Wechselstromtechnik

Elektrizitätslehre

Wechselstromtechnik

  • Was ist denn ein Zeigerdiagramm?
  • Haben elektronische Bauteile immer den gleichen Widerstand?
  • Wie funktioniert ein Hochpass …
  • … und wie ein Tiefpass?

Bei dem technischen Wechselstrom, wie ihn uns die Elektrizitätswerke liefern, ist die Frequenz \(f = 50{\rm{Hz}}\). Es erfolgt also alle \(0,01{\rm{s}}\) ein Polwechsel an der Steckdose. Zwischen zwei Polwechseln nehmen Stromstärke bzw. Spannung an einem angeschlossenen Widerstand mit dem Wert \(R\) alle Werte zwischen Null und dem Scheitelwert \(\hat I\) bzw. \(\hat U\) an. Momentane Strom- bzw. Spannungswerte sind ebenso wie die Scheitelwerte im allgemeinen nur von untergeordneter Bedeutung.

Wesentlich ist dagegen die gelieferte Energie, die man aber wegen der wechselnden Werte von Stromstärke und Spannung nicht mehr mit der Formel \({W_{{\rm{el}}}} = U \cdot I \cdot t\) berechnen kann. Man führte deshalb bei Wechselströmen die Begriffe effektive Stromstärke und effektive Spannung ein.

Effektivwerte von Wechselstrom und -spannung

Unter dem Effektivwert \({{U_{eff}}}\) einer Wechselspannung versteht man diejenige zeitlich konstante Spannung (Gleichspannung), die am gleichen Widerstand \(R\) in der gleichen Zeit die gleiche Energie wie die Wechselspannung liefert.

Unter dem Effektivwert \({{I_{eff}}}\) eines Wechselstroms versteht man diejenige zeitlich konstante Stromstärke (Stromstärke eines Gleichstroms), die am gleichen Widerstand \(R\) in der gleichen Zeit die gleiche Energie wie der Wechselstrom liefert.

Bestimmung der Effektivwerte \({{U_{eff}}}\) und \({{I_{eff}}}\) durch eine geometrische Betrachtung

Bei einer zeitlich konstanten Leistung (also bei Gleichstrom) berechnet man die während der Periodendauer \(T\) gelieferte elektrische Energie nach
\[{W_{{\rm{el}}}} = P \cdot T\]
Für die Berechnung der Energie beim Wechselstrom müsste man die Integralrechnung bemühen:
\[{W_{{\rm{el}}}} = \int\limits_0^T {P(t)d} t\]
Da dir eventuell die Integralrechnung noch nicht geläufig ist, versuchen wir die Effektivwerte von Spannung und Strom durch eine geometrische Betrachtung zu gewinnen. Dabei nutzen wir aus, dass in einem Zeit-Leistungs-Diagramm die Fläche unter der Kurve die elektrische Arbeit (bzw. Energie) darstellt. Für die momentane Leistung an einem ohmschen Widerstand, an dem die zeitlich veränderliche Spannung \(U(t)\) liegt, gilt
\[P(t) = U(t) \cdot I(t) = R \cdot I{(t)^2} = \frac{{U{{(t)}^2}}}{R}\]
Bei einer sinusförmigen Wechselspannung gilt dann insbesondere
\[P(t) = \hat U \cdot \sin \left( {\omega  \cdot t} \right) \cdot \hat I \cdot \sin \left( {\omega  \cdot t} \right) = \hat U \cdot \widehat I \cdot {\left( {\sin \left( {\omega  \cdot t} \right)} \right)^2}\]
oder
\[P(t) = \frac{{{{\hat U}^2}}}{R} \cdot {\left( {\sin \left( {\omega  \cdot t} \right)} \right)^2} \quad (1) \quad bzw.\quad P(t) = {{\hat I}^2} \cdot R \cdot {\left( {\sin \left( {\omega  \cdot t} \right)} \right)^2}\]

Der zeitliche Verlauf der Leistung, wie sie in Gleichung \((1)\) beschrieben ist, wird in der Animation dargestellt.

1 Definition der Effektivwerte von Wechselstrom und -spannung über den Vergleich mit der elektrischen Leistung, die an einem OHMschen Leiter abgegeben wird

Die Animation veranschaulicht, dass die durch die sinusförmige Wechselspannung am Widerstand \(R\) in der Zeit \(T\) verrichtete elektrische Arbeit in einen gleichgroßen Arbeitsbetrag umgewandelt werden kann, der von einer Gleichspannung bewirkt wird, der oben definierten Effektivspannung \({{U_{eff}}}\). Für den Zusammenhang zwischen dem Scheitelwert der Wechselspannung \({\hat U}\) und dem Effektivwert \({{U_{eff}}}\) gilt
\[{\bar P \cdot T = \frac{1}{2} \cdot \frac{{{{\hat U}^2}}}{R} \cdot T \Leftrightarrow \frac{{U_{eff}^2}}{R} \cdot T = \frac{1}{2} \cdot \frac{{{{\hat U}^2}}}{R} \cdot T \Leftrightarrow U_{eff}^2 = \frac{1}{2} \cdot {{\hat U}^2}}\]
Daraus erhält man
\[{{U_{eff}} = \frac{{\hat U}}{{\sqrt 2 }}}\]
Analog gilt für den Effektivwert des Stroms
\[{I_{eff}} = \frac{{\hat I}}{{\sqrt 2 }}\]

Effektivwerte von sinusförmigem Wechselstrom bzw. sinusförmiger Wechselspannung

Für den Effektivwert \({{U_{eff}}}\) einer sinusförmigen Wechselspannung mit dem Scheitelwert \({\hat U}\) gilt\[{{U_{eff}} = \frac{{\hat U}}{{\sqrt 2 }}}\].

Für den Effektivwert \({{I_{eff}}}\) eines sinusförmigen Wechselstroms mit dem Scheitelwert \({\hat I}\) gilt\[{I_{eff}} = \frac{{\hat I}}{{\sqrt 2 }}\]

Die Beziehung \({U_{eff}} = \frac{{\hat U}}{{\sqrt 2 }}\) kann mit folgendem Versuch angenähert bestätigt werden:

Zwei Lämpchen gleicher Bauart werden durch eine Gleich- bzw. Wechselspannungsquelle betrieben. Die Spannungen werden so gewählt, dass die Lämpchen gleich hell leuchten.
Schaltet man parallel zu den Lämpchen ein Gleichspannungs- bzw. ein in Effektivwerten geeichtes Wechselspannungs-Voltmeter, so erhält man beide Male den gleichen Spannungswert.

Die Darstellung beider Spannungen am Oszilloskop ergibt, dass der Scheitelwert der Wechselspannung etwa \(1,4 \approx \sqrt 2 \)mal so groß ist wie der Wert der Gleichspannung.

Im Gegensatz zum Gleichstromfall ändert sich der Wert des Stroms, der ein Schaltelement durchfließt, ständig und wird gelegentlich auch Null. Um die Division durch Null zu vermeiden wählt man zur Festlegung des Wechselstromwiderstandes X eines Elements nicht den Quotienten aus Momentanspannung und Momentanstrom, sondern definiert: \[X = \frac{{{U_{eff}}}}{{{I_{eff}}}}\] Bei sinusförmiger Spannung gilt auch: \[{X_R} = \frac{{{U_{eff}}}}{{{I_{eff}}}} \Rightarrow {X_R} = \frac{{{\textstyle{{\hat U} \over {\sqrt 2 }}}}}{{{\textstyle{{\hat I} \over {\sqrt 2 }}}}} = \frac{{\hat U}}{{\hat I}}\]

Wechselstromwiderstand eines OHMschen Leiters

Wie der entsprechende Versuch und die Animation in Abb. 1 zeigen, sind die angelegte Spannung und der Strom in Phase.

Bei sinusförmiger Spannung \(U(t) = \hat U \cdot \sin (\omega  \cdot t)\quad(1)\) gilt\[U(t) = {U_R}(t) = R \cdot I(t)\quad(2)\]Setzt man (1) in (2) so folgt\[\hat U \cdot \sin (\omega  \cdot t) = R \cdot I(t) \Rightarrow I(t) = \frac{{\hat U}}{R} \cdot \sin (\omega  \cdot t)\]also\[\hat I = \frac{{\hat U}}{R}\]und somit wegen\[{{X_R} = \frac{{\hat U}}{{\hat I}} = \frac{{\hat U}}{{\frac{{\hat U}}{R}}} = \hat U\cdot\frac{R}{{\hat U}} = R}\]Wir erhalten also als Ergebnis\[{{X_R} = R\;;\;\Delta \varphi  = 0}\]

HTML5-Canvas nicht unterstützt!
1 Spannung und Stromstärke in einem Stromkreis mit einem OHMschen Leiter, an dem eine Wechselspannung anliegt, sowohl im Zeiger- als auch im \(t\)-\(U\)- bzw. \(t\)-\(I\)-Diagramm

Wechselstromwiderstand eines Kondensators

Wie der entsprechende Versuch und die Animation in Abb. 2 zeigen, sind die angelegte Spannung und der Strom nicht in Phase: der Strom eilt der angelegten Spannung um \(\frac{\pi }{2}\) voraus.

Bei sinusförmiger Spannung \(U(t) = \hat U \cdot \sin (\omega  \cdot t)\quad(1)\) gilt\[U(t) = {U_C}(t)\]Am Kondensator gilt für den Zusammenhang zwischen Ladung und Spannung die Beziehung\[{U_C}(t) = \frac{{Q(t)}}{C}\quad(3)\]Setzt man (1) in (3) so folgt\[\hat U \cdot \sin (\omega  \cdot t) = \frac{{Q(t)}}{C}\quad(4)\]Differenziert man (4) nach der Zeit und berücksichtigt, dass die zeitliche Ableitung der Ladung gleich dem Strom ist, so folgt\[\hat U \cdot \omega  \cdot \cos (\omega  \cdot t) = \frac{{I(t)}}{C} \Rightarrow I(t) = \hat U \cdot \omega  \cdot C \cdot \cos (\omega  \cdot t)\]Mit \(\cos (\omega  \cdot t) = \sin (\omega  \cdot t + \frac{\pi }{2})\) folgt\[I(t) = \hat I \cdot \sin (\omega  \cdot t + \frac{\pi }{2})\]mit\[\hat I = \hat U \cdot \omega  \cdot C\]Für den Wechselstromwiderstand des Kondensators und die Phasenverschiebung zwischen Strom und Spannung gilt also\[{{X_C} = \frac{{\hat U}}{{\hat I}} = \frac{{\hat U}}{{\hat U\cdot \omega \cdot C}} = \frac{1}{{\omega \cdot C}}}\]Wir erhalten also als Ergebnis\[{{X_C} = \frac{1}{{\omega \cdot C}}\;;\;\Delta \varphi  =  + \frac{\pi }{2}}\]

HTML5-Canvas nicht unterstützt!
2 Spannung und Stromstärke in einem Stromkreis mit einem Kondensator, an dem eine Wechselspannung anliegt, sowohl im Zeiger- als auch im \(t\)-\(U\)- bzw. \(t\)-\(I\)-Diagramm

Wechselstromwiderstand einer Spule

Wie der entsprechende Versuch und die Animation in Abb. 3 zeigen, sind die angelegte Spannung und der Strom nicht in Phase: der Strom hinkt der angelegten Spannung um \( \frac{\pi }{2}\) hinterher.

Bei sinusförmiger Spannung \(U(t) = \hat U \cdot \sin (\omega  \cdot t)\quad(1)\) gilt\[U(t) = {U_L}(t)\]An der Spule gilt für den Zusammenhang zwischen Spannung und zeitlicher Stromänderung\[{U_L}(t) = L \cdot \dot I(t)\quad(5)\]Setzt man (1) in (5) so folgt\[\hat U \cdot \sin (\omega  \cdot t) = L \cdot \dot I(t) \Rightarrow \dot I(t) = \frac{{\hat U}}{L} \cdot \sin (\omega  \cdot t)\quad(6)\]Eine Lösung der Differentialgleichung (6) lautet (prüfen Sie dies, indem Sie (7) differenzieren)
\[I(t) =  - \frac{{\hat U}}{{\omega  \cdot L}} \cdot \cos (\omega  \cdot t)\quad(7)\]Da man für \( - \cos (\omega  \cdot t) = \sin (\omega  \cdot t - \frac{\pi }{2})\) schreiben kann, gilt\[I(t) = \frac{{\hat U}}{{\omega  \cdot L}} \cdot \sin (\omega  \cdot t - \frac{\pi }{2})\]Mit\[{{X_L} = \frac{{\hat U}}{{\hat I}} = \frac{{\hat U}}{{\frac{{\hat U}}{{\omega  \cdot L}}}} = \hat U \cdot \frac{{\omega  \cdot L}}{{\hat U}} = \omega  \cdot L}\]Wir erhalten also als Ergebnis\[{{X_L} = \omega  \cdot L\;;\;\Delta \varphi  =  - \frac{\pi }{2}}\]

HTML5-Canvas nicht unterstützt!
3 Spannung und Stromstärke in einem Stromkreis mit einer Spule, an dem eine Wechselspannung anliegt, sowohl im Zeiger- als auch im \(t\)-\(U\)- bzw. \(t\)-\(I\)-Diagramm
1 Spannung und Stromstärke in einem Stromkreis mit einem OHMschen Leiter, an dem eine Wechselspannung anliegt

Legt man eine sinusförmige Wechselspannung an einen OHMschen Leiter, so fließt durch den Widerstand ein Strom, dessen Stärke von der Höhe der angelegten Spannung und dem Wert des Widerstandes abhängt. Strom und Spannung erreichen gleichzeitig ihren Nulldurchgang, ihr Maximum und ihr Minimum. Man sagt beim OHMschen Leiter sind Spannung und Strom in Phase bzw. die Phasenverschiebung zwischen Strom und Spannung ist Null.

Zur Darstellung des zeitlichen Verlaufs von Spannung \(U\) und Stromstärke \(I\) kann man deren Werte über der Zeit \(t\) in \(t\)-\(U\)- bzw. \(t\)-\(I\)-Diagrammen auftragen. In der Wechselstromlehre verwendet man häufig auch ein sogenanntes Zeigerdiagramm, das sich zeichnerisch leichter herstellen lässt und das noch andere Vorteile hat, auf die weiter unten eingegangen wird.

Zur Darstellung der sinusförmigen Wechselspannung im Zeigerdiagramm lässt man einen Zeiger von der Länge der Spannungsamplitude \(\hat U\) mit der Winkelgeschwindigkeit \(\omega\) im Gegenuhrzeiger rotieren. Der Momentanwert der Spannung ist dann an der Vertikalachse des Zeigerdiagramms abzulesen.

2 Prinzipieller Zusammenhang zwischen (t\)-\(U\)-Diagramm und Zeigerdiagramm

Die gleichzeitige Darstellung von Stromstärke und Spannung liefert das folgende Bild. Auch die Momentanwerte der Stromstärke können jeweils an der vertikalen Achse abgelesen werden.

3 Gleichzeitige Darstellung von Spannung und Stromstärke bei einem OHMschen Leiter in \(t\)-\(U\)/\(I\)-Diagramm und Zeigerdiagramm

Neben der einfacheren zeichnerischen Darstellung bietet das Zeigerdiagramm einen besonderen Vorteil, wenn es darum geht z.B. zwei phasenverschobene, frequenzgleiche Spannungen mit unterschiedlicher Amplitude zu addieren. In der folgenden Animation ist die Addition zweier Spannungen \({U_1}\left( t \right)\) und \({U_2}\left( t \right)\) im \(t\)-\(U\)-Diagramm und im Zeigerdiagramm durchgeführt.

4 Addition zweier Spannungen im \(t\)-\(U\)-Diagramm und im Zeigerdiagramm

Die Ermittlung der "Summenspannung" im Zeigerdiagramm lässt sich schneller durchführen als die Addition der Sinuskurven zu jedem Zeitpunkt. Alle drei Spannungen besitzen die gleiche Frequenz, d.h. ihre Zeiger rotieren mit der gleichen Winkelgeschwindigkeit. Der Summenzeiger ergibt sich durch vektorielle Addition aus den Zeigern der Teilspannungen.

Druckversion