,9 \cdot 1{0^{17}}\frac{1}{s} \approx 0,31\,Bq\end{array}\]Diese geringe Aktivität liegt im Bereich der Nullrate und ist für eine aussagekräftige Messung zu klein, da sich z.B. statistische Unregelmäßigkeiten des radioaktiven Zerfalls auf das Ergebnis stark auswirken.

d)Beispiel für ein einfaches Massenspektrometer ist die Anordnung nach BAINBRIDGE: Positive Ionen verschiedener Geschwindigkeit und Masse werden durch ein Geschwindigkeitsfilter (bestehend aus gekreuzten \(E\)- und \(B\)-Feldern) geschickt, welches nur Ionen einer bestimmten Geschwindigkeit passieren lässt. Im folgenden Magnetfeld \(B_2\) durchlaufen die Ionen gleicher Ladung und Geschwindigkeit verschiedene Halbkreisbahnen (je größer die Masse desto größer der Radius). Auf diese Weise sind Teilchen verschiedener Masse separierbar.

e) 

\(t\) \(0\) \({T_{1/2}}\) \(2 \cdot {T_{1/2}}\) \(3 \cdot {T_{1/2}}\) \(4 \cdot {T_{1/2}}\)
\({N_{{\rm{Rb}}}}\) \(4,0 \cdot {10^{17}}\) \(2,0 \cdot {10^{17}}\) \(1,0 \cdot {10^{17}}\) \(0,50 \cdot {10^{17}}\) \(0,25 \cdot {10^{17}}\)
\({N_{{\rm{Sr}}}}\) \(0\) \(2,0 \cdot {10^{17}}\) \(3,0 \cdot {10^{17}}\) \(3,5 \cdot {10^{17}}\) \(3,75 \cdot {10^{17}}\)
\({N_{{\rm{Rb}}}}:{N_{{\rm{Sr}}}}\) \(-\) \(1\) \(\frac{1}{3}\) \(\frac{1}{7}\) \(\frac{1}{15}\)

f)Siehe Abbildung rechts

g)Aus dem Diagramm ergibt sich eine Zeit von ca. \(2,7 \cdot {T_{1/2}} = 1,3 \cdot {10^{11}}{\rm{a}}\).

h)Wenn zum Zeitpunkt der Entstehung bereits Strontium vorhanden war, so ist das Verhältnis \({N_{{\rm{Rb}}}}:{N_{{\rm{Sr}}}}\) zu jedem Zeitpunkt kleiner als in der Tabelle bzw. im Diagramm dargestellt. Der tatsächliche Verlauf der Kurve liegt deshalb unterhalb der in Teilaufgabe f) dargestellten Kurve (z.B. gestrichelte Kurve). Der Wert \(0,19\) für das Verhältnis \({N_{{\rm{Rb}}}}:{N_{{\rm{Sr}}}}\) wird also bereits zu einem früheren Zeitpunkt erreicht. Auf diese Weise ergibt sich dann der realistischere Wert.

Hinweis: Die hier angegebenen Atommassen wurden der AME2016 des AMDC-Atomic Mass Data Center entnommen.

Grundwissen zu dieser Aufgabe

Kern-/Teilchenphysik

Radioaktivität - Fortführung