Diese Simulation zeigt einen einfachen Stromkreis, der aus einer Wechselspannungsquelle und – je nach aktiviertem Optionsfeld – einem reinen OHMschen Widerstand, einem Kondensator oder einer idealen Induktionsspule (ohne OHMschen Widerstand) besteht. Zusätzlich sind Messgeräte für Spannung \(U\) und Stromstärke \(I\) vorhanden.

Unterhalb der Schaltskizze sieht man links ein Zeigerdiagramm: Aus der Position der beiden Zeiger (blau für die Spannung, rot für die Stromstärke) kann man jeweils die Schwingungsphase ablesen. Die Projektion eines Zeigers auf die senkrechte Achse ergibt den momentanen Wert von \(U\) bzw. \(I\). Rechts unten wird in einem \(t\)-\(U\)- bzw. \(t\)-\(I\)-Diagramm die Zeitabhängigkeit von Spannung und Stromstärke dargestellt.

Der Schaltknopf "Zurück" bringt den Stromkreis in den Anfangszustand. Mit dem anderen Schaltknopf kann man die Simulation starten, unterbrechen und wieder fortsetzen. Die Option "Zeitlupe" bewirkt eine Verlangsamung um den Faktor 10.

In den Eingabefeldern kann man die voreingestellten Werte für Frequenz, maximale Spannung sowie Widerstand, Kapazität (des Kondensators) oder Induktivität (der Spule) abändern ("Enter"-Taste nicht vergessen!). Links unten zeigt das Programm den maximalen Wert der Stromstärke an.

Wir danken Herrn Walter Fendt für die Erlaubnis, diese HTML5/Javascript-Animation auf LEIFIphysik zu nutzen.

Aufgabe

Präge dir die gegenseitige Phasenlage von Strom und Spannung bei den drei Elementen gut ein (wer eilt vor, wer hinkt nach?).

Stelle bei dem jeweils ausgewählten Element verschiedene Frequenzen ein und merke dir, wie sich dabei der Maximalwert des Stromes (bei fester Spannungsamplitude) verändert.

Lösung

Eigene Lösung.

Erzeugung sinusförmiger Wechselspannung

Man dreht eine Leiterschleife gleichmäßig im Magnetfeld zwischen den Polschuhen eines Permanentmagneten und misst die Spannung an den Enden der Leiterschleife mittels eines Voltmeters.

Verwendet man nur eine Leiterschleife muss man die Spannung verstärken, verwendet man den aus mehreren Wicklungen mit Eisenkern versehenen Rotor, so kann man ohne Messverstärker auskommen.

Nur bei sehr gleichmäßiger Rotation und bei einem sehr gut homogenen Magnetfeld erhält man annähernd eine sinusförmige Wechselspannung.

In der folgenden Animation ist die gleichförmige Rotation der Leiterschleife - unter Heraushebung verschiedener Phasen - ausführlich dargestellt:

2 Erzeugung einer sinusförmiger Wechselpannung durch eine rotierende Leiterschleife im homogenen magnetischen Feld

Beachten Sie bitte, dass die induzierte Spannung nicht dann maximal ist, wenn der magnetische Fluss durch die Spule maximal ist. Für die Höhe der Induktionsspannung ist nämlich die zeitliche Änderung des magnetischen Flusses entscheidend und nicht dessen absoluter Betrag. Die Änderungsgeschwindigkeit des Flusses ist aber gerade dann am größten, wenn der Fluss durch die Leiterschleife Null ist.

Herleitung der Beziehung für die induzierte Spannung U_ind mit Hilfe des Induktionsgesetzes in differentieller Form (hierzu müssen Sie die Regeln der Differentialrechung bereits beherrschen):

\[\begin{array}{l}{U_{ind}} = - N \cdot \frac{{d\Phi }}{{dt}}\;{\rm{mit}}\;\Phi = \vec B \cdot \vec A\;{\rm{folgt:}}\;{U_{ind}} = - N \cdot \frac{{d\left( {\vec B \cdot \vec A} \right)}}{{dt}}\\{\rm{ausfü hrliche}}\;{\rm{Schreibweise}}\;{\rm{des}}\;{\rm{Skalarprodukts}}\;{\rm{von}}\;\vec B\;{\rm{und}}\;\vec A{\rm{:}}\\{U_{ind}} = - N \cdot \frac{{d\left( {B \cdot {A_0} \cdot {\rm{cos}}\varphi } \right)}}{{dt}}\;{\rm{mit}}\;\varphi = \omega \cdot t\;{\rm{folgt:}}\\{U_{ind}} = - N \cdot \frac{{d\left( {B \cdot {A_0} \cdot {\rm{cos}}\left( {\omega \cdot t} \right)} \right)}}{{dt}}\quad\\\quad {U_{ind}} = - N \cdot B \cdot {A_0} \cdot \frac{{d\left( {{\rm{cos}}\left( {\omega \cdot t} \right)} \right)}}{{dt}}\quad \Rightarrow \quad {U_{ind}} = N \cdot B \cdot {A_0} \cdot \omega \cdot {\rm{sin}}\left( {\omega \cdot t} \right)\\\quad \quad \quad \quad \quad \quad mit\;\hat U = N \cdot B \cdot {A_0} \cdot \omega \;{\rm{ergibt}}\;{\rm{sich:}}\\\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad {U_{ind}} = \hat U \cdot {\rm{sin}}\left( {\omega \cdot t} \right)\end{array}\]

Man erkennt, dass der Maximalwert der Spannung \(\hat U\) umso höher ist, je größer die Windungszahl, die magnetische Flussdichte, die Spulenfläche und die Kreisfrequenz ist.

Hinweis:
Häufig wird der Maximalwert der Spannung mit U₀ bezeichnet. Um Verwechslungen mit dem Spannungswert zum Zeitpunkt t = 0 auszuschließen, wählen wir für den Maximalwert die Bezeichnung \(\hat U\).

Kombination von C, L, R im Wechselstromkreis - Simulation (JAVA-Applet von Walter Fendt)

In dem JAVA-Applet von Walter Fendt lassen sich aus ohmschen Widerständen, idealen Spulen und Kondensatoren einfache Wechselstromkreise aufbauen. Für verschiedene Werte der Frequenz und der Amplitude der Eingangsspannung berechnet das Applet

Spannung (Maximalwert),
Stromstärke (Maximalwert),
Impedanz (komplexer Widerstand),
Betrag der Impedanz und
Phasenverschiebung (Stromstärke relativ zur Spannung)

am ausgewählten Element.

zum Applet

Niederfrequente erzwungene Schwingungen

Zunächst wird der ohmsche Widerstand an die Wechselstromquelle variabler Frequenz (z.B. 15V/ 1Hz) angeschlossen. Man beobachtet mit den im Gleichspannungs- ( 30V_) bzw. Gleichstrombereich (30mA_) betriebenen Messgeräten kurzer Einstelldauer den zeitlichen Verlauf und die Amplitude der elektrischen Größen.

Bei ansonsten gleichbleibender Schaltung werden anschließend der Reihe nach der Kondensator und die Spule hoher Induktivität an den Sinusgenerator angeschlossen und jeweils Strom- und Spannungsverlauf beobachtet.

Hinweis zur Durchführung: Um die Phasenverschiebung gut zu beobachten, klopft man immer beim Nulldurchgang der Spannung von links nach rechts auf den Tisch.

Ergebnisse:	Ohmscher Widerstand	Kondensator	Spule
Diagramm des zeitlichen Verlaufs
Formel	\[{{\hat I}_R} = \frac{{\hat U}}{R}\;;\;{X_R} = R\] \[\Delta \varphi = 0\]	\[{{\hat I}_C} = \hat U \cdot \omega \cdot C\;;\;{X_C} = \frac{1}{{\omega \cdot C}}\] \[\Delta \varphi = + \frac{\pi }{2}\]	\[{{\hat I}_L} = \frac{{\hat U}}{{\omega \cdot L}}\;;\;{X_L} = \omega \cdot L\] \[\Delta \varphi =-\frac{\pi }{2}\]
Zeigerdiagramm und Frequenzabhängigkeit des Wechselstromwiderstands

Hochfrequente erzwungene Schwingung

Die Spannung an Kondensator bzw. Spule und die dem Strom I proportionale Spannung am Ohmschen Widerstand R werden am Oszilloskop angezeigt.

Hat man ein echtes Zweistrahloszilloskop zur Verfügung, so sind die beiden Eingänge des Oszilloskops völlig unabhängig voneinander, man kann daher mit einem solchen Oszilloskop messen, wie man dies mit zwei Drehspulinstrumenten tun würde.

Steht dagegen nur ein Zweikanaloszilloskop zur Verfügung, so besitzen die beiden Eingänge des Oszilloskops einen gemeinsamen geerdeten Pol. Die Auswahl der Schaltungspunkte, an denen die Spannungen abgegriffen werden, ist daher nicht mehr völlig frei (wenn man Kurzschlüsse veremeiden will). Die Spannung greift man ab zwischen dem gemeinsamen Erdkontakt und dem Kontakt Y_II . Die Stromstärke greift man ab als Spannungsabfall am kleinen Widerstand R₁ zwischen dem gemeinsamen Erdkontakt und dem Kontakt Y_I. Damit Strom und Spannung richtige Orientierung haben, muss man einen der beiden Kanäle invertieren.

Ergebnis

Kondensator	Spule

Die Stromstärke läuft der Spannung um einen Phasenwinkel Δφ = 0,5·π voraus.	Die Stromstärke hinkt der Spannung bei der idealen Spule um einen Phasenwinkel Δφ = 0,5·π nach. Bei der realen Spule ist der Phasenwinkel etwas kleiner als 0,5·π.

Reale Spule am Oszilloskop

Man misst mit dem Zweikanaloszilloskop am Kanal II (roter Graph) die Spannung und am Kanal I die Stromstärke (schwarzer Graph).

Als "realen" Spule verwendet man eine Serienschaltung aus veränderlichem Widerstand R₂ und ziemlich idealer Spule L.

Die Spannung greift man ab zwischen dem gemeinsamen Erdkontakt und dem Kontakt Y_II .

Die Stromstärke greift man ab als Spannungsabfall am kleinen Widerstand R₁ zwischen dem gemeinsamen Erdkontakt und dem Kontakt Y_I.

Damit Strom und Spannung richtige Orientierung haben, muss man einen der beiden Kanäle invertieren.

Ergebnis

Die Stromstärke (rot) hinkt der Spannung (blau) um einen Phasenwinkel Δφ nach. Dabei gilt -0,5·π < Δφ < 0. In Abhängigkeit von R erhält man unten dargestellte farblich veränderte Oszilloskopbilder.

R₂ ist maximal groß

Die reale Spule verhält sich nahezu wie ein ohmscher Widerstand.

R₂ ist etwa so groß wie ω·L.

R₂ ist sehr klein

Die Spule verhält sich nahezu wie eine ideale Spule.

Wenn sich bei einer Spule der ohmsche Widerstand der Windungen nicht vernachlässigen lässt, spricht man von einer realen Spule. Die folgende Abbildung zeigt ein Ersatzschaltbild für die reale Spule, das aus einer Serienschaltung eines ohmschen Widerstands und einer idealen Spule besteht.

Will man den Wechselstromwiderstand einer realen Spule wissen und die Phasenverschiebung zwischen Strom und Spannung ermitteln, so leistet ein Zeigerdiagramm gute Dienste.

7 Zeigerdiagramm einer realen Spule

•Man beginnt das Zeigerdiagramm mit derjenigen elektrischen Größe, die beiden Elementen (Widerstand und Spule) gemeinsam ist. Bei einer Serienschaltung ist dies der Strom.

•Für die Zeichnung geben wir uns folgende Werte vor:\[ \hat{I}=2,0A;\; R=100\Omega;\; L=3,0H;\; f=\frac{50}{2\cdot \pi}s^{-1} \]Hinweis: Diese Werte dienen nur der Erstellung einer vernünftigen Größe des Zeigerdiagramms, sie beschränken die spätere allgemeine Rechnung nicht.

•Eintrag des Stromzeigers

•Berechnung der Längen der Spannungszeiger \[\begin{align*} \hat{U}_R &=R\cdot \hat{I} \; \Rightarrow \; \hat{U}_R=100\cdot 2,0V=2,0\cdot 10^2V\\ \hat{U}_L &=\omega\cdot L \cdot \hat{I} \; \Rightarrow \; \hat{U}_L=2\cdot \pi \cdot f \cdot L \cdot \hat{I}\\ \hat{U}_L &=2\cdot \pi \cdot \frac{50}{2\pi}\cdot 3,0 \cdot 2,0V=3,0\cdot 10^2V \end{align*}\]

•Einzeichnen der Spannungszeiger unter Berücksichtigung der Phasenlage bezüglich des Stroms.

•Vektoraddition der Spannungszeiger zur Gesamtspannung U_RL

•Berechung von U_RL und X_RL:\[\begin{align*} \hat{U}_{RL}&=\sqrt{ \hat{U}_R^2 + \hat{U}_L^2 } \\ &=\sqrt{\hat{I}^2\cdot R^2 + \hat{I}^2\cdot (\omega L)^2} \\ &=\hat{I}\cdot \sqrt{R^2 + (\omega L)^2} \\ X_{RL}&=\frac{\hat{U}_{RL}}{\hat{I}}\; \Rightarrow \; X_{RL} = \sqrt{R^2 + (\omega L)^2} \end{align*}\]

•Berechnung der Phasenverschiebung zwischen Strom und Spannung

•\[ \tan(\Delta \varphi)=\frac{\hat{U}_L}{\hat{U}_R} =\frac{\hat{I}\cdot \omega \cdot L}{\hat{I} \cdot R} =\frac{\omega \cdot L}{R} \]

•Das ganze Zeigersystem muss man sich mit der Winkelgeschwindigkeit ω im Gegenuhrzeigersinn rotierend denken.

Frequenzabhängigkeit des induktiven Widerstands

Aufbau und Durchführung

Man schließt einen Sinusgenerator an eine Serienschaltung von Spule und Widerstand an.

Man misst die an der Spule mit der Induktiovität \(L\) anliegende Spannung \(U_L\) und die am Widerstand mit der Resistanz \(R\) abfallende Spannung \(U_R\) (die proportional zur Stromstärke \(I\) durch die Spule ist) in Abhängigkeit von der Frequenz \(f\).

Die beiden Spannungen misst man am besten mit dem Computer (hier mit Cassy), der diese auch direkt graphisch auswerten kann.

Beobachtung

Auswertung

Ermittle aus dem Graph den induktiven Widerstand für hohe Frequenzen.

Für große Frequenzen ist der Widerstand direkt proportional zur Frequenz. Die Proportionalitätskonstante ist die Steigung der Geraden. Es ergibt sich
\[{X_L} = \frac{{95\Omega }}{{400\frac{1}{s}}} \cdot f = 0,24\Omega {\rm{s}} \cdot f\]
Bestimme aus dem Ergebnis von Teilaufgabe a) die Induktivität der verwendeten Spule.

\[{X_L} = \omega \cdot L = 2 \cdot \pi \cdot f \cdot L \Leftrightarrow L = \frac{{{X_L}}}{{2 \cdot \pi \cdot f}} \Rightarrow L = \frac{{0,24\Omega s \cdot f}}{{2 \cdot \pi \cdot f}} = 0,038\frac{{{\rm{V}} \cdot {\rm{s}}}}{{\rm{A}}} = 0,038{\rm{H}}\]
Erläutere, warum der von Teilaufgabe a) ermittelte Wert nicht für niedrige Frequenzen stimmt.

Da jede Spule auch einen Ohmschen Widerstand \(R\) besitzt, misst man in Wirklichkeit den Wechselstromwiderstand einer realen Spule. Dieser ist
\[{X_{RL}} = \sqrt {{R^2} + {{\left( {\omega \cdot L} \right)}^2}} \]
Für große Frequenzen spielt \(R\) dabei keine Rolle, bei kleinen Frequenzen jedoch schon.

Frequenzabhängigkeit des kapazitiven Widerstands

Aufbau und Durchführung

Man schließt einen Sinusgenerator an eine Serienschaltung von Kondensator und Widerstand an.

Man misst die am Kondensator mit der Kapazität \(C\) anliegende Spannung \(U_C\) und die am Widerstand mit der Resistanz \(R\) abfallende Spannung \(U_R\) (die proportional zur Stromstärke \(I\) durch den Kondensator ist) in Abhängigkeit von der Frequenz \(f\).

Die beiden Spannungen misst man am besten mit dem Computer (hier mit Cassy), der diese auch direkt graphisch auswerten kann.

Beobachtung

\(f\;{\rm{in}}\;{\rm{Hz}}\)	112	197	305	399	493	601	697	791	898	1004	1112	1296	1515	1734	1890
\(U\;{\rm{in}}\;{\rm{V}}\)	7,01	6,98	7,00	6,99	6,95	6,92	6,87	6,83	6,77	6,71	6,68	6,55	6,38	6,22	6,09
\(I\;{\rm{in}}\;{\rm{mA}}\)	2,33	4,09	6,23	8,15	10,04	12,12	13,95	15,71	17,66	19,7	21,6	24,2	28,1	31,3	33,5
\({X}\;{\rm{in}}\;\Omega \)	3015	1707	1124	858	692	570	492	435	384	341	309	270	227	198	182

Auswertung

Erstelle aus den Daten ein Frequenz - Widerstands - Diagramm (\(f\)-\(X\) - Diagramm).
Erstelle aus den Daten ein \(f\)-\(\frac{1}{X}\) - Diagramm.
Bestimme die Frequenzabhängigkeit des Wechselstromwiderstands dieses Versuches.

Aus dem Diagramm aus Teilaufgabe b) sieht man, dass \(f\) direkt proportional zu \(\frac{1}{X}\) ist, also \(f\) indirekt proportional zu \(X\). Proportionalitätsfaktor ist die Steigung der Gerade. Somit ergibt sich
\[\frac{{\frac{1}{{{X_C}}}}}{f} = \frac{{0,0058\frac{1}{\Omega }}}{{2000\frac{1}{{\rm{s}}}}} = 2,9 \cdot {10^{ - 6}}\frac{{\rm{s}}}{\Omega }\]
Daraus ergibt sich als Widerstand
\[{X_C} = \frac{1}{{2,9 \cdot {{10}^{ - 6}}\frac{{\rm{s}}}{\Omega }}} \cdot \frac{1}{f} = 3,45 \cdot {10^5}\frac{\Omega }{{\rm{s}}} \cdot \frac{1}{f}\]
Theoretisch gilt
\[{X_C} = \frac{1}{{\omega \cdot C}} = \frac{1}{{2 \cdot \pi \cdot f \cdot C}}\]
was zu folgendem Wert führt:
\[{X_C} = \frac{1}{{2 \cdot 3,14 \cdot 0,5 \cdot {{10}^{ - 6}}\frac{{{\rm{A}} \cdot {\rm{s}}}}{{\rm{V}}}}} \cdot \frac{1}{f} = 3,2 \cdot {10^5}\frac{\Omega }{{\rm{s}}} \cdot \frac{1}{f}\]

Hochpass

Es werden zwei Wechselspannungen (Sinusgenerator mit 1400Hz) und gewöhnliches Netzgerät (50Hz) in Serie geschaltet. Es ist dabei zu beachten, dass beim Sinusgenerator ein Pol geerdet ist.


Oszilloskopbild bei Abgriff der Gesamtspannung bei a)	Oszilloskopbild bei Abgriff der Spannung am Widerstand bei b)
Ergebnis Der Strom höherer Frequenz passiert den Hochpass besser als Strom niedriger Frequenz. Beim Hochpass werden die Bässe abgesenkt (geschwächt) und die hohen Töne relativ angehoben (verstärkt).

Tiefpass

Es werden zwei Wechselspannungen (Sinusgenerator mit 1400Hz) und gewöhnliches Netzgerät (50Hz) in Serie geschaltet. Es ist dabei zu beachten, dass beim Sinusgenerator ein Pol geerdet ist.


Oszilloskopbild bei Abgriff der Gesamtspannung bei a)	Oszilloskopbild bei Abgriff der Spannung am Widerstand bei b)
Ergebnis Der Strom niederer Frequenz passiert den Tiefpass besser als Strom hoher Frequenz. Beim Tiefpass werden die hohen Töne abgesenkt (geschwächt) und die Bässe relativ angehoben (verstärkt).