Elektromagnetische Schwingungen

Aus\[Q(t) = \hat{Q} \cdot \left( {1 + \delta \cdot t} \right) \cdot {e^{ - \delta \cdot t}}\]erhält man durch Ableiten (Produkt- und Kettenregel)\[\dot Q(t) =  - \hat Q \cdot {\delta ^2} \cdot t \cdot {e^{ - \delta  \cdot t}}\]und durch erneutes Ableiten\[\ddot Q(t) = \hat Q \cdot \left( { - {\delta ^2} + {\delta ^3} \cdot t} \right) \cdot {e^{ - \delta  \cdot t}}\]Setzt man \(\ddot Q(t)\), \(\dot Q(t)\) und \(Q(t)\) in die Differentialgleichung ein und klammert \(\hat Q \cdot {e^{ - \delta  \cdot t}}\) aus, so erhält man\[\hat Q \cdot {e^{ - \delta  \cdot t}} \cdot \left[ { - {\delta ^2} + {\delta ^3} \cdot t - \frac{R}{L} \cdot {\delta ^2} \cdot t + \frac{1}{{L \cdot C}} \cdot \left( {1 + \delta  \cdot t} \right)} \right] = 0\]Nutzen wir nun\[\delta  = \frac{R}{{2 \cdot L}} \Leftrightarrow \frac{R}{L} = 2 \cdot \delta \]sowie\[\frac{1}{{L \cdot C}} = {\omega _0}^2 = {\delta ^2}\]und setzen dies ein, so erhalten wir\[\hat Q \cdot {e^{ - \delta  \cdot t}} \cdot \left[ { - {\delta ^2} + {\delta ^3} \cdot t - 2 \cdot \delta  \cdot {\delta ^2} \cdot t + {\delta ^2} \cdot \left( {1 + \delta  \cdot t} \right)} \right] = 0\]Fassen wir schließlich noch zusammen\[\hat Q \cdot {e^{ - \delta  \cdot t}} \cdot \left[ {\underbrace { - {\delta ^2} + {\delta ^3} \cdot t - 2 \cdot {\delta ^3} \cdot t + {\delta ^2} + {\delta ^3} \cdot t}_{ = \;0}} \right] = 0\]so erhalten wir eine wahre Aussage, was zu zeigen war.

\[Q(0\,{\rm{s}}) = \hat Q \cdot \left( {1 + \delta  \cdot 0\,{\rm{s}}} \right) \cdot {e^{ - \delta  \cdot 0\,{\rm{s}}}} = \hat Q \cdot \left( 1+0\right) \cdot \underbrace {{e^0}}_{ = \;1} = \hat Q = C \cdot \left| {{U_0}} \right|\]

\[\left[ \delta  \right] = \left[ {\frac{R}{{2 \cdot L}}} \right] = \frac{\Omega }{{\rm{H}}} = \frac{{\frac{{\rm{V}}}{{\rm{A}}}}}{{\frac{{{\rm{V}}\;{\rm{s}}}}{{\rm{A}}}}} = \frac{1}{{\rm{s}}}\]