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Aufgabe

Ölfleck-Versuch (Abitur BY 2001 GK A3-1)

Schwierigkeitsgrad: mittelschwere Aufgabe

Auf einer empfindlichen Waage steht ein flaches Schälchen mit einer dünnen Schicht Ölsäure C17H33COOH (54 Atome pro Molekül). Ein feiner Metalldraht wird darin bis zum Boden eingetaucht, um die Drahtspitze zu benetzen. Die dem Draht anhaftende Ölsäure wird anschließend abgewischt. Dieser Vorgang wird 50 Mal nacheinander ausgeführt. Weil dabei die Masse der Flüssigkeit in dem Schälchen insgesamt nur um \(0,71\rm{mg}\) abnimmt, bleibt die Eintauchtiefe praktisch konstant. Die Dichte der Ölsäure beträgt \({\rho  = 0,89 \cdot {{10}^3}\frac{{{\rm{kg}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}}\).

a)Der Draht wird ein weiteres Mal in die Flüssigkeit eingetaucht, die anhaftende Ölsäure aber anschließend auf eine mit Bärlappsporen bestäubte Wasseroberfläche gebracht. Es bildet sich ein kreisförmiger Ölfleck von \(15\rm{cm}\) Durchmesser.

Berechne näherungsweise den Durchmesser eines Ölsäuremoleküls und daraus die Größenordnung des Atomdurchmessers.

Erläutere, welche Annahmen deiner Berechnung zu Grunde liegen. (10 BE)

b)Schätze ab, wie viele Ölsäuremoleküle sich in dem Fleck befinden. (5 BE)

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Hinweis: Bei dieser Lösung von LEIFIphysik handelt es sich nicht um den amtlichen Lösungsvorschlag des bayr. Kultusministeriums.

a)Die Masse \(m\) des Tropfens berechnet sich durch\[m = \frac{{0,71 \cdot {{10}^{ - 6}}{\rm{kg}}}}{{50}} = 1,42 \cdot {10^{ - 8}}{\rm{kg}}\]Das Volumen \(V\) des Tropfens berechnet sich durch\[m = \rho  \cdot V \Leftrightarrow V = \frac{m}{\rho } \Rightarrow V = \frac{{1,42 \cdot {{10}^{ - 8}}{\rm{kg}}}}{{0,89 \cdot {{10}^3}\frac{{{\rm{kg}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}}} = 1,6 \cdot {10^{ - 11}}{{\rm{m}}^3}\]Die Ölschicht ist monomolekular, so dass die Ölschichtdicke dem Durchmesser eines Ölsäuremoleküls gleichzusetzen ist:\[{d_{{\rm{Öl}}}} = \frac{V}{A} = \frac{V}{{\pi  \cdot {r^2}}} \Rightarrow {d_{{\rm{Öl}}}} = \frac{{1,6 \cdot {{10}^{ - 11}}{{\rm{m}}^3}}}{{\pi  \cdot {{\left( {7,5 \cdot {{10}^{ - 2}}{\rm{m}}} \right)}^2}}} = 9,1 \cdot {10^{ - 10}}{\rm{m}}\]Geht man davon aus, dass die Ölsäuremoleküle kugelförmig sind und sich aus 54 kugelförmigen gleichgroßen Atomen zusammensetzen, so gilt\[\frac{4}{3} \cdot \pi  \cdot {\left( {\frac{{{d_{{\rm{Öl}}}}}}{2}} \right)^3} = 54 \cdot \frac{4}{3} \cdot \pi  \cdot {\left( {\frac{{{d_{{\rm{Atom}}}}}}{2}} \right)^3} \Rightarrow {d_{{\rm{Atom}}}} = \frac{1}{{\sqrt[3]{{54}}}} \cdot {d_{{\rm{Öl}}}} \Rightarrow {d_{{\rm{Atom}}}} = \frac{1}{{\sqrt[3]{{54}}}} \cdot 9,1 \cdot {10^{ - 10}}{\rm{m}} = 2,4 \cdot {10^{ - 10}}{\rm{m}}\]

b)Ausgehend von der Kugelform der Ölsäuremoleküle gilt für ihr Volumen \(V_{\rm{Mol}}\)\[{V_{{\rm{Mol}}}} = \frac{4}{3} \cdot \pi  \cdot {\left( {\frac{{{d_{{\rm{Öl}}}}}}{2}} \right)^3} \Rightarrow {V_{{\rm{Mol}}}} = \frac{4}{3} \cdot \pi  \cdot {\left( {\frac{{9,1 \cdot {{10}^{ - 10}}{\rm{m}}}}{2}} \right)^3} = 3,9 \cdot {10^{ - 28}}{{\rm{m}}^3}\]Daraus ergibt sich die Anzahl \(n\) solcher Kugeln, die den Raum des Tropfens ausfüllen zu\[n = \frac{{{V_{{\rm{Tropfen}}}}}}{{{V_{{\rm{Mol}}}}}} \Rightarrow n = \frac{{1,6 \cdot {{10}^{ - 11}}{{\rm{m}}^3}}}{{3,9 \cdot {{10}^{ - 28}}{{\rm{m}}^3}}} = 4,1 \cdot {10^{16}}\]