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Aufgabe

Schwingkreis mit Lautsprecher (Abitur BY 1999 GK A2-1)

Schwierigkeitsgrad: schwere Aufgabe

Ein elektromagnetischer Schwingkreis, bestehend aus einer Spule mit Eisenkern der Induktivität \(L=0{,}25\,\rm{H}\) und einem Kondensator der Kapazität \(C=0{,}13\,\rm{{\mu} F}\), schwingt ungedämpft mit seiner Eigenfrequenz \(f\). Als Nachweisgerät dient ein Lautsprecher.

a)Berechne die Frequenz \(f\) des vom Lautsprecher abgegebenen Tons. (3 BE)

b)Erläutere, wie sich die Tonhöhe verhält, wenn man den Eisenkern nach und nach aus der Spule herauszieht. (4 BE)

Ist der Eisenkern ganz entfernt, beträgt die Tonfrequenz \(f_0=4{,}2\,\rm{kHz}\).

c)Berechne die Induktivität \(L_0\) der eisenlosen Spule. (4 BE)

d)Der Schwingkreis soll nun mit der Eigenfrequenz \(2 \cdot f_0\) schwingen.

Gib eine Möglichkeit für eine entsprechende Veränderung des Schwingkreises an.

Begründe deine Antwort. (4 BE)

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Hinweis: Bei dieser Lösung von LEIFIphysik handelt es sich nicht um den amtlichen Lösungsvorschlag des bayr. Kultusministeriums.

a)Mit der THOMSON-Formel ergibt sich\[f=\frac{1}{2\cdot \pi} \cdot \frac{1}{\sqrt{L\cdot C}} \Rightarrow f = \frac{1}{2 \cdot \pi} \cdot \frac {1}{\sqrt{0{,}25\,\rm{H} \cdot 0{,}13 \cdot 10^{-6}\,\rm{F} }} = 0{,}88\,\rm{kHz} \]

b)Beim Herausziehen des Eisenkerns nimmt die Induktivität der Spule ab, \(L\) wird kleiner. Aus der THOMSON-Formel (\(f \sim \frac{1}{{\sqrt L }}\)) sieht man, dass dann die Eigenfrequenz des Schwingkreises größer wird. Der Ton wird dadurch höher.

c)\[{f_0} = \frac{1}{{2 \cdot \pi }} \cdot \frac{1}{{\sqrt {{L_0} \cdot C} }} \Rightarrow {L_0} = \frac{1}{{4 \cdot {\pi ^2} \cdot f_0^2}} \cdot \frac{1}{C}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[{L_0} = \frac{1}{{4 \cdot {\pi ^2} \cdot {{\left( {4{,}2 \cdot {{10}^3}\,{\rm{Hz}}} \right)}^2}}} \cdot \frac{1}{{0{,}13 \cdot {{10}^{ - 6}}\,{\rm{F}}}} = 11\,{\rm{mH}}\]

d)Wenn sich die Frequenz des Schwingkreises verdoppeln soll, so muss das Produkt aus Induktivität \(L\) und Kapazität \(C\) auf ein Viertel des ursprünglichen Wertes \({L_0} \cdot {C_0}\) sinken. Dies ist z.B. erreicht, wenn man \(L_0\) und \(C_0\) jeweils halbiert oder aber eine der beiden Größen beibehält und die andere viertelt.