Die nebenstehende Abbildung zeigt schematisch ein zylinderförmiges Teilstück eines Blutgefäßes mit dem Durchmesser \(D\) in einem homogenen Magnetfeld der Flussdichte \(B\). Im Blut, das sich mit der konstanten Geschwindigkeit \(v\) bewegt, befinden sich positiv und negativ geladene Ionen. Zwischen den Streifen 1 und 2 an der oberen bzw. unteren Gefäßwand tritt die Hallspannung \(U_{\rm{H}}\) auf.
a)Erkläre das Zustandekommen der HALL-Spannung.
Bestimme deren Polarität an den Streifen 1 und 2. (7 BE)
b)Leite her, dass für die HALL-Spannung \({U_{\rm{H}}} = B \cdot v \cdot D\) gilt. (5 BE)
c)Bei einem Blutgefäß mit \(0,50{\rm{cm}}\) Durchmesser und einer magnetischen Flussdichte von \(0,50{\rm{T}}\) beträgt die HALL-Spannung \(0,28{\rm{mV}}\).
Berechne sowohl die Fließgeschwindigkeit \(v\) des Blutes als auch, wie viele Liter Blut in einer Sekunde durch den Querschnitt des Blutgefäßes fließen. [Zwischenergebnis: \(v = 0,11\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\)] (6 BE)
Hinweis: Bei dieser Lösung von LEIFIphysik handelt es sich nicht um den amtlichen Lösungsvorschlag des bayr. Kultusministeriums.
a)Mit den Drei-Finger-Regeln der rechten Hand (für positive Teilchen) bzw. der linken Hand (für negative Teilchen) kann die Richtung der LORENTZ-Kraft ermittelt werden. Die negativen Teilchen werden in Richtung der Elektrode 1, die positiven Teilchen in Richtung der Elektrode 2 bewegt. Daraus folgt: Elektrode 1 ist negativ, Elektrode 2 positiv.
b)Durch die Ladungstrennung aufgrund der LORENTZ-Kraft kommt es zur Ausbildung eines elektrischen Feldes zwischen den Elektroden 1 und 2. Im stationären Zustand ist der Betrag der elektrischen Kraft \(F_{\rm{el}}\), die auf ein Teilchen wirkt, gleich dem Betrag der LORENTZ-Kraft \(F_{\rm{L}}\) auf das Teilchen:\[{F_{\rm{el}}} = {F_{\rm{L}}} \Rightarrow q \cdot {E_{\rm{H}}} = q \cdot v \cdot B \Leftrightarrow {E_{\rm{H}}} = v \cdot B\]\({E_{\rm{H}}}\) ist die elektrische Feldstärke, die sich aufgrund des HALL-Effekts ausbildet. Unter der vereinfachenden Annahme eines homogenen elektrischen Feldes gilt dann für die HALL-Spannung \({U_{\rm{H}}}\)\[\frac{{{U_{\rm{H}}}}}{D} = v \cdot B \Leftrightarrow {U_{\rm{H}}} = B \cdot v \cdot D\]
c)Für die Fließgeschwindigkeit des Blutes gilt\[v = \frac{{{U_{\rm{H}}}}}{{B \cdot D}} \Rightarrow v = \frac{{0,28 \cdot {{10}^{ - 3}}{\rm{V}}}}{{0,50\frac{{{\rm{V}} \cdot {\rm{s}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{2}}}}} \cdot 0,50 \cdot {{10}^{ - 2}}{\rm{m}}}} = 0,11\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\]Das durch das Blutgefäß pro Sekunde geflossene Blutvolumen \(V\) erhält man, indem man die Querschnittsfläche \(A\) des Gefäßes mit der Fließgeschwindigkeit \(v\) multipliziert:\[\frac{V}{{1{\rm{s}}}} = A \cdot v = {\left( {\frac{D}{2}} \right)^2} \cdot \pi \cdot v \Rightarrow V = {\left( {\frac{{0,50 \cdot {{10}^{ - 2}}{\rm{m}}}}{2}} \right)^2} \cdot \pi \cdot 0,11\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} = 2,2 \cdot {10^{ - 6}}\frac{{{{\rm{m}}^3}}}{{\rm{s}}} = 2,2 \cdot {10^{ - 3}}\frac{l}{{\rm{s}}}\]
