Wechselstromwiderstand und Phasenverschiebung eines Kondensators
Abb. 1 zeigt einen Wechselstromkreis mit einem Kondensator, einem Strom- und einem Spannungsmesser.
Gemessen werden die Stärke des Stroms, der durch den Kondensator fließt, und die Spannung, die über dem Kondensator abfällt. Die entsprechenden Werte werden sowohl in einem \(t\)-\(I\)- bzw. \(t\)-\(U\)-Diagramm als auch in einem Zeigerdiagramm dargestellt.
Die unterschiedlichen Amplituden der Graphen von Stromstärke und Spannung ergeben sich durch die Auftragung unterschiedlicher Größen mit unterschiedlichen Maßeinheiten in einem Diagramm. Den Zusammenhang zwischen den beiden Größen kannst du deshalb hier nicht erkennen.
Du kannst aber erkennen, dass die Spannung, die über dem Kondensator abfällt, gegenüber der Stromstärke1 um \(\frac{\pi }{2}\) (\(90^\circ\)) phasenverschoben ist.
Theoretische Herleitung des Wechselstromwiderstands und der Phasenverschiebung
Im Folgenden werden wir theoretisch die Formel für den Wechselstromwiderstand \(X_C\) und die Phasenverschiebung \(\Delta \varphi\) der Spannung gegenüber der Stromstärke herleiten.
Wir gehen davon aus, dass bei einer sinusförmigen Quellspannung durch den Kondensator ein sinusförmiger Strom der Stärke\[I(t) = \hat I \cdot \sin (\omega \cdot t)\quad(1)\]fließt. Nach der Kondensatorformel\[Q=C \cdot U \Leftrightarrow U = \frac{Q}{C}\]und dem Zusammenhang\[\dot Q(t)=I(t) \underbrace {\Rightarrow} _{(1)} Q(t)=\frac{\hat I}{\omega} \cdot \left(-\cos (\omega \cdot t)\right)\]ergibt sich\[U(t)={\underbrace {\frac{\hat I}{\omega \cdot C}}_{ = :\;\hat U}} \cdot \left( -\cos (\omega \cdot t)\right) \quad(2)\]Mit der Definition des Wechselstromwiderstands und den Gleichungen \((1)\) und \((2)\) ergibt sich\[X_C = \frac{\hat U}{\hat I} = \frac{\frac{\hat I}{\omega \cdot C}}{\hat I} = \frac{1}{\omega \cdot C}\]Nun nutzen wir noch den aus der Trigonometrie bekannten Zusammenhang \(-\cos(\alpha)=\sin\left(\alpha-\frac{\pi}{2}\right)\), mit dem sich für die Spannung \(U\) ergibt\[U(t) = \hat U \cdot \sin \left(\omega \cdot t -\frac{\pi}{2}\right)\quad(3)\]Nun kann man aus \((1)\) und \((3)\) erkennen, dass sowohl Stromstärke als auch Spannung durch Sinusfunktionen, jedoch mit der Phasenverschiebung \(\Delta \varphi = -\frac{\pi}{2}\) beschrieben werden. Wir erhalten also als Ergebnis\[\Delta \varphi = -\frac{\pi}{2}\]
Wechselstromwiderstand und Phasenverschiebung eines Kondensators
Bei sinusförmigen Stromstärken und Spannungen gilt für den Wechselstromwiderstand eines Kondensators\[X_C = \frac{1}{\omega \cdot C}\]Die Phasenverschiebung der Spannung, die über dem Kondensator abfällt, gegenüber der Stromstärke beträgt\[\Delta \varphi = -\frac{\pi}{2}\]Dies wird oft so formuliert, dass "die Spannung der Stromstärke um \(\frac{\pi }{2}\) ( \(90^\circ\)) nachfolgt."
1Wir folgen bei der Definition der Phasenverschiebung ("Verschiebung der über dem Bauelement abfallenden Spannung gegenüber der Stromstärke") der DIN-Norm. Natürlich könnte man umgekehrt auch die Verschiebung der Stromstärke gegenüber der Spannung betrachten. Die DIN-Normierung ist insbesondere messtechnisch naheliegend, wenn man sagt, dass durch ein Bauelement in einem Stromkreis ein elektrischer Strom fließt, man dann die über dem Bauteil abfallende Spannung misst und schließlich die Phasenverschiebung der abfallenden Spannung gegenüber der Stromstärke betrachtet.