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Aufgabe

Geschwindigkeitsfilter

Schwierigkeitsgrad: mittelschwere Aufgabe

Ein einfach positives Wasserstoff-Ion (H+-Ion) durchläuft im Hochvakuum die Beschleunigungsspannung von \(5,00{\rm{kV}}\) und tritt dann senkrecht zu den Feldlinien in das elektrische Feld eines Plattenkondensators von \(6,0{\rm{cm}}\) Plattenlänge und \(10\rm{mm}\) Plattenabstand ein. An den Platten liegt eine Spannung von \(400\rm{V}\). Daten für die Aufgabe: \({m_{\rm{H^ + }}} = 1,67 \cdot {10^{ - 27}}\rm{kg}\); \( {m_{\rm{D^ + }}} = 3,34 \cdot {10^{ - 27}}\rm{kg}\).

a)Berechne den Betrag \(v_0\) der Geschwindigkeit, mit der das Ion in das Kondensatorfeld eintritt.

b)Berechne den Betrag \(F_{\rm{K}}\) der Kraft, welche auf das Ion im Kondensatorfeld ausgeübt wird.

Erläutere begründet, ob bei dieser Überlegung die Schwerkraft berücksichtigt werden muss.

c)Berechne die Spannung, die unter sonst gleichen Bedingungen nötig ist, damit ein einfach positiv geladenes Deuterium-Ion (D+-Ion) die selbe Bahn durchläuft wie das H+-Ion .

d)Gib an, wie ein homogenes Magnetfeld dem elektrischen Feld überlagert werden müsste, damit das H+-Ion nicht abgelenkt wird.

Fertige eine anschauliche Skizze, welche die gesamte bisher besprochene Anordnung schematisch enthält.

e)Begründe, inwiefern die in Teilaufgabe d) beschriebene Anordnung als Geschwindigkeitsfilter wirkt.

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a)Die beim Durchlaufen der Spannung \({U_{\rm{B}}} = 5,00{\rm{kV}}\) gewonnene Energie liegt als kinetische Energie vor. Damit ergibt sich\[{e \cdot {U_{\rm{B}}} = \frac{1}{2} \cdot {m_{{{\rm{H}}^{\rm{ + }}}}} \cdot v_0^2 \Rightarrow {v_0} = \sqrt {\frac{{2 \cdot e \cdot {U_{\rm{B}}}}}{{{m_{{{\rm{H}}^{\rm{ + }}}}}}}} }\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[{{v_0} = \sqrt {\frac{{2 \cdot 1,60 \cdot {{10}^{ - 19}}{\rm{As}} \cdot 5,00 \cdot {{10}^3}{\rm{V}}}}{{1,67 \cdot {{10}^{ - 27}}{\rm{kg}}}}}  = 9,78 \cdot {{10}^5}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}\]Das Ergebnis \({{v_0} < 0,1 \cdot c}\) zeigt, dass die nichtrelativistische Rechnung berechtigt war.

b)Berechnung des Betrags der Kraft aus dem Betrag \(E_{\rm{K}}\) der Feldstärke im Kondensator:\[{{F_{\rm{K}}} = q \cdot {E_{\rm{K}}} = e \cdot \frac{{{U_{\rm{K}}}}}{d} \Rightarrow {F_{\rm{K}}} = 1,60 \cdot {{10}^{ - 19}}{\rm{As}} \cdot \frac{{400{\rm{V}}}}{{10 \cdot {{10}^{ - 3}}{\rm{m}}}} = 6,4 \cdot {{10}^{ - 15}}{\mkern 1mu} {\rm{N}}}\]Ein Vergleich mit der Gewichtskraft des Ions\[{F_{\rm{G}}} = m \cdot g \Rightarrow {F_{\rm{G}}} = 1,67 \cdot {10^{ - 27}}{\rm{kg}} \cdot 9,81\frac{{\rm{N}}}{{{\rm{kg}}}}{\mkern 1mu}  = 1,64 \cdot {10^{ - 26}}{\rm{N}}\] zeigt, dass die Gewichtskraft um viele Zehnerpotenzen kleiner als die elektrische Kraft ist und somit zu vernachlässigen ist.

c)Es wird untersucht, von welchen Größen des Teilchens die Bahngleichung abhängt. Die beiden Ionen stimmen in der Ladung überein, nicht jedoch in der Masse.

In \(x\)-Richtung (vgl. Skizze bei Teilaufgabe d)) wirkt im Kondensator keine Kraft, in \(y\)-Richtung die elektrische Kraft:\[\left. {\begin{array}{*{20}{c}}{x(t) = {v_0} \cdot t \Rightarrow t = \frac{x}{{{v_0}}}}\\{y(t) = {a_y} \cdot \frac{{{t^2}}}{2}}\end{array}} \right\} \Rightarrow y = {a_y} \cdot \frac{{{x^2}}}{{2 \cdot v_0^2}}\]und mit\[{a_y} = \frac{{{F_{\rm{K}}}}}{m} = \frac{{e \cdot {E_{\rm{K}}}}}{m} = \frac{{e \cdot {U_{\rm{K}}}}}{{m \cdot d}}\]und dem Ergebnis für \(v_0\) von Teilaufgabe a) ergibt sich für die Bahngleichung\[y = \frac{{e \cdot {U_{\rm{K}}}}}{{m \cdot d}} \cdot \frac{{{x^2}}}{{2 \cdot \frac{{2 \cdot e \cdot {U_{\rm{B}}}}}{m}}} = \frac{1}{4} \cdot \frac{{{U_{\rm{K}}}}}{{d \cdot {U_{\rm{B}}}}} \cdot {x^2}\]Man erkennt aus dem Ergebnis, dass bei der Bahngleichung die Masse des Ions keine Rolle spielt. Damit das Deuterium-Ion die gleiche Bahn durchläuft wie das Wasserstoff-Ion, braucht man die Spannungen nicht zu ändern.

d) 

e)Mit einem in die Zeichenebene gerichteten Magnetfeld kann erreicht werden, dass die in die negative \(y\)-Richtung zeigende elektrische Kraft durch eine betragsgleiche aber entgegengesetzt gerichtete LORENTZ-Kraft aufgehoben wird. In diesem Fall gilt\[{{F_{\rm{L}}} = {F_{{\rm{el}}}} \Leftrightarrow e \cdot {v_0} \cdot B = e \cdot {E_{\rm{K}}} \Leftrightarrow B = \frac{{{E_{\rm{K}}}}}{{{v_0}}} = \frac{{{U_{\rm{K}}}}}{{d \cdot {v_0}}}}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[{B = \frac{{400{\rm{V}}}}{{10 \cdot {{10}^{ - 3}}{\rm{m}} \cdot 9,78 \cdot {{10}^5}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}} = 4,1 \cdot {{10}^{ - 2}}{\rm{T}}}\]Nur diejenigen Teilchen mit der Geschwindigkeit \({{v_0} = \frac{{{E_{\rm{K}}}}}{B}}\) gelangen unabgelenkt durch die Anordnung von gekreuztem E- und B-Feld. Sind die Teilchen schneller, so erfahren sie eine höhere nach oben (vgl. Zeichnung in Teilaufgabe d)) gerichtete LORENTZ-Kraft und treffen auf die obere Kondensatorplatte. Umgekehrt ist für Teilchen \({{v_0} < \frac{{{E_{\rm{K}}}}}{B}}\) die LORENTZ-Kraft kleiner als die elektrische Kraft. In diesem Fall landen die Teilchen auf der unteren Platte.

Grundwissen zu dieser Aufgabe

Elektrizitätslehre

Bewegte Ladungen in Feldern