Ein Zyklotron (siehe Skizze) dient zur Beschleunigung geladener Teilchen auf nichtrelativistische Geschwindigkeiten. Es wird mit einem homogenen Magnetfeld mit der Feldstärke \(B\) und einer Wechselspannung konstanter Frequenz betrieben.
a)Leite an Hand einer geeigneten Kräftebetrachtung den Zusammenhang zwischen dem Bahnradius und der Geschwindigkeit der Teilchen (Ladung \(q\); Masse \(m\)) her.
Zeige, dass für die Frequenz gilt\[f = \frac{q \cdot B}{2 \pi \cdot m}\]Erläutere damit, dass mit diesem Zyklotron Teilchen nicht auf relativistische Geschwindigkeiten beschleunigt werden können. (8 BE)
Im Folgenden soll ein "Low-Cost-Zyklotron" für Protonen betrachtet werden, das mit der Haushaltwechselspannung (Frequenz: \(50{,}0\,\rm{Hz}\)) betrieben wird. Die Energiezufuhr findet dabei für ein Proton immer dann statt, wenn die Spannung ihren Scheitelwert \(325\,\rm{V}\) annimmt.
b)Berechne den Zuwachs an kinetischer Energie, den die Protonen bei einem Umlauf erhalten. (3 BE)
c)Berechne die magnetische Flussdichte \(B\), mit der dieses Zyklotron betrieben werden muss. [Zur Kontrolle: \(B = 3{,}28\,\rm{\mu T}\)] (3 BE)
d)Berechne, wie lange es dauert, bis dieses Zyklotron ein anfangs ruhendes Proton auf \(1{,}0\%\) der Lichtgeschwindigkeit beschleunigt hat.
Berechne den Radius \(r\) der Kreisbahn, die auf \(1{,}0\%\) der Lichtgeschwindigkeit beschleunigte Protonen durchlaufen. (9 BE)
e)Erläutere, ob du ein solches "Low-Cost-Zyklotron" für realisierbar hältst. (3 BE)
Hinweis: Bei dieser Lösung von LEIFIphysik handelt es sich nicht um den amtlichen Lösungsvorschlag des bayr. Kultusministeriums.
a)Die LORENTZ-Kraft wirkt als Zentripetalkraft:\[F_{\rm{L}} = F_{\rm{ZP}} \Leftrightarrow q \cdot v \cdot B = \frac{m \cdot v^2}{r} \Leftrightarrow \frac{r}{v} = \frac{m}{{q \cdot B}} \quad(1)\]Multiplizieren wir beide Seiten der Gleichung mit \(2 \cdot \pi\) erhalten wir\[\frac{2 \cdot \pi \cdot r}{v} = \frac{2 \cdot \pi \cdot m}{q \cdot B} \quad(2)\]Bei einer gleichförmigen Kreisbewegung gilt nun\[v = \frac{{2 \cdot \pi \cdot r}}{T} \Leftrightarrow T = \frac{{2 \cdot \pi \cdot r}}{v}\]Damit erhalten wir aus \((2)\)\[T = \frac{2 \cdot \pi \cdot m }{q \cdot B}\]und mit \(f=\frac{1}{T}\)\[f = \frac{q \cdot B}{2 \cdot \pi \cdot m}\quad(3)\]Das Zyklotron wird mit einer konstanten Frequenz der Beschleunigungsspannung betrieben. Da \(q\) und \(B\) zeitlich konstant sind, funktioniert das wiederholte Beschleunigen nur, solange die Masse des beschleunigten Teilchens als konstant betrachtet werden kann. Dies gilt nur im nichtrelativistischen Fall mit \(v < 0{,}1 \cdot c\).
b)Bei einem Umlauf wird das Proton zweimal zwischen den Duanten beschleunigt. Damit ergibt sich\[\Delta E = 2 \cdot e \cdot U \Rightarrow \Delta E = 2 \cdot e \cdot 325\,\rm{V} = 650\,\rm{eV} = 1{,}04 \cdot 10^{-16}\,\rm{J}\]
c)Aus der in Teilaufgabe a) hergeleiteten Beziehung \((3)\) erhalten wir\[f = \frac{{q \cdot B}}{{2 \cdot \pi \cdot {m_{\rm{p}}}}} \Leftrightarrow B = \frac{{2 \cdot \pi \cdot f \cdot {m_{\rm{p}}}}}{q}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[B = \frac{{2 \cdot \pi \cdot 50{,}0\,{\rm{Hz}} \cdot 1{,}67 \cdot 10^{-27}\,{\rm{kg}}}}{{1{,}60 \cdot 10^{-19}\,{\rm{A}\,\rm{s}}}} = 3{,}28 \cdot 10^{-6}\,{\rm{T}} = 3{,}28\,{\rm{\mu T}}\]
d)Die Anzahl der benötigten Umläufe ergibt sich durch\[N = \frac{E_{\rm{kin}}}{\Delta E}= \frac{\frac{1}{2} \cdot m_{\rm{p}} \cdot (0{,}01 \cdot c)^2}{\Delta E}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[N = \frac{\frac{1}{2} \cdot 1{,}67 \cdot 10^{-27}\,\rm{kg} \cdot (0{,}01 \cdot 3{,}0 \cdot 10^8\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}})^2}{1{,}04 \cdot 10^{-16}\,\rm{J}} = 72\]Die für die \(N\) Umläufe benötigte Zeit \(t\) ergibt sich\[t = N \cdot T = \frac{N}{f} \Rightarrow t = \frac{72}{50{,}0\,\rm{Hz}} = 1{,}4\,\rm{s}\]Aus der in Teilaufgabe a) entwickelten Beziehung \((1)\) lässt sich nun \(r\) berechnen:\[\frac{r}{v} = \frac{m}{q \cdot B} \Leftrightarrow r = \frac{m \cdot v}{q \cdot B}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[r =\frac{1{,}67 \cdot 10^{-27}\,{\rm{kg}} \cdot 0{,}01 \cdot 3{,}0 \cdot 10^8\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}}}{1{,}60 \cdot 10^{-19}\,{\rm{A}\,\rm{s}} \cdot 3{,}28 \cdot 10^{-6}\,{\rm{T}}} = 9{,}5 \cdot 10^3\,\rm{m} = 9{,}5\,\rm{km}\]
e)Das "Low-Cost-Zyklotron" ist aufgrund des sehr großen Radius von \(9{,}5\,\rm{km}\), über den eine homogenes Magnetfeld wirken müsste, nicht realisierbar.
