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Grundwissen

Elektromagnetischer Schwingkreis ungedämpft

Aufgaben Aufgaben
Abb. 1 Aufbau, Durchführung und Beobachtungen der Schwingung eines ungedämpften elektromagnetischen Schwingkreises

Befindet sich kein ohmscher Widerstand im Kreis, so gilt\[L \cdot \ddot Q + \frac{Q}{C} = 0\quad(1)\]Differentialgleichung der freien, ungedämpften elektromagnetischen Schwingung

Hinweis: Natürlich muss dem System einmalig Energie zugeführt werden, damit es zu schwingen beginnt.

Lösungsansatz:
\[Q(t) = \hat Q \cdot \cos (\omega  \cdot t)\quad(2)\] Durch Differenzieren von (2) erhält man:
\[\dot Q(t) =  - \hat Q \cdot \omega  \cdot \sin (\omega  \cdot t)\] und
\[\ddot Q(t) =  - \hat Q \cdot {\omega ^2} \cdot \cos (\omega  \cdot t)\quad(3)\] Setzt man (2) und (3) in die Differentialgleichung (1) ein, so folgt:
\[L \cdot \left( { - \hat Q \cdot {\omega ^2} \cdot \cos (\omega  \cdot t)} \right) + \frac{{\hat Q \cdot \cos (\omega  \cdot t)}}{C} = 0\]
\[\hat Q \cdot \cos (\omega  \cdot t) \cdot \left( { - L \cdot {\omega ^2} + \frac{1}{C}} \right) = 0\quad(4)\] Die linke Seite der Gleichung (4) wird nur dann ständig gleich Null sein, wenn gilt:
\[ - L \cdot {\omega ^2} + \frac{1}{C} = 0\]
\[{\omega  = \frac{1}{{\sqrt {L \cdot C} }}}\quad(5)\]

Gleichung (5) wird als THOMSON-Formel bezeichnet. Sie gestatten die Berechnung der Frequenz in einem Schwingkreis aus der Kapazität des Kondensators und der Induktivität der Spule.

Eine Lösung der Differentialgleichung lautet somit:
\[Q(t) = \hat Q \cdot \cos (\frac{1}{{\sqrt {L \cdot C} }} \cdot t)\]

Ein Vergleich des mechanischen mit dem elektromagnetischen Fall zeigt:

  • Gleichartig strukturierte Differentialgleichungen führen zu den gleich strukturierten Lösungen ("the same equations, the same solutions")
  • Es gelten offenbar die folgenden Entsprechungen:

\[{F_a} \to U(t)\]

\[x \to Q\]

\[v \to I\]

\[a \to \dot I\]

\(m \to L\)

\(D \to \frac{1}{C}\)

\(k \to R\)

 

Die Spule übernimmt die Funktion der trägen Masse

der Kondensator die Funktion der Feder und

der Widerstand die Funktion der geschwindigkeitsabhängigen Reibung.