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Aufgabe

Rotierende Spule im Erdmagnetfeld (Abitur BY 2015 Ph11 A2-2)

Schwierigkeitsgrad: mittelschwere Aufgabe

Eine rechteckige Spule mit \(N\) Windungen und den Seitelängen \(a\) und \(b\) ist auf eine Rotationsachse montiert, die in senkrechter Position in eine Bohrmaschine eingespannt ist. Die Drehzahl, mit der die Spule im Erdmagnetfeld der Flussdichte \(B_{\rm{Erde}} = 49\,\rm{\mu T}\) rotiert, beträgt \(300\) Umdrehungen pro Minute. Für den magnetischen Fluss durch die Spule gilt \(\Phi (t)=a \cdot b \cdot B_1 \cdot \cos(\omega \cdot t)\), wobei \(\omega\) die Winkelgeschwindigkeit und \(B_1\) eine Komponente von \(B_{\rm{Erde}}\) sind.

a)Die magnetischen Feldlinien treten unter einem Winkel von \(66^\circ\) gegenüber der Horizontalen in den Erdboden ein.

Beschrifte zunächst die entsprechenden Pfeile in obiger Abbildung mit \(\vec B_{\rm{Erde}}\) und \(\vec B_1\) sowie \(\vec B_2\), der anderen Komponente von \(\vec B_{\rm{Erde}}\).

Berechne dann \(B_1\). [zur Kontrolle: \(B_1=20\,\rm{\mu T}\)] (5 BE)

b)Zeige, dass für den Scheitelwert \(U_0\) der an den Schleifringen messbaren Induktionsspannung \(U_{\rm{i}}(t)\) die Beziehung \(U_0 = N\cdot a\cdot b\cdot B_1\cdot \omega\) gilt.

Zeichne unter der Annahme, dass dieser Scheitelwert \(1{,}0\,\rm{mV}\) beträgt, den zeitlichen Verlauf von \(U_{\rm{i}}(t)\) für \(t = 0\) bis \(t = 0{,}40\,\rm{s}\). (7 BE)

c)Gib sinnvolle Werte für \(a\), \(b\) und \(N\) an, sodass der in Teilaufgabe b) gezeichnete Graph von \(U_{\rm{i}}(t)\) tatsächlich beobachtet werden kann. (5 BE)

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Hinweis: Bei dieser Lösung von LEIFIphysik handelt es sich nicht um den amtlichen Lösungsvorschlag des bayr. Kultusministeriums.

a)\(\vec B_{\rm{1}}\) ist die Horizontalkomponente des Erdmagnetfeldes.

\({\vec B_{\rm{2}}}\) ist die Vertikalkomponente des Erdmagnetfeldes.

Berechnung des Betrages von \({\vec B_{\rm{1}}}\):\[{B_1} = {B_{{\rm{Erde}}}} \cdot \cos \left( {66^\circ } \right) \Rightarrow {B_1} = 49 \cdot {10^{ - 6}}\,\frac{{{\rm{V}} \, {\rm{s}}}}{{{{\rm{m}}^2}}} \cdot \cos \left( {66^\circ } \right) = 20 \cdot {10^{ - 6}}\,\frac{{{\rm{V}} \, {\rm{s}}}}{{{{\rm{m}}^2}}} = 20\,{\rm{\mu T}}\]

b)Das Induktionsgesetz lautet\[{U_{\rm{i}}}\left( t \right) = - N \cdot \frac{{d\Phi }}{{dt}}\quad (1)\]Setzt man in \((1)\) den in der Angabe vorgegebenen Ausdruck für den magnetischen Fluss \(\Phi (t) = a \cdot b \cdot {B_1} \cdot \cos \left( {\omega \cdot t} \right)\) ein, so ergibt sich\[{{U_{{\rm{i}}}}\left( t \right) =  - N \cdot \frac{{d\left[ {a \cdot b \cdot {B_1} \cdot \cos \left( {\omega  \cdot t} \right)} \right]}}{{dt}} =  - N \cdot a \cdot b \cdot {B_1} \cdot \frac{{d\cos \left( {\omega  \cdot t} \right)}}{{dt}} = N \cdot a \cdot b \cdot {B_1} \cdot \omega  \cdot \sin \left( {\omega  \cdot t} \right)}\]Der Faktor vor der Sinusfunktion stellt die Amplitude \(U_0\) der auftretenden Induktionsspannung dar. Es gilt also\[{U_0} = N \cdot a \cdot b \cdot {B_1} \cdot \omega \]Bei \(300\) Umdrehungen pro Minute dreht sich die Spule wegen \(300:60=5\) in der Sekunde fünf Mal. Dieser Frequenz von \(5\,\rm{Hz}\) entspricht wegen \(T = \frac{1}{f}\) eine Umlaufdauer \(T\) von \(0{,}20\,\rm{s}\).

c)Der Wert für \(U_0\) soll \(1{,}0\cdot 10^{-3}\,\rm{V}\) sein, die Frequenz \(f\) soll den Wert \(f = 300\,\frac{1}{{{\rm{min}}}} = 5{,}00\,\frac{1}{{\rm{s}}}\) haben. Somit gilt für das Produkt aus \(N\), \(a\) und \(b\)\[{{U_0} = N \cdot a \cdot b \cdot {B_1} \cdot \omega  \Leftrightarrow N \cdot a \cdot b = \frac{{{U_0}}}{{{B_1} \cdot \omega }} = \frac{{{U_0}}}{{{B_1} \cdot 2 \cdot \pi  \cdot f}}}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[{N \cdot a \cdot b = \frac{{1{,}0 \cdot {{10}^{ - 3}}\,{\rm{V}}}}{{20 \cdot {{10}^{ - 6}}\,\frac{{{\rm{V}} \, {\rm{s}}}}{{{{\rm{m}}^2}}} \cdot 2 \cdot \pi  \cdot 5{,}00\,\frac{1}{{\rm{s}}}}} = 1{,}6\,{{\rm{m}}^2}}\]Dieser Wert für das Produkt aus \(N\), \(a\) und \(b\) ist z.B. für \(N = 80\); \(b = 0{,}20\,\rm{m}\) und \(a = 0{,}10\,\rm{m}\) zu erreichen.

Grundwissen zu dieser Aufgabe

Elektrizitätslehre

Elektromagnetische Induktion