Die homogene Differentialgleichung 2. Ordnung für die Ladung \(Q(t)\) auf der oberen Platte des Kondensators während des Schwingvorgangs lautet\[\ddot Q(t) + \frac{R}{L} \cdot \dot Q(t) + \frac{1}{L \cdot C}\cdot Q(t) = 0 \quad(*)\]Zusätzlich muss die gesuchte Funktion \(Q(t)\) noch die beiden Anfangsbedingungen \(Q_0 = Q(0\,{\rm{s}}) = C \cdot \left| {{U_0}} \right|\) und \(I(0\,{\rm{s}})=\dot Q(0\,{\rm{s}})=0\) erfüllen.
Im Fall \({\omega_0}^2 < \delta^2\) mit \(\omega_0 = \sqrt {\frac{1}{L \cdot C}}\) und \(\delta = \frac{R}{2 \cdot L}\) ist die Schwingung stark gedämpft. Wir sprechen dann vom sogenannten Kriechfall.
Ladung auf dem Kondensator
Aufgabe
Weise nach, dass im Kriechfall die Funktion \(Q(t) = \hat{Q} \cdot \frac{1}{{2 \cdot \lambda }}\left( {\left( {\lambda + \delta } \right) \cdot {e^{\lambda \cdot t}} + \left( {\lambda - \delta } \right) \cdot {e^{ - \lambda \cdot t}}} \right) \cdot {e^{ - \delta \cdot t}}\) mit \(\hat{Q}=Q_0\), \(\lambda = \sqrt {{\delta ^2} - {\omega_0}^2}\), \(\omega_0=\sqrt{\frac{1}{L \cdot C}}\) und \(\delta = \frac{R}{2 \cdot L}\) eine Lösung der Differentialgleichung \((*)\) ist.
Leite dazu die Funktion \(Q(t)\) zwei Mal nach der Zeit \(t\) ab, setze \(\ddot Q(t)\), \(\dot Q(t)\) und \(Q(t)\) in die Differentialgleichung ein und fasse so weit zusammen, bis eine wahre Aussage entsteht.
Zeige, dass die Funktion \(Q(t)\) auch die erste Anfangsbedingung \(Q(0\,{\rm{s}}) = C \cdot \left| {{U_0}} \right|\) erfüllt.
Zeige, dass die Größe \(\delta = \frac{R}{2 \cdot L}\) die Maßeinheit \(\frac{1}{\rm{s}}\) hat.