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Aufgabe

Induktion in rotierender Spule (Abitur BY 1998 GK A1-3)

Schwierigkeitsgrad: leichte Aufgabe

In einem homogenen Magnetfeld mit der Flussdichte B befindet sich eine flache Induktionsspule mit der Querschnittsfläche A0 = 40cm2 und der Windungszahl N = 500. Die Drehachse liegt in der Spulenebene und steht senkrecht auf den Feldlinien des Magnetfelds. Wenn die Induktionsspule mit konstanter Frequenz f rotiert, wird in ihr eine sinusförmige Wechselspannung mit dem Scheitelwert U0 induziert. Indem f auf verschiedene Werte eingestellt wird, ermittelt man die folgende Messreihe:

f in Hz 16 22 28 36
U0 in V 0,34 0,46 0,59 0,75

a)Zeigen sie durch graphische Auswertung, dass U0 zu f direkt proportional ist und ermitteln sie den Wert des Proportionalitätsfaktors k. (6 BE)

b)Bestätigen sie, ausgehend vom Induktionsgesetz, dass für den Proportionalitätsfaktor k aus Teilaufgabe a gilt: \( k = 2 \cdot \pi \cdot N \cdot A_0 \cdot B \).

Berechnen sie B. (9 BE)

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a)Der Proportionalitätsfaktor ergibt sich aus der Steigung der Geraden bzw. dem Quotienten zweier geeigneter Werte z.B.\[ k = \frac{0,75 \mathrm{V}}{36 \mathrm{Hz}} = 0,021 \mathrm{Vs} \]

b)\[ \begin{array}{} U_i = - N \cdot \dot{\Phi} \quad \text{mit} \quad \Phi(t) = B \cdot A \cdot \sin{\left( \omega \cdot t \right)} \, ; \qquad \text{abgeleitet folgt:} \qquad \dot{\Phi}(t) = B \cdot A \cdot \omega \cdot \cos{\left( \omega \cdot t \right)} \\ \\U_i(t) = - N \cdot B \cdot A \cdot \omega \cdot \cos{\left( \omega \cdot t \right)} \, ; \qquad U_0 = N \cdot B \cdot A \cdot \omega \quad \Rightarrow \quad U_0 = 2 \cdot \pi \cdot f \cdot N \cdot A_0 \cdot B \\ \\\text{mit:} \; k = 2 \cdot \pi \cdot N \cdot A_0 \cdot B \quad \Rightarrow \quad B = \frac{k}{2 \cdot \pi \cdot N \cdot A_0} \\ \\\Rightarrow \quad B = \frac{0,021 \mathrm{Vs}}{2 \cdot \pi \cdot 500 \cdot 40 \cdot 10^{-4} \mathrm{m^2}} = 1,67 \mathrm{mT} \end{array} \]