Direkt zum Inhalt

Grundwissen

Wechselstromwiderstände

Das Wichtigste auf einen Blick

  • Der Wechselstromwiderstand eines Elementes ist der Quotient aus Effektivspannung und Effektivstrom: \(X=\frac{U_{\rm{eff}}}{I_{\rm{eff}}}\)
  • Man unterscheidet zwischen Wechselstromwiderständen an ohmschen Leitern \(X_R\), an Kondensatoren \(X_C\) und an Spulen (Induktivitäten) \(X_L\).
  • Dabei gilt \(X_R=\frac{\hat U}{\hat I}\), \({X_C} = \frac{1}{\omega \cdot C}\) und \({X_L} ={{\omega \cdot L}}\)
  • Zusätzlich verursachen Kondensator und Spule eine Phasenverschiebung zwischen Spannung und Strom.
Aufgaben Aufgaben

Definition des Wechselstromwiderstands \(X\)

Im Gegensatz zum Gleichstromfall ändert sich der Wert des Stroms, der ein Schaltelement durchfließt, ständig und wird gelegentlich auch Null. Um die Division durch Null zu vermeiden wählt man zur Festlegung des Wechselstromwiderstandes \(X\) eines Elements nicht den Quotienten aus Momentanspannung und Momentanstrom, sondern definiert den Wechselstromwiderstand als: \[X = \frac{{{U_{\rm{eff}}}}}{{{I_{\rm{eff}}}}}\]Grundsätzlich musst du beim Wechselstromwiderstand unterscheiden, ob es sich bei dem verursachenden Bauteil um einen ohmschen Widerstand, einen Kondensator oder eine Spule handelt.

Wechselstromwiderstände an verschiedenen Bauteilen

Bei sinusförmiger Spannung gilt für den Wechselstromwiderstand an einem ohmschen Widerstand:\[{X_R} = \frac{{{U_{\rm{eff}}}}}{{{I_{\rm{eff}}}}} \Rightarrow {X_R} = \frac{{{\textstyle{{\hat U} \over {\sqrt 2 }}}}}{{{\textstyle{{\hat I} \over {\sqrt 2 }}}}} = \frac{{\hat U}}{{\hat I}}\]Für den Wechselstromwiderstand eines Kondensators \(X_C\) und die dabei auftretende Phasenverschiebung \(\varphi\) zwischen Strom und Spannung gilt:\[{{X_C} = \frac{1}{{\omega \cdot C}}\;;\;\Delta \varphi  =  + \frac{\pi }{2}}\]Für den Wechselstromwiderstand einer Spule \(X_L\) und die dabei auftretende Phasenverschiebung \(\varphi\) zwischen Strom und Spannung gilt:\[{{X_L} = {\omega \cdot L}\;;\;\Delta \varphi  =  - \frac{\pi }{2}}\]

Wechselstromwiderstand eines OHMschen Leiters

HTML5-Canvas nicht unterstützt!
Abb. 1 Spannung und Stromstärke in einem Stromkreis mit einem OHMschen Leiter, an dem eine Wechselspannung anliegt, sowohl im Zeiger- als auch im \(t\)-\(U\)- bzw. \(t\)-\(I\)-Diagramm

Wie der entsprechende Versuch und die Animation in Abb. 1 zeigen, sind die angelegte Spannung und der Strom in Phase.

Bei sinusförmiger Spannung \(U(t) = \hat U \cdot \sin (\omega  \cdot t)\quad(1)\) gilt\[U(t) = {U_R}(t) = R \cdot I(t)\quad(2)\]Setzt man (1) in (2) so folgt\[\hat U \cdot \sin (\omega  \cdot t) = R \cdot I(t) \Rightarrow I(t) = \frac{{\hat U}}{R} \cdot \sin (\omega  \cdot t)\]also\[\hat I = \frac{{\hat U}}{R}\]und somit wegen\[{{X_R} = \frac{{\hat U}}{{\hat I}} = \frac{{\hat U}}{{\frac{{\hat U}}{R}}} = \hat U\cdot\frac{R}{{\hat U}} = R}\]Wir erhalten also als Ergebnis\[{{X_R} = R\;;\;\Delta \varphi  = 0}\]

Wechselstromwiderstand eines Kondensators

HTML5-Canvas nicht unterstützt!
Abb. 2 Spannung und Stromstärke in einem Stromkreis mit einem Kondensator, an dem eine Wechselspannung anliegt, sowohl im Zeiger- als auch im \(t\)-\(U\)- bzw. \(t\)-\(I\)-Diagramm

Wie der entsprechende Versuch und die Animation in Abb. 2 zeigen, sind die angelegte Spannung und der Strom nicht in Phase: der Strom eilt der angelegten Spannung um \(\frac{\pi }{2}\) voraus.

Bei sinusförmiger Spannung \(U(t) = \hat U \cdot \sin (\omega  \cdot t)\quad(1)\) gilt\[U(t) = {U_C}(t)\]Am Kondensator gilt für den Zusammenhang zwischen Ladung und Spannung die Beziehung\[{U_C}(t) = \frac{{Q(t)}}{C}\quad(3)\]Setzt man (1) in (3) so folgt\[\hat U \cdot \sin (\omega  \cdot t) = \frac{{Q(t)}}{C}\quad(4)\]Differenziert man (4) nach der Zeit und berücksichtigt, dass die zeitliche Ableitung der Ladung gleich dem Strom ist, so folgt\[\hat U \cdot \omega  \cdot \cos (\omega  \cdot t) = \frac{{I(t)}}{C} \Rightarrow I(t) = \hat U \cdot \omega  \cdot C \cdot \cos (\omega  \cdot t)\]Mit \(\cos (\omega  \cdot t) = \sin (\omega  \cdot t + \frac{\pi }{2})\) folgt\[I(t) = \hat I \cdot \sin (\omega  \cdot t + \frac{\pi }{2})\]mit\[\hat I = \hat U \cdot \omega  \cdot C\]Für den Wechselstromwiderstand des Kondensators und die Phasenverschiebung zwischen Strom und Spannung gilt also\[{{X_C} = \frac{{\hat U}}{{\hat I}} = \frac{{\hat U}}{{\hat U\cdot \omega \cdot C}} = \frac{1}{{\omega \cdot C}}}\]Wir erhalten also als Ergebnis\[{{X_C} = \frac{1}{{\omega \cdot C}}\;;\;\Delta \varphi  =  + \frac{\pi }{2}}\]

Wechselstromwiderstand einer Spule

HTML5-Canvas nicht unterstützt!
Abb. 3 Spannung und Stromstärke in einem Stromkreis mit einer Spule, an dem eine Wechselspannung anliegt, sowohl im Zeiger- als auch im \(t\)-\(U\)- bzw. \(t\)-\(I\)-Diagramm

Wie der entsprechende Versuch und die Animation in Abb. 3 zeigen, sind die angelegte Spannung und der Strom nicht in Phase: der Strom hinkt der angelegten Spannung um \( \frac{\pi }{2}\) hinterher.

Bei sinusförmiger Spannung \(U(t) = \hat U \cdot \sin (\omega  \cdot t)\quad(1)\) gilt\[U(t) = {U_L}(t)\]An der Spule gilt für den Zusammenhang zwischen Spannung und zeitlicher Stromänderung\[{U_L}(t) = L \cdot \dot I(t)\quad(5)\]Setzt man (1) in (5) so folgt\[\hat U \cdot \sin (\omega  \cdot t) = L \cdot \dot I(t) \Rightarrow \dot I(t) = \frac{{\hat U}}{L} \cdot \sin (\omega  \cdot t)\quad(6)\]Eine Lösung der Differentialgleichung (6) lautet (prüfen Sie dies, indem Sie (7) differenzieren)
\[I(t) =  - \frac{{\hat U}}{{\omega  \cdot L}} \cdot \cos (\omega  \cdot t)\quad(7)\]Da man für \( - \cos (\omega  \cdot t) = \sin (\omega  \cdot t - \frac{\pi }{2})\) schreiben kann, gilt\[I(t) = \frac{{\hat U}}{{\omega  \cdot L}} \cdot \sin (\omega  \cdot t - \frac{\pi }{2})\]Mit\[{{X_L} = \frac{{\hat U}}{{\hat I}} = \frac{{\hat U}}{{\frac{{\hat U}}{{\omega  \cdot L}}}} = \hat U \cdot \frac{{\omega  \cdot L}}{{\hat U}} = \omega  \cdot L}\]Wir erhalten also als Ergebnis\[{{X_L} = \omega  \cdot L\;;\;\Delta \varphi  =  - \frac{\pi }{2}}\]