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Aufgabe

TESLA-Transformator

Schwierigkeitsgrad: schwere Aufgabe

a)Bei geschlossener Funkenstrecke liegen im Schwingkreis I des Teslaversuches zum Kondensator (Leidender Flasche) zwei Spulen mit den Windungszahlen N1 und Ns parallel.

Warum hängt die Eigenfrequenz des "Sendeschwingkreises" I praktisch nicht von Ns ab?

 
Leidener Flasche

b)Führen Sie rechnerisch eine Abschätzung der Eigenfrequenz von Kreis I durch: Die Spule mit N1 = 10 Windungen habe einen Durchmesser von 10cm und eine Länge von 10cm. Die Wandstärke der Leidener Flasche sei 3,0mm, ihr Durchmesser d = 10cm, der leitende Innen- und Außenbelag sei h = 20cm hoch.

c)Die Spule von Schwingkreis II hat den halben Durchmesser, die sechsfache Länge und die 250-fache Windungszahl der Spule in Kreis I, er auf gleiche Eigenfrequenz abgestimmt ist.

Schätzen Sie daraus die Eigenkapazität der Spule in Kreis II rechnerisch ab.

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Ersatzschaltbild

a)Die Induktivität \({L_s}\) der Sekundärspule des linken Transformators ist wesentlich größer als die Induktivität \({L_1}\) der Spule in Schwingkreis I.\[{L_s} \gg {L_1}\]Für die resultierende Induktivität der beiden parallel geschalteten Spulen gilt (vgl. Formelsammlung):\[\frac{1}{{{L_{ges}}}} = \frac{1}{{{L_1}}} + \frac{1}{{{L_s}}} \Rightarrow {L_{ges}} = \frac{{{L_1} \cdot {L_s}}}{{{L_1} + {L_s}}} \Rightarrow {L_{ges}} = {L_1} \cdot \frac{{{L_s}}}{{{L_1} + {L_s}}}\]Da \(\frac{{{L_s}}}{{{L_1} + {L_s}}} \approx 1\) ist, gilt \({L_{ges}} \approx {L_1}\). Für die Eigenfrequenz gilt nach der Thomson-Formel:\[\omega  = \frac{1}{{\sqrt {{L_{ges}} \cdot {C_1}} }} \Rightarrow 2 \cdot \pi  \cdot f \approx \frac{1}{{\sqrt {{L_1} \cdot {C_1}} }} \Rightarrow f \approx \frac{1}{{2 \cdot \pi  \cdot \sqrt {{L_1} \cdot {C_1}} }}\]Die Eigenfrequenz wird also wesentlich durch \({L_1}\) und \({C_1}\) bestimmt.

b)Abschätzung von \({L_1}\):\[{L_1} = {\mu _0} \cdot \frac{{N_1^2 \cdot {A_1}}}{{{\ell _1}}} \Rightarrow {L_1} = 4\pi  \cdot {10^{ - 7}} \cdot \frac{{{{10}^2} \cdot {{0,05}^2} \cdot \pi }}{{0,1}}H \approx {10^{ - 5}}H\]Abschätzung von \({C_1}\):Es handelt sich um einen Hohlzylinder aus Isoliermaterial, der an der Innen- und Außenseite mit leitendem Material belegt ist. Für das Isoliermaterial wird eine relative Dielektrizitätskonstante von \({\varepsilon _r} = 10\)angenommen. \[\begin{array}{l}{C_1} = {\varepsilon _0} \cdot {\varepsilon _r} \cdot \frac{A}{d} \Rightarrow {C_1} = {\varepsilon _0} \cdot {\varepsilon _r} \cdot \frac{{2 \cdot \pi  \cdot r \cdot h}}{d}\\{C_1} = 8,85 \cdot {10^{ - 12}} \cdot 10 \cdot \frac{{2 \cdot \pi  \cdot 0,05 \cdot 0,20}}{{0,003}}F \approx 2 \cdot {10^{ - 9}}F\end{array}\] Für die Eigenfrequenz gilt dann: \[f \approx \frac{1}{{2 \cdot \pi  \cdot \sqrt {{L_1} \cdot {C_1}} }} \Rightarrow f \approx \frac{1}{{2 \cdot \pi  \cdot \sqrt {1{0^{ - 5}} \cdot 2 \cdot 1{0^{ - 9}}} }}Hz \approx 1\,MHz\]

c)Abschätzung von \({L_2}\):\[{L_2} = {\mu _0} \cdot \frac{{{{\left( {250 \cdot {{\rm N}_1}} \right)}^2} \cdot \frac{{{A_1}}}{4}}}{{6 \cdot {l_1}}} \Rightarrow {L_2} = \frac{{{{250}^2}}}{{4 \cdot 6}}{L_1} \approx 3 \cdot {10^{ - 2}}H\]Bei gleicher Eigenfrequenz der beiden Schwingkreise gilt:\[{C_2} \cdot {L_2} = {C_1} \cdot {L_1} \Rightarrow {C_2} = \frac{{{C_1} \cdot {L_1}}}{{{L_2}}} \Rightarrow {C_2} = \frac{{2 \cdot 1{0^{ - 9}} \cdot 1{0^{ - 5}}}}{{3 \cdot {{10}^{ - 2}}}}F \approx 7 \cdot {10^{ - 13}}F\]