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Aufgabe

Modell der Zündanlage eines Autos (Abitur BY 2016 Ph11 A1-1)

Schwierigkeitsgrad: schwere Aufgabe

Abbildung 1

Bei einem Ottomotor wird die Verbrennung des Benzin-Luft-Gemisches durch den Funken einer Zündkerze ausgelöst. In Abb. 1 ist das elektrische Feldlinienbild zwischen den geladenen Elektroden der Zündkerze unvollständig eingezeichnet.

a)Ergänze in Abb. 1 die Feldlinienrichtung und die elektrischen Feldlinien durch die Punkte A, B und C. (4 BE)

b)Erkläre mithilfe der Abb. 1, dass das Potential in den Punkten \(\rm{P}_{1}\) und \(\rm{Q}_{1}\) bzw. \(\rm{P}_{2}\) und \(\rm{Q}_{2}\) bzw. \(\rm{P}_{3}\) und \(\rm{Q}_{3}\) jeweils den gleichen Wert besitzt.

Zeichne in Abb. 1 die Äquipotentiallinien durch diese Punkte ein. (6 BE)

Der homogene Feldbereich in Abb. 1, in dem die Feldlinien am dichtesten verlaufen, entspricht näherungsweise dem Feld eines luftgefüllten Plattenkondensators mit Plattenabstand \(1,2\rm{mm}\) und Plattenfläche \(3,0\rm{mm^{2}}\). Besitzt die elektrische Feldstärke in diesem Feldbereich mindestens den Wert \(12\rm{\frac{kV}{mm}}\), so schlägt ein Funke zwischen den Elektroden über.

c)Die Kapazität \(C_{\rm{ZK}}\) der Zündkerze stimmt näherungsweise mit der Kapazität des angesprochenen Plattenkondensators überein.

Zeige, dass \(C_{\rm{ZK}}\) ca. \(2,2 \cdot 10^{-14}\rm{F}\) beträgt und dass ein Funke zwischen den Elektroden entsteht, wenn an diesen als sogenannte Zündspannung \(U_{\rm{Z}} = 15\rm{kV}\) anliegen. (6 BE)

 
Abbildung 2

Abb. 2 zeigt eine elektrische Beschaltung obiger Zündkerze. Hierbei handelt es sich um ein Modell wesentlicher Elemente der Zündanlage eines Autos. Der Kondensator mit der Kapazität \(C\) bleibt zunächst unberücksichtigt.

d)Berechne die magnetische Feldenergie, die bei geschlossenem Schalter S in der Primärspule des Transformators gespeichert ist, wenn diese die Induktivität \(3,0\rm{mH}\) besitzt und durch sie ein Strom der Stärke \(10\rm{A}\) fließt. [zur Kontrolle: \(0,15\rm{J}\) ] (2 BE)

e)Der Schalter S wird geöffnet.

Beschreibe die ablaufenden physikalischen Vorgänge, die zum Erreichen einer Spannung im Kilovolt-Bereich an der Zündkerze führen, obwohl die Batteriespannung nur \(12\rm{V}\) beträgt. (6 BE)

Unmittelbar nach dem Öffnen von \(\rm{S}\) besitzt der Kondensator der Kapazität \(C\) die Zündspannung \(U_{\rm{Z}} = 15\rm{kV} \) sowie die elektrische Feldenergie \(18\rm{mJ}\). Mit dem Funkenüberschlag an der Zündkerze wird ein Großteil dieser Energie zwischen den Elektroden auf der Funkenstrecke freigesetzt.

f)Zeige, dass die Kapazität \(C\) deutlich größer als die Kapazität \(C_{\rm{ZK}}\) ist. (3 BE)

 
Abbildung 3

Im Anschluss wird auf der Funkenstrecke magnetische Feldenergie der Sekundärspule freigesetzt und das Benzin-Luft-Gemisch entflammt. Gehen Sie davon aus, dass in dieser sogenannten Glimmphase die Spannung \(U_{\rm{ZK}}\) an den Zündkerzenelektroden konstant ist (vgl. Diagramm in Abb. 3), während die Stärke des Stroms, der durch die leitfähige Funkenstrecke fließt, von \(80\rm{mA}\)  auf \(4,0\rm{mA}\) linear abnimmt. Entnimm weitere für Rechnungen notwendige Werte dem Diagramm.

g)Berechne, um welchen Faktor sich der Widerstand der Funkenstrecke während der Glimmphase ändert. (4 BE)

h)Berechne die an der Funkenstrecke in der Glimmphase verrichtete elektrische Arbeit und gib diese als Anteil der ursprünglich in der Primärspule gespeicherten Energie an. (6 BE)

i)Am Ende der Glimmphase entsteht eine elektromagnetische Schwingung.

Stelle qualitativ in einem Diagramm den zeitlichen Verlauf der elektrischen und magnetischen Feldenergie ab Schwingungsbeginn für eine Periodendauer dar. Nehme an, dass die Feldenergien zu Schwingungsbeginn gleich groß sind und vernachlässige die Dämpfung. (7 BE)

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Hinweis: Bei dieser Lösung von LEIFIphysik handelt es sich nicht um den amtlichen Lösungsvorschlag des bayr. Kultusministeriums.

Abbildung 4

a)Die Lösung ist in Abb. 4 dargestell. Die Richtung der Feldlinien (Farbe: rot) zeigt vom positiv zum negativ geladenen Körper. Die Feldlinien „entspringen“ bzw. „enden“ senkrecht zur Oberfläche der geladenen Körper.

 

b)Die Punkte \(P_{1}\), \(P_{2}\), und \(P_{3}\) unterteilen die vertikal verlaufende Feldlinie in vier äquidistante Stücke. Das elektrische Feld ist in diesem Bereich homogen. Im homogenen Feldbereich verändert sich das elektrische Potential linear mit dem Abstand von einer Elektrode. Auch die Punkte \(Q_{1}\), \(Q_{2}\) und \(Q_{3}\) unterteilen die waagrecht verlaufende Feldlinie in vier gleich lange Stücke. Auch in diesem Bereich kann das elektrische Feld als homogen angenommen werden. Hieraus folgt: \(P_{1}\) und \(Q_{1}\) bzw. \(P_{2}\) und \(Q_{2}\) bzw. \(P_{3}\) und \(Q_{3}\) besitzen das gleiche elektrische Potential, sie liegen also jeweils auf einer Äquipotentiallinie (in Abb. 4 blau eingezeichnet). Da die Äquipotentiallinien stets senkrecht zu den elektrischen Feldlinien verlaufen, lässt sich der Verlauf der Äquipotentiallinien gut finden.

c)Bestimmung der Kapazität des Kondensators:\[{C_{\rm{K}}} = {\varepsilon _0} \cdot \frac{A}{d} \Rightarrow {C_{\rm{K}}} = 8,85 \cdot {10^{ - 12}}\frac{{{\rm{A}} \cdot {\rm{s}}}}{{{\rm{V}} \cdot {\rm{m}}}} \cdot \frac{{3,0 \cdot {{10}^{ - 6}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}}}{{1,2 \cdot {{10}^{ - 3}}{\rm{m}}}} = 2,2 \cdot {10^{ - 14}}{\rm{F}}\]

Laut Angabe gilt für die Kapazität der Zündkerze \({C_{{\rm{ZK}}}} \approx {C_{\rm{K}}} \Rightarrow {C_{{\rm{ZK}}}} \approx 2,2 \cdot {10^{ - 14}}{\rm{F}}\).

Bestimmung der Feldstärke im Kondensator:\[{E_{{\rm{ZK}}}} \approx \frac{{{U_{\rm{Z}}}}}{d} \Rightarrow {E_{{\rm{ZK}}}} \approx \frac{{15 \cdot 1{0^3}{\rm{V}}}}{{1,2{\rm{mm}}}} = 13\frac{{{\rm{kV}}}}{{{\rm{mm}}}}\]Der so berechnete Wert für \({E_{{\rm{ZK}}}}\) von ca. \(13\frac{{{\rm{kV}}}}{{{\rm{mm}}}}\) ist etwas höher als der für die Zündung notwendige in Höhe von \(12\frac{{{\rm{kV}}}}{{{\rm{mm}}}}\).

d)Für die magnetische Feldenergie im Primärkreis gilt\[{E_{{\rm{mag,primär}}}} = \frac{1}{2} \cdot L \cdot {I^2} \Rightarrow {E_{{\rm{mag,primär}}}} = \frac{1}{2} \cdot 3,0 \cdot {10^{ - 3}}\frac{{{\rm{V}} \cdot {\rm{s}}}}{{\rm{A}}} \cdot {\left( {10{\rm{A}}} \right)^2} = 0,15{\rm{J}}\]

e)Durch die Stromabschaltung im Primärkreis entsteht in diesem aufgrund der Selbstinduktion schon im Primärkreis zu einer hohen, zeitlich veränderlichen Spannung. Da die Wicklungszahl im Sekundärkreis deutlich höher ist als im Primärkreis, kommt es zusätzlich zum „Hochtransformieren“ der Primärspannung für den Sekundärkreis.

f)Für die maximale elektrische Energie des Kondensators gilt\[{E_{{\rm{el}}{\rm{,max}}}} = \frac{1}{2} \cdot {C_{\rm{K}}} \cdot U_{\rm{Z}}^2 \Leftrightarrow {C_{\rm{K}}} = \frac{{2 \cdot {E_{{\rm{el}}{\rm{,max}}}}}}{{U_{\rm{Z}}^2}} \Rightarrow {C_{\rm{K}}} = \frac{{2 \cdot 18 \cdot 1{0^{ - 3}}{\rm{J}}}}{{{{\left( {15 \cdot {{10}^3}{\rm{V}}} \right)}^2}}} = 1,6 \cdot {10^{ - 10}}{\rm{F}} \gg {C_{{\rm{ZK}}}}\]

g)Die Spannung \({{U_{\rm{G}}}}\) während die Glimmphase ist nahezu konstant mit dem Wert \({{U_{\rm{G}}} \approx 2{\rm{kV}}}\).

Der Widerstand \({R_{\rm{A}}}\) der Funkenstrecke zu Beginn der Glimmphase beträgt\[{R_{\rm{A}}} = \frac{{{U_{\rm{G}}}}}{{{I_{\rm{A}}}}} \quad(1)\]Der Widerstand \({R_{\rm{E}}}\) der Funkenstrecke am Ende der Glimmphase beträgt \[{R_{\rm{E}}} = \frac{{{U_{\rm{G}}}}}{{{I_{\rm{E}}}}} \quad(2)\]Dividiert man Gleichung \((2)\) durch Gleichung \((1)\), so folgt\[\frac{{{R_{\rm{E}}}}}{{{R_{\rm{A}}}}} = \frac{{{I_{\rm{A}}}}}{{{I_{\rm{E}}}}} \Rightarrow \frac{{{R_{\rm{E}}}}}{{{R_{\rm{A}}}}} = \frac{{80{\rm{mA}}}}{{4{\rm{mA}}}} = 20\]

h)Berechnung der elektrischen Arbeit \({W_{{\rm{el}}}}\) während der Glimmphase:\[{W_{{\rm{el}}}} = U \cdot \overline I  \cdot \Delta t = U \cdot \frac{{{I_{\rm{A}}} + {I_{\rm{E}}}}}{2} \cdot \Delta t \Rightarrow {W_{{\rm{el}}}} = 2 \cdot {10^3}{\rm{V}} \cdot \frac{{80 \cdot {{10}^{ - 3}}{\rm{A}} + 4,0 \cdot {{10}^{ - 3}}{\rm{A}}}}{2} \cdot 1,5 \cdot 1{0^{ - 3}}{\rm{s}} = 0,13{\rm{J}}\]Prozentualer Anteil an der magnetischen Primärenergie:\[\frac{{{W_{{\rm{el}}}}}}{{{E_{{\rm{mag,primär}}}}}} = \frac{{0,13{\rm{J}}}}{{0,15{\rm{J}}}} = 0,84=84\%\]Die in der Funkenstrecke verrichtete elektrische Arbeit ist ungefähr \(84\% \) der primären magnetischen Energie.

 

i)

Abbildung 5