Die HALL-Sonde ist ein wichtiger Sensor zum Ausmessen von Magnetfeldern.
a)Erläutere kurz, unter welchen Bedingungen in einem quaderförmigen Silberplättchen (siehe Skizze) zwischen den Anschlüssen (1) und (2) ein HALL-Spannung \({U_{\rm{H}}}\) auftritt.
Gib die Polung von \({U_{\rm{H}}}\) unter der Voraussetzung an, dass der Ladungstransport durch freibewegliche Elektronen erfolgt. (5 BE)
b)Bei einer HALL-Sonde wird ein Silberplättchen der Dicke \(d = 0{,}012\,{\rm{mm}}\) verwendet. Die HALL-Konstante \(R_{\rm{H}} = \frac{1}{{n \cdot e}}\) von Silber beträgt bei Zimmertemperatur \(0{,}90 \cdot 10^{-10}\,\frac{\rm{m}^3}{\rm{A}\,\rm{s}}\); dabei bezeichne \(n\) die Ladungsträgerdichte und \(e\) die Elementarladung. In einem Magnetfeld ergibt sich bei einem Sondenstrom von \(10\,\rm{A}\) eine HALL-Spannung von \(1{,}7 \cdot 10^{-5}\,{\rm{V}}\).
Berechne die magnetische Feldstärke \(B\).
Berechne ferner, wie viele Elektronen pro Silberatom im Mittel dem "freien Elektronengas" zugeordnet werden können. (9 BE)
c)Fertige eine beschriftete Skizze des Versuchsaufbaus zur Bestimmung der HALL-Konstanten \({R_{\rm{H}}}\) eines Plättchens an. (4 BE)
Für eine HALL-Sonde aus dem Halbleitermaterial Germanium mit der Dicke \(d = 1{,}0\,{\rm{mm}}\) wurden folgende Messreihen aufgenommen:
Tab. 1 Messreihen
\(B = 10\,{\rm{mT}}\)
\(I\;{\rm{in}}\;{\rm{mA}}\)
\(10\)
\(15\)
\(20\)
\(25\)
\({U_{\rm{H}}}\;{\rm{in}}\;{\rm{mV}}\)
\(1{,}4\)
\(2{,}1\)
\(2{,}9\)
\(3{,}7\)
\(B = 20\,{\rm{mT}}\)
\(I\;{\rm{in}}\;{\rm{mA}}\)
\(10\)
\(15\)
\(20\)
\(25\)
\({U_{\rm{H}}}\;{\rm{in}}\;{\rm{mV}}\)
\(2{,}8\)
\(4{,}3\)
\(5{,}7\)
\(7{,}3\)
\(B = 30\,{\rm{mT}}\)
\(I\;{\rm{in}}\;{\rm{mA}}\)
\(10\)
\(20\)
\(30\)
\(40\)
\({U_{\rm{H}}}\;{\rm{in}}\;{\rm{mV}}\)
\(4{,}4\)
\(8{,}8\)
\(13{,}1\)
\(17{,}5\)
d)Untersuche, welche Zusammenhänge zwischen HALL-Spannung \({U_{\rm{H}}}\), Sondenstrom \(I\) und Flussdichte \(B\) sich damit belegen lassen.
Werte die Messreihen entsprechend aus. (8 BE)
e)In einem weiteren Experiment kann gezeigt werden, dass die HALL-Spannung \({U_{\rm{H}}}\) bei konstanter Feldstärke \(B\) und konstantem Sondenstrom \(I\) umgekehrt proportional zur Dicke \(d\) des Plättchens ist.
Berechne, welche Proportionalitätskonstante (HALL-Konstante \({R_{\rm{H}}}\)) sich aus der Messreihe unter der Annahme, dass auch für Germanium \({R_{\rm{H}}} = \frac{1}{{n \cdot e}}\) gilt, ergibt. (5 BE)
f)Berechne unter Verwendung der Ergebnisse bzw. Angaben der Teilaufgaben b) und e) das Verhältnis der Ladungsträgerdichten von Silber und Germanium. (5 BE)
Hinweis: Bei dieser Lösung von LEIFIphysik handelt es sich nicht um den amtlichen Lösungsvorschlag des bayr. Kultusministeriums.
a)Wird an die Kontakte 3 und 4 eine Stromquelle angeschlossen, so dass ein Strom der Stärke \(I\) von 3 nach 4 fließt und wird das Silberplättchen von einem Magnetfeld der Feldstärke \(B\) senkrecht in die Zeichenebene hinein durchsetzt, so wirkt auf die Ladungsträger eine LORENTZ-Kraft vom Betrag \(F_{\rm{L}}=q \cdot v \cdot B\), welche negative Ladungsträger (\(q=-e\)) nach unten zum Anschluss 2 verschiebt. Dort entsteht der Minuspol der HALL-Spannung. Die Verschiebung geht so lange, bis das durch die Ladungsverschiebung aufgebaute elektrische Feld eine der LORENTZ-Kraft entgegengesetzt gleichgroße elektrische Kraft bewirkt. Mit \(b\): Abstand von 1 zu 2 gilt dann\[F_{\rm{L}} = F_{\rm{el}} \Leftrightarrow q \cdot v \cdot B = q \cdot \frac{U_{\rm{H}}}{b} \Leftrightarrow U_{\rm{H}} = b \cdot v \cdot B\]
b)Wir nutzen die Gleichung\[U_{\rm{H}} = \frac{1}{{n \cdot e}} \cdot \frac{{I \cdot B}}{d}\]Auflösen nach \(B\) und Einsetzen der gegebenen Werte ergibt \(B=0{,}23\,\rm{T}\). Weiter gilt nun\[Z = \frac{{{N_{{\rm{freie - Elektronen}}}}}}{{{N_{{\rm{Ag - Atome}}}}}}= \frac{{{N_{{\rm{freie -Elektronen}}}}}}{{\frac{V}{{{V_{{\rm{Ag - Atom}}}}}}}} = \frac{{{N_{{\rm{freie - Elektronen}}}} \cdot {V_{{\rm{Ag - Atom}}}}}}{V}= n \cdot {V_{{\rm{Ag - Atom}}}} = \frac{1}{{{R_{\rm{H}}} \cdot e}} \cdot \frac{{{m_{{\rm{Ag - Atom}}}}}}{{{\rho _{{\rm{Ag}}}}}}\]Die Dichte und die Atommasse von Silber findet man in der Formelsammlung; es ergibt sich \(Z = 1{,}2\).
c)
d)
\(I\) in \(\rm{mA}\)
10
15
20
25
\(U_{\rm{H}}\) in \(\rm{mV}\)
1,4
2,1
2,9
3,7
\(\frac{U_{\rm{H}}}{I}\) in \(\frac{\rm{V}}{\rm{A}}\)
0,14
0,14
0,15
0,15
\(B\) in \(\rm{mT}\)
10
20
30
\(U_{\rm{H}}\) in \(\rm{mV}\)
1,4
2,8
4,4
\(\frac{U_{\rm{H}}}{B}\) in \(\frac{\rm{V}}{\rm{T}}\)
0,14
0,14
0,15
Für \(B=10\,\rm{mT}\) sind die Werte von \(U_{\rm{H}}\) und \(I\) quotientengleich bzw. das \(I\)-\(U_{\rm{H}}\)-Diagramm ist eine Ursprungsgerade. Damit gilt \(U_{\rm{H}} \sim I\).
Für \(I=10\,\rm{mA}\) sind die Werte von \(U_{\rm{H}}\) und \(B\) quotientengleich bzw. das \(B\)-\(U_{\rm{H}}\)-Diagramm ist eine Ursprungsgerade. Damit gilt \(U_{\rm{H}} \sim B\)
e)Aus der Formel für die HALL-Spannung ergibt sich\[{U_{\rm{H}}} = {R_{\rm{H}}} \cdot \frac{{B \cdot I}}{d} \Leftrightarrow {R_{\rm{H}}} = \frac{{{U_{\rm{H}}}}}{{B \cdot I}} \cdot d\]Aus den Messwerten in Aufgabenteil d) ergibt sich z.B. mit \(B=10\,\rm{mT}\), \(I=10\,\rm{mA}\) und \(U_{\rm{H}}=1{,}4\,\rm{mV}\) (Mittelwertbildung verbessert die Ergebnisse)\[\frac{{{U_{\rm{H}}}}}{{B \cdot I}} = \frac{{1{,}4\,{\rm{mV}}}}{{10\,{\rm{mT}} \cdot 10\,{\rm{mA}}}} = 14\,\frac{{{{\rm{m}}^2}}}{{{\rm{A}}\,{\rm{s}}}}\]Damit ergibt sich\[{R_{\rm{H}}} = \frac{{{U_{\rm{H}}}}}{{B \cdot I}} \cdot d \Rightarrow {R_{\rm{H}}} = 14\,\frac{{{{\rm{m}}^2}}}{{{\rm{A}} \cdot {\rm{s}}}} \cdot 1{,}0\,\cdot 10^{-3}\,{\rm{m}} = 0{,}014\,\frac{\rm{m}^3}{\rm{C}}\]
