Elektronen werden in einer evakuierten Glasröhre durch eine konstante Gleichspannung \(U_{\rm{B}} = 285\,\rm{V}\) in horizontaler Richtung nach rechts beschleunigt und gelangen dann in das vertikale homogene Feld eines Plattenkondensators mit der Plattenlänge \(l = 12\,\rm{cm}\) und dem Plattenabstand \(d = 10\,\rm{cm}\). An den Platten liegt die konstante Gleichspannung \(U\) an. Die obere Platte sei positiv geladen; die Elektronen treten genau in der Mitte zwischen den Platten in das Feld ein.
a)Berechne die Geschwindigkeit der Elektronen beim Eintritt in das Kondensatorfeld. [Kontrollergebnis: \(v_0 = 1{,}00 \cdot {10^7}\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\)]
b)Leite allgemein die parameterfreie Gleichung der Bahnkurve bezüglich eines geeigneten Koordinatensystems her.
Begründe, dass die Bahnkurve Teil einer Parabel ist.
c)Lässt man die Elektronen streifend an einem Bildschirm entlang laufen, so kann man die Bahn der Elektronen sichtbar machen. Man erhält nebenstehendes Bild.
Bestimme die Spannung \(U\) am Plattenkondensator. [Kontrollergebnis: \(U = 317\,\rm{V}\)]
Berechne den Betrag der Geschwindigkeit der Elektronen beim Verlassen des Kondensators.
d)Weise allgemein nach: Verwendet man statt der Elektronen andere negativ geladene Teilchen, die wie beschrieben zunächst durch \(U_{\rm{B}}\) beschleunigt und dann mit \(U\) abgelenkt werden, so durchlaufen sie die gleiche Parabelbahn.
Überlagert man dem Kondensatorfeld ein homogenes Magnetfeld, das das Innere des Kondensators gerade ausfüllt, so kann man erreichen, dass die Elektronen im Kondensator nicht abgelenkt werden.
e)Gib an, wie dieses Magnetfeld gerichtet sein muss.
Begründe deine Antwort.
f)Leite für diesen Fall die Formel für den Betrag \(B\) der magnetischen Kraftflussdichte her.
Berechne den Wert von \(B\). [Kontrollergebnis: \(B = 3{,}17 \cdot {10^{ - 4}}\,{\rm{T}}\)]
g)Trennt man die Spannungsquelle ab und entlädt den Kondensator, so beschreiben die Elektronen im verbleibenden Magnetfeld eine Bahn, die Teil eines Kreises ist.
Berechne den Radius des Kreises.
Zeige: Wenn man statt der Elektronen andere negativ geladene Teilchen wie beschrieben mit \(U_{\rm{B}}\) beschleunigt und in diesem Magnetfeld ablenkt, so verändert sich im allgemeinen der Radius der Kreisbahn.
b)In \(x\)-Richtung gilt \[x = {v_0} \cdot t \Leftrightarrow t = \frac{x}{{{v_0}}}\quad\left( 2 \right)\] In \(y\)-Richtung gilt \[y = \frac{1}{2} \cdot {a_y} \cdot {t^2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{{E \cdot e}}{m} \cdot {t^2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{{\frac{U}{d} \cdot e}}{m} \cdot {t^2} = \frac{{U \cdot e}}{{2 \cdot d \cdot m}} \cdot {t^2}\quad\left( 3 \right)\] Setzt man \((2)\) in \((3)\) ein, so folgt \[y = \frac{{U \cdot e}}{{2 \cdot d \cdot m}} \cdot \frac{{{x^2}}}{{v_0^2}}\quad\left( 4 \right)\] Mit dem Ergebnis von \((1)\) folgt schließlich aus \((4)\) \[y = \frac{1}{4} \cdot \frac{U}{{{U_{\rm{B}}} \cdot d}} \cdot {x^2}\quad\left( 4 \right)\]
c)Der Elektronenstrahl verlässt den Kondensator im Punkt \({\rm{P}}\left( {12\,{\rm{cm|}}4{,}0\,{\rm{cm}}} \right)\). Durch Umformen von \((4)\) erhält man \[U = \frac{{4 \cdot y \cdot {U_{\rm{B}}} \cdot d}}{{{x^2}}} \Rightarrow U = \frac{{4 \cdot 0{,}04\,{\rm{m}} \cdot 285\,{\rm{V}} \cdot 0{,}10\,{\rm{m}}}}{{{{\left( {0{,}12\,{\rm{m}}} \right)}^2}}} = 317\,{\rm{V}}\]Für \({v_y}\) gilt \[{v_y} = {a_y} \cdot t = \frac{{U \cdot e}}{{d \cdot m}} \cdot \frac{l}{{{v_0}}}\] Einsetzen der gegebenen Werte liefert \[ {v_y} = \frac{{317\,{\rm{V}} \cdot 1{,}76 \cdot {{10}^{11}}\,\frac{{{\rm{A}} \cdot {\rm{s}}}}{{{\rm{kg}}}}}}{{0{,}10\,{\rm{m}}}} \cdot \frac{{0{,}12\,{\rm{m}}}}{{1{,}0 \cdot {{10}^7}\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}} = 6{,}7 \cdot {10^6}\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\] Für die Geschwindigkeit \(v\) beim Verlassen des Kondensators gilt \[v = \sqrt {v_0^2 + v_y^2} \Rightarrow v = \sqrt {{{\left( {1{,}0 \cdot {{10}^7}\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}} \right)}^2} + {{\left( {6{,}7 \cdot {{10}^6}\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}} \right)}^2}} = 1{,}2 \cdot {10^7}\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\]
d)In der Bahngleichung \((4)\) kommen Masse und Ladung des Teilchens gar nicht vor. Somit laufen bei gleichbleibenden Spannungen \({U_B}\) und \({U}\) alle negativ geladenen Teilchen auf der gleichen Bahnkurve.
e)Das homogene Magnetfeld muss in die Papierebene gerichtet sein. Die durch das Magnetfeld hervorgerufene LORENTZ-Kraft muss der nach oben gerichteten elektrischen Kraft auf die negativen Teilchen entgegen gerichtet sein. Die LORENTZ-Kraft muss also in Richtung der negativen \(y\)-Achse gerichtet sein. Mit Hilfe der Drei-Finger-Regel der linken Hand (gültig für negative Teilchen) sieht man: Ursache ist die in \(x\)-Richtung zeigende Geschwindigkeit (Daumen der linken Hand). Vermittlung ist das in die Papierebene gerichtete Magnetfeld (Zeigefinger der linken Hand). Wirkung ist die in die negative \(y\)-Richtung zeigende LORENTZ-Kraft (Mittelfinger der linken Hand).
f)Die LORENTZ-Kraft wirkt als Zentripetalkraft. Somit gilt\[{{F_{\rm{L}}} = {F_{{\rm{el}}}} \Leftrightarrow e \cdot {v_0} \cdot B = e \cdot E \Leftrightarrow {v_0} \cdot B = \frac{U}{d} \Leftrightarrow B = \frac{U}{{d \cdot {v_0}}}}\] Einsetzen der gegebenen Werte liefert \[{B = \frac{{317\,{\rm{V}}}}{{0{,}10\,{\rm{m}} \cdot 1{,}0 \cdot {{10}^7}\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}} = 3{,}17 \cdot {{10}^{ - 4}}\,\frac{{{\rm{V}} \cdot {\rm{s}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{2}}}}}}\]
g)Die Zentripetalkraft \(F_{\rm{ZP}}\) für die Kreisbahn wird durch die Lorentzkraft \(F_{\rm{L}}\) aufgebracht: \[{{F_{\rm{L}}} = {F_{{\rm{ZP}}}} \Leftrightarrow e \cdot {v_0} \cdot B = \frac{{m \cdot v_0^2}}{r} \Leftrightarrow r = \frac{{m \cdot {v_0}}}{{e \cdot B}} = \frac{{{v_0}}}{{\frac{e}{m} \cdot B}}\quad\left( 5 \right)}\] Einsetzen der gegebenen Werte liefert \[{r = \frac{{1{,}0 \cdot {{10}^7}\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}}{{1{,}76 \cdot {{10}^{11}}\,\frac{{{\rm{A}} \cdot {\rm{s}}}}{{{\rm{kg}}}} \cdot 3{,}17 \cdot {{10}^{ - 4}}\,\frac{{{\rm{V}} \cdot {\rm{s}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{2}}}}}}} = 0{,}18\;{\rm{m}}}\] Einheitenrechnung: \[{\left[ r \right] = \frac{{\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}}{{\frac{{{\rm{A}} \cdot {\rm{s}}}}{{{\rm{kg}}}} \cdot \frac{{{\rm{V}} \cdot {\rm{s}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{2}}}}}}} = \frac{{{\rm{m}} \cdot {\rm{kg}} \cdot {{\rm{m}}^{\rm{2}}}}}{{{\rm{s}} \cdot {\rm{A}} \cdot {\rm{s}} \cdot {\rm{V}} \cdot {\rm{s}}}} = \frac{{{\rm{m}} \cdot {\rm{kg}} \cdot {{\rm{m}}^{\rm{2}}}}}{{{\rm{s}} \cdot {\rm{J}} \cdot {\rm{s}}}} = \frac{{{\rm{m}} \cdot {{\rm{m}}^{\rm{2}}}}}{{\frac{{\rm{J}}}{{{\rm{kg}}}} \cdot {{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} = \frac{{{\rm{m}} \cdot {{\rm{m}}^{\rm{2}}}}}{{\frac{{{{\rm{m}}^{\rm{2}}}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} \cdot {{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} = {\rm{m}}}\]In Gleichung \((5)\) sieht man, dass der Radius der Kreisbahn von der spezifischen Ladung der ins Magnetfeld tretenden Teilchen abhängt. In der Regel haben verschiedene negative Teilchen auch eine verschiedene spezifische Ladung.
