Elektromagnetische Schwingungen

Elektrizitätslehre

Elektromagnetische Schwingungen

  • Aus welchen Bauteilen besteht ein elektromagnetischer Schwingkreis?
  • Wie lautet die THOMSON-Formel?
  • Wo bleibt die Energie eines gedämpften Schwingkreises?
1 Aufbau, Durchführung und Beobachtungen der Schwingung eines ungedämpften elektromagnetischen Schwingkreises

Befindet sich kein ohmscher Widerstand im Kreis, so gilt\[L \cdot \ddot Q + \frac{Q}{C} = 0\quad(1)\]Differentialgleichung der freien, ungedämpften elektromagnetischen Schwingung

Hinweis: Natürlich muss dem System einmalig Energie zugeführt werden, damit es zu schwingen beginnt.

Lösungsansatz:
\[Q(t) = \hat Q \cdot \cos (\omega  \cdot t)\quad(2)\] Durch Differenzieren von (2) erhält man:
\[\dot Q(t) =  - \hat Q \cdot \omega  \cdot \sin (\omega  \cdot t)\] und
\[\ddot Q(t) =  - \hat Q \cdot {\omega ^2} \cdot \cos (\omega  \cdot t)\quad(3)\] Setzt man (2) und (3) in die Differentialgleichung (1) ein, so folgt:
\[L \cdot \left( { - \hat Q \cdot {\omega ^2} \cdot \cos (\omega  \cdot t)} \right) + \frac{{\hat Q \cdot \cos (\omega  \cdot t)}}{C} = 0\]
\[\hat Q \cdot \cos (\omega  \cdot t) \cdot \left( { - L \cdot {\omega ^2} + \frac{1}{C}} \right) = 0\quad(4)\] Die linke Seite der Gleichung (4) wird nur dann ständig gleich Null sein, wenn gilt:
\[ - L \cdot {\omega ^2} + \frac{1}{C} = 0\]
\[{\omega  = \frac{1}{{\sqrt {L \cdot C} }}}\quad(5)\]

Gleichung (5) wird als THOMSON-Formel bezeichnet. Sie gestatten die Berechnung der Frequenz in einem Schwingkreis aus der Kapazität des Kondensators und der Induktivität der Spule.

Eine Lösung der Differentialgleichung lautet somit:
\[Q(t) = \hat Q \cdot \cos (\frac{1}{{\sqrt {L \cdot C} }} \cdot t)\]

Ein Vergleich des mechanischen mit dem elektromagnetischen Fall zeigt:

  • Gleichartig strukturierte Differentialgleichungen führen zu den gleich strukturierten Lösungen ("the same equations, the same solutions")
  • Es gelten offenbar die folgenden Entsprechungen:

\[{F_a} \to U(t)\]

\[x \to Q\]

\[v \to I\]

\[a \to \dot I\]

\(m \to L\)

\(D \to \frac{1}{C}\)

\(k \to R\)

 

Die Spule übernimmt die Funktion der trägen Masse

der Kondensator die Funktion der Feder und

der Widerstand die Funktion der geschwindigkeitsabhängigen Reibung.

 

Wird von außen keine Spannung aufgeprägt, so lautet die Differentialgleichung
\[L \cdot \ddot Q + \frac{Q}{C} + R \cdot \dot Q = 0\]
Differentialgleichung der gedämpften elektromagnetischen Schwingung

Hinweis: Natürlich muss dem System einmalig Energie zugeführt werden, damit es zu schwingen beginnt.

Die Lösung dieser Differentialgleichung stellt höhere Anforderungen an die Kenntnisse in Mathematik und ist deshalb meist nicht Pflichtstoff. Für besonders interessierte Schülerinnen und Schüler bieten wir die Lösung im Ausblick an.

Spule, Kondensator und Widerstand sind wie skizziert zusammengeschaltet. Von außen wird die Spannung \(U(t)\) aufgeprägt.

Zwischen den Spannungen gilt die Beziehung:
\[U(t) = {U_L} + {U_C} + {U_R}\quad(1)\]
Mit Hilfe der ausführlicheren Darstellung der Teilspannungen folgt:
\[U(t) = L \cdot \dot I + \frac{Q}{C} + R \cdot I\]
Es gilt der Zusammenhang zwischen Ladung und Strom:
\(I = \dot Q\) und somit auch \(\dot I = \ddot Q \quad(2)\)
Setzt man (2) in (1), so erhält man:
\[U(t) = L \cdot \ddot Q + \frac{Q}{C} + R \cdot \dot Q\]
Differentialgleichung der gedämpften, elektromagnetischen Schwingung mit von außen aufgeprägter Spannung

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