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Grundwissen

Wechselstromwiderstände

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Im Gegensatz zum Gleichstromfall ändert sich der Wert des Stroms, der ein Schaltelement durchfließt, ständig und wird gelegentlich auch Null. Um die Division durch Null zu vermeiden wählt man zur Festlegung des Wechselstromwiderstandes X eines Elements nicht den Quotienten aus Momentanspannung und Momentanstrom, sondern definiert: \[X = \frac{{{U_{eff}}}}{{{I_{eff}}}}\] Bei sinusförmiger Spannung gilt auch: \[{X_R} = \frac{{{U_{eff}}}}{{{I_{eff}}}} \Rightarrow {X_R} = \frac{{{\textstyle{{\hat U} \over {\sqrt 2 }}}}}{{{\textstyle{{\hat I} \over {\sqrt 2 }}}}} = \frac{{\hat U}}{{\hat I}}\]

Wechselstromwiderstand eines OHMschen Leiters

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Abb. 1 Spannung und Stromstärke in einem Stromkreis mit einem OHMschen Leiter, an dem eine Wechselspannung anliegt, sowohl im Zeiger- als auch im \(t\)-\(U\)- bzw. \(t\)-\(I\)-Diagramm

Wie der entsprechende Versuch und die Animation in Abb. 1 zeigen, sind die angelegte Spannung und der Strom in Phase.

Bei sinusförmiger Spannung \(U(t) = \hat U \cdot \sin (\omega  \cdot t)\quad(1)\) gilt\[U(t) = {U_R}(t) = R \cdot I(t)\quad(2)\]Setzt man (1) in (2) so folgt\[\hat U \cdot \sin (\omega  \cdot t) = R \cdot I(t) \Rightarrow I(t) = \frac{{\hat U}}{R} \cdot \sin (\omega  \cdot t)\]also\[\hat I = \frac{{\hat U}}{R}\]und somit wegen\[{{X_R} = \frac{{\hat U}}{{\hat I}} = \frac{{\hat U}}{{\frac{{\hat U}}{R}}} = \hat U\cdot\frac{R}{{\hat U}} = R}\]Wir erhalten also als Ergebnis\[{{X_R} = R\;;\;\Delta \varphi  = 0}\]

Wechselstromwiderstand eines Kondensators

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Abb. 2 Spannung und Stromstärke in einem Stromkreis mit einem Kondensator, an dem eine Wechselspannung anliegt, sowohl im Zeiger- als auch im \(t\)-\(U\)- bzw. \(t\)-\(I\)-Diagramm

Wie der entsprechende Versuch und die Animation in Abb. 2 zeigen, sind die angelegte Spannung und der Strom nicht in Phase: der Strom eilt der angelegten Spannung um \(\frac{\pi }{2}\) voraus.

Bei sinusförmiger Spannung \(U(t) = \hat U \cdot \sin (\omega  \cdot t)\quad(1)\) gilt\[U(t) = {U_C}(t)\]Am Kondensator gilt für den Zusammenhang zwischen Ladung und Spannung die Beziehung\[{U_C}(t) = \frac{{Q(t)}}{C}\quad(3)\]Setzt man (1) in (3) so folgt\[\hat U \cdot \sin (\omega  \cdot t) = \frac{{Q(t)}}{C}\quad(4)\]Differenziert man (4) nach der Zeit und berücksichtigt, dass die zeitliche Ableitung der Ladung gleich dem Strom ist, so folgt\[\hat U \cdot \omega  \cdot \cos (\omega  \cdot t) = \frac{{I(t)}}{C} \Rightarrow I(t) = \hat U \cdot \omega  \cdot C \cdot \cos (\omega  \cdot t)\]Mit \(\cos (\omega  \cdot t) = \sin (\omega  \cdot t + \frac{\pi }{2})\) folgt\[I(t) = \hat I \cdot \sin (\omega  \cdot t + \frac{\pi }{2})\]mit\[\hat I = \hat U \cdot \omega  \cdot C\]Für den Wechselstromwiderstand des Kondensators und die Phasenverschiebung zwischen Strom und Spannung gilt also\[{{X_C} = \frac{{\hat U}}{{\hat I}} = \frac{{\hat U}}{{\hat U\cdot \omega \cdot C}} = \frac{1}{{\omega \cdot C}}}\]Wir erhalten also als Ergebnis\[{{X_C} = \frac{1}{{\omega \cdot C}}\;;\;\Delta \varphi  =  + \frac{\pi }{2}}\]

Wechselstromwiderstand einer Spule

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Abb. 3 Spannung und Stromstärke in einem Stromkreis mit einer Spule, an dem eine Wechselspannung anliegt, sowohl im Zeiger- als auch im \(t\)-\(U\)- bzw. \(t\)-\(I\)-Diagramm

Wie der entsprechende Versuch und die Animation in Abb. 3 zeigen, sind die angelegte Spannung und der Strom nicht in Phase: der Strom hinkt der angelegten Spannung um \( \frac{\pi }{2}\) hinterher.

Bei sinusförmiger Spannung \(U(t) = \hat U \cdot \sin (\omega  \cdot t)\quad(1)\) gilt\[U(t) = {U_L}(t)\]An der Spule gilt für den Zusammenhang zwischen Spannung und zeitlicher Stromänderung\[{U_L}(t) = L \cdot \dot I(t)\quad(5)\]Setzt man (1) in (5) so folgt\[\hat U \cdot \sin (\omega  \cdot t) = L \cdot \dot I(t) \Rightarrow \dot I(t) = \frac{{\hat U}}{L} \cdot \sin (\omega  \cdot t)\quad(6)\]Eine Lösung der Differentialgleichung (6) lautet (prüfen Sie dies, indem Sie (7) differenzieren)
\[I(t) =  - \frac{{\hat U}}{{\omega  \cdot L}} \cdot \cos (\omega  \cdot t)\quad(7)\]Da man für \( - \cos (\omega  \cdot t) = \sin (\omega  \cdot t - \frac{\pi }{2})\) schreiben kann, gilt\[I(t) = \frac{{\hat U}}{{\omega  \cdot L}} \cdot \sin (\omega  \cdot t - \frac{\pi }{2})\]Mit\[{{X_L} = \frac{{\hat U}}{{\hat I}} = \frac{{\hat U}}{{\frac{{\hat U}}{{\omega  \cdot L}}}} = \hat U \cdot \frac{{\omega  \cdot L}}{{\hat U}} = \omega  \cdot L}\]Wir erhalten also als Ergebnis\[{{X_L} = \omega  \cdot L\;;\;\Delta \varphi  =  - \frac{\pi }{2}}\]