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Grundwissen

Elektromagnetischer Schwingkreis ungedämpft

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Joachim Herz Stiftung
Abb. 1 Schaltskizze eines ungedämpften elektromagnetischen Schwingkreises mit Polung der Messgeräte

Abb. 1 zeigt dir die Schaltskizze des Aufbaus, mit dem im Versuch eine ungedämpfte elektromagnetische Schwingung demonstriert werden könnte (wenn die Bauteile keinen OHMschen Widerstand hätten). Die Schaltskizze zeigt folgende Bauteile:

  • Eine elektrische Quelle mit der Nennspannung \(U_0\) zum Aufladen des Kondensators bei Versuchsbeginn.
  • Einen Umschalter \(\rm{S}\), mit dem zwischen den zwei Stromkreisen gewechselt werden kann.
  • Einen Kondensator der Kapazität \(C\).
  • Eine Spule der Induktivität \(L\).
  • Einen Widerstand, der den Strom beim Aufladen des Kondensators begrenzt. Dieser Widerstand spielt in den weiteren Überlegungen keine Rolle mehr.
  • Einen Strommesser für die Stromstärke \(I\).
  • Drei Spannungsmesser für die Spannungen \(U_0\), \(U_C\) und \(U_L\).

Herleitung und Lösung der Schwingungsgleichung

Nach der KIRCHHOFF'schen Maschenregel gilt nun zu jedem Zeitpunkt \(t\) des Schwingvorgangs die Gleichung \[{U_C}(t) + {U_L}(t) = 0\]Wenn wir die bekannten Zusammenhänge

  • \({U_C}(t) = \frac{Q(t)}{C}\) (Kondensatorformel; \(Q(t)\): Ladung auf der oberen Platte des Kondensators während des Schwingvorgangs)

  • \( {U_L}(t) = L \cdot \dot I(t)\) (Spulenformel; \(I(t)\): Stärke des Stroms durch die Spule während des Schwingvorgangs)

  • \(I(t) = \dot Q(t)\) (Definition der elektrischen Stromstärke) und damit \(\dot I(t) = \ddot Q(t)\)

nutzen und in diese Gleichung einsetzen, so erhalten wir\[\frac{Q(t)}{C} + L \cdot \ddot Q(t) = 0\]Dividiert man beide Seiten dieser Gleichung durch \(L\) und vertauscht die Reihenfolge auf der linken Seite der Gleichung, so erhält man\[\ddot Q(t) + \frac{1}{L \cdot C}\cdot Q(t) = 0 \quad(*)\]Dies ist zusammen mit den Anfangsbedingungen \(Q_0 = Q(0\,{\rm{s}}) = C \cdot \left| {{U_0}} \right|\) und \(I(0\,{\rm{s}})=\dot Q(0\,{\rm{s}})=0\) die homogene Differentialgleichung 2.Ordnung für die Ladung \(Q(t)\) auf der oberen Platte des Kondensators während des Schwingvorgangs.

Diese Differentialgleichung wird gelöst durch die Funktion \(Q(t) = \hat Q \cdot \cos \left( {{\omega _0} \cdot t} \right)\) mit \(\hat Q = C \cdot \left| {{U_0}} \right|\) und \({\omega _0} = \sqrt {\frac{1}{L \cdot C}} \). Darauf aufbauende Rechnungen (vgl. Link am Ende dieses Artikels) ergeben:

Elektromagnetischer Schwingkreis - THOMSONsche Schwingungsgleichung

Bei geeignet gewählter Messrichtung (vgl. Abb. 1) und den Anfangsbedingungen \(Q(0) = C \cdot \left| {{U_0}} \right|\) und \(I(0)=0\) wird die Spannung über dem Kondensator eines elektromagnetischen Schwingkreises mit der Kapazität \(C\) und der Induktivität \(L\) beschrieben durch die Funktion\[U_C(t) = \left| {{U_0}} \right| \cdot \cos \left( {{\omega _0} \cdot t} \right)\quad {\rm{mit}}\quad{\omega _0} = \sqrt {\frac{1}{L \cdot C}} \]Der Schwingkreis schwingt somit harmonisch.

Für die Schwingungsdauer \(T\) ergibt sich dann wegen \(T=\frac{2 \cdot \pi}{\omega}\)\[T = \frac{{2 \cdot \pi }}{{\sqrt {\frac{{1}}{L \cdot C}} }} = 2 \cdot \pi \cdot \sqrt {L \cdot C} \quad \rm{THOMSONsche}\, \quad{Schwingungsgleichung} \]

Die Stärke des Stroms im Schwingkreis wird bei gleicher Messrichtung beschrieben durch die Funktion\[I(t) = -\sqrt {\frac{C}{L}} \cdot \left| {{U_0}} \right| \cdot \sin \left( {{\omega _0} \cdot t} \right)\quad {\rm{mit}}\quad{\omega _0} = \sqrt {\frac{1}{L \cdot C}} \]

Die Animation in Abb. 2 zeigt dir den zeitlichen Verlauf von Ladung \(Q\) auf der "oberen" Kondensatorplatte, Stromstärke \(I\), Spannung \(U_C\) über dem Kondensator, Spannung \(U_L\) über der Spule, elektrischer Energie \(E_{\rm{el}}\) und magnetischer Energie \(E_{\rm{mag}}\) eines elektromagnetischen Schwingkreises in Abhängigkeit von den relevanten Parameter \(C\), \(L\) und \(U_0\). Diese Größen kannst du in gewissen Grenzen verändern und so deren Einfluss auf die Graphen beobachten.

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Abb. 2 Graphen von Ladung auf der "oberen" Kondensatorplatte, Stromstärke, Spannung über dem Kondensator, Spannung über der Spule, elektrischer und magnetischer Energie eines elektromagnetischen Schwingkreises in Abhängigkeit von den relevanten Parametern

Wie wir im Theorieartikel (Link am Ende dieses Artikels) zeigen, wird das zeitliche Verhalten aller relevanter Größen durch trigonometrische Funktionen beschrieben. Es ergibt sich\[Q(t) = \hat Q \cdot \cos \left( {{\omega _0} \cdot t} \right)\;\;{\rm{mit}}\;\;\hat Q = C \cdot \left|U_0\right|\;;\;{\omega _0} = \sqrt {\frac{1}{L \cdot C}} \]\[I(t) =  - \hat I \cdot \sin \left( {{\omega _0} \cdot t} \right)\;\;{\rm{mit}}\;\;\hat I = \sqrt {\frac{C}{L}} \cdot \left|U_0\right|\]\[U_C(t) =  \hat U_C \cdot \cos \left( {{\omega _0} \cdot t} \right)\;\;{\rm{mit}}\;\;\hat U_C = \left|U_0\right|\]\[U_L(t) =  - \hat U_L \cdot \cos \left( {{\omega _0} \cdot t} \right) \;\;{\rm{mit}}\;\;\hat U_L = \left|U_0\right|\]\[{E_{{\rm{el}}}}(t) = {E_{{\rm{el}}{\rm{,max}}}} \cdot {\cos ^2}\left( {{\omega _0} \cdot t} \right)\;\;{\rm{mit}}\;\;{E_{{\rm{el}}{\rm{,max}}}} = \frac{1}{2} \cdot C \cdot {\left| {{U_0}} \right|^2}\]\[{E_{{\rm{mag}}}}(t) = {E_{{\rm{mag}}{\rm{,max}}}} \cdot {\sin ^2}\left( {{\omega _0} \cdot t} \right)\;\;{\rm{mit}}\;\;{E_{{\rm{mag}}{\rm{,max}}}} = \frac{1}{2} \cdot C \cdot {\left| {{U_0}} \right|^2}\]

Abb. 1 Aufbau, Durchführung und Beobachtungen der Schwingung eines ungedämpften elektromagnetischen Schwingkreises. Beachte, dass der Strommesser anders als in der Schaltskizze eingebaut ist und deshalb die angezeigte Stromstärke umgekehrtes Vorzeichen hat.

Vergleich zwischen Federpendel und elektromagnetischem Schwingkreis

Ein Vergleich des Federpendels mit dem elektromagnetischen Schwingkreis zeigt:

  • Gleichartig strukturierte Differentialgleichungen führen zu den gleich strukturierten Lösungen ("the same equations, the same solutions")
  • Es gelten offenbar die folgenden Entsprechungen:

\[{F_{\rm{F}}} \to U_C(t)\]

\[x \to Q\]

\[v \to I\]

\[a \to U_L(t)\]

\(m \to L\)

\(D \to \frac{1}{C}\)

 

 

Die Spule übernimmt die Funktion der trägen Masse und

der Kondensator die Funktion der Feder.