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Aufgabe

Induktion durch Änderung der Winkelweite - Sonderfall

Schwierigkeitsgrad: leichte Aufgabe

a)

Eine kreisförmige Leiterschleife mit dem Flächeninhalt \(5{,}0\,\rm{cm}^2\) rotiert mit der Frequenz \(50\,\rm{Hz}\) in einem homogenen magnetischen Feld mit der Feldstärke \(1{,}0\,\rm{T}\).

Berechne die Amplitude der in der Spule induzierten Spannung.

b)

In einem Fahrraddynamo befindet sich eine feststehende Spule mit dem Flächeninhalt \(2{,}8\,\rm{cm}^2\). Neben der Spule rotiert ein Keramikmagnet, er erzeugt in dem von der Spule umschlossenen Raum die maximale magnetische Feldstärke \(0{,}32\,\rm{T}\). Bei einer normalen Fahrradgeschwindigkeit dreht sich der Keramikmagnet mit der Umlaufdauer \(0{,}020\,\rm{s}\), die vom Dynamo erzeugte Wechselspannung soll dabei die Amplitude \(8{,}4\,\rm{V}\) haben.

Berechne die Windungszahl, die die Spule dazu haben muss.

c)

Eine kreisförmige Leiterschleife mit zwei Windungen und dem Flächeninhalt \(159\,\rm{cm}^2\) steht senkrecht zu einem homogenen magnetischen Feld und ist um eine Achse, die senkrecht zum Feldstärkevektor steht, drehbar gelagert. Die Leiterschleife wird nun in \(2{,}0\,\rm{s}\) um \(360^\circ\) gedreht, wobei eine Induktionsspannung mit der Amplitude \(5{,}0\,\rm{mV}\) beobachtet wird.

Berechne die magnetische Feldstärke des Feldes.

d)

Eine rechteckige Spule mit \(100\) Windungen dreht sich im einem homogenen Magnetfeld mit der Feldstärke \(0{,}20\,{\rm{T}}\) mit \(20\) Umdrehungen pro Sekunde. Dabei wird in der Spule eine Spannung mit der Amplitude \(5{,}0\,\rm{V}\) induziert.

Berechne den Inhalt der Querschnittsfläche der Spule.

e)

Eine Spule wird um eine vertikale Achse im erdmagnetischen Feld gedreht. Die Spulenachse liegt horizontal, die Spule hat \({\rm{175}}\) Windungen, der Flächeninhalt der von den Spulenwindungen eingeschlossene Fläche beträgt \(0{,}25\,\rm{m}^2\). Die Horizontalkomponente der erdmagnetischen Feldstärke beträgt am Ort der Spule \(1{,}7 \cdot 10^{-5}\,\rm{T}\). In der Spule soll eine Spannung mit der Amplitude \(2{,}34\,{\rm{mV}}\) induziert werden.

Berechne die Winkelgeschwindigkeit und die Periodendauer, mit der die Spule um die Drehachse rotieren muss.

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a)

Mit \(N=1\), \(B=1{,}0\,\rm{T}\), \(A=5{,}0\,\rm{cm}^2=5{,}0 \cdot 10^{-4}\,\rm{m}^2\), \(f=50\,\rm{Hz}\) und damit \(\omega  = 2 \cdot \pi  \cdot f = 2 \cdot \pi  \cdot 50\,\frac{1}{{\rm{s}}}\) nutzen wir die Formel für die Amplitude der Induktionsspannung\[{\hat U_{\rm{i}}} = N \cdot B \cdot A \cdot \omega \]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[{\hat U_{\rm{i}}} = 1 \cdot 1{,}0\,\rm{T} \cdot 5{,}0 \cdot 10^{-4}\,\rm{m}^2 \cdot 2 \cdot \pi  \cdot 50\,\frac{1}{\rm{s}} = 0{,}16\,\rm{V}\]

b)

Mit \(\widehat U_{\rm{i}}=8{,}4\,\rm{mV}\), \(B=0{,}32\,\rm{T}\), \(A=2{,}8\,\rm{cm}^2=2{,}8 \cdot 10^{-4}\,\rm{m}^2\) sowie \(T=0{,}020\,\rm{s}\) und damit wegen \(\omega  = \frac{{2 \cdot \pi }}{T}\) nach Einsetzen \(\omega  = \frac{{2 \cdot \pi }}{{0{,}020\,{\rm{s}}}} = 310\,\frac{1}{{\rm{s}}}\) (2 gültige Ziffern) erhalten wir mit der Formel für die Amplitude der Induktionsspannung\[{\widehat U_{\rm{i}}} = N \cdot B \cdot A \cdot \omega  \Leftrightarrow N = \frac{{{{\widehat U}_{\rm{i}}}}}{{B \cdot A \cdot \omega }}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[N = \frac{{8{,}4\,{\rm{V}}}}{{0{,}32\,\rm{T} \cdot 2{,}8 \cdot {{10}^{ - 4}}\,{{\rm{m}}^2} \cdot 310\,\frac{1}{{\rm{s}}}}} = 300\]Dieses Ergebnis ist wegen der Angaben, die nur auf zwei gültige Ziffern genau sind, ebenfalls nur auf die ersten beiden Ziffern genau.

c)

Mit \(\widehat U_{\rm{i}}=5{,}0\,\rm{mV}=5{,}0 \cdot 10^{-3}\,\rm{V}\), \(N=2\), \(A=159\,\rm{cm}^2=159\cdot 10^{-4}\,\rm{m}^2\) sowie \(T=2{,}0\,\rm{s}\) und damit wegen \(\omega  = \frac{{2 \cdot \pi }}{T}\) nach Einsetzen \(\omega  = \frac{{2 \cdot \pi }}{{2{,}0\,{\rm{s}}}} = 3{,}14\,\frac{1}{{\rm{s}}}\) erhalten wir mit der Formel für die Amplitude der Induktionsspannung\[{\widehat U_{\rm{i}}} = N \cdot B \cdot A \cdot \omega  \Leftrightarrow B = \frac{{{{\widehat U}_{\rm{i}}}}}{{N \cdot A \cdot \omega }}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[B = \frac{{5{,}0 \cdot {{10}^{-3}}\,{\rm{V}}}}{{2 \cdot 159 \cdot {{10}^{ - 4}}\,{{\rm{m}}^2} \cdot 3{,}14\,\frac{1}{{\rm{s}}}}} = 0{,}050\,{\rm{T}}\]

d)

Mit \(\widehat U_{\rm{i}}=5{,}0\,\rm{V}\), \(N=100\), \(b=0{,}20\,\rm{T}\) sowie \(T=\frac{1}{20}\,\rm{s}=0{,}050\,\rm{s}\) und damit wegen \(\omega  = \frac{{2 \cdot \pi }}{T}\) nach Einsetzen \(\omega  = \frac{{2 \cdot \pi }}{{0{,}050\,{\rm{s}}}} = 130\,\frac{1}{{\rm{s}}}\) (2 gültige Ziffern) erhalten wir mit der Formel für die Amplitude der Induktionsspannung\[{\widehat U_{\rm{i}}} = N \cdot B \cdot A \cdot \omega  \Leftrightarrow A = \frac{{{{\widehat U}_{\rm{i}}}}}{{N \cdot B \cdot \omega }}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[A = \frac{{5{,}0\,{\rm{V}}}}{{100 \cdot 0{,}20\,\rm{T} \cdot 130\,\frac{1}{{\rm{s}}}}} = 0{,}0020\,\rm{m}^2=20\,\rm{cm}^2\]

e)

Mit \(\widehat U_{\rm{i}}=2{,}34\,\rm{mV}=2{,}34 \cdot 10^{-3}\,\rm{V}\), \(N=175\), \(B=1{,}7 \cdot 10^{-5}\,\rm{T}\) und \(A=0{,}25\,\rm{m}^2\) erhalten wir mit der Formel für die Amplitude der Induktionsspannung\[{\widehat U_{\rm{i}}} = N \cdot B \cdot A \cdot \omega  \Leftrightarrow \omega  = \frac{{{{\widehat U}_{\rm{i}}}}}{{N \cdot B \cdot A}}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[\omega  = \frac{2{,}34 \cdot 10^{-3}\,\rm{V}}{175 \cdot 1{,}7 \cdot {{10}^{-5}}\,{\rm{T}} \cdot 0{,}25\,\rm{m}^2} = 3{,}1\,\frac{1}{\rm{s}}\]Für die Periodendauer \(T\) ergibt sich damit wegen \(\omega  = \frac{{2 \cdot \pi }}{T} \Leftrightarrow T = \frac{{2 \cdot \pi }}{\omega }\) durch Einsetzen der gegebenen Werte \(T = \frac{{2 \cdot \pi }}{{3{,}1\,\frac{1}{{\rm{s}}}}} = 2{,}0\,{\rm{s}}\)

Grundwissen zu dieser Aufgabe

Elektrizitätslehre

Elektromagnetische Induktion