Vergleich mit dem Spektrum eines Schwarzen Körpers
Abb.
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Strahlungsintensität der Sonne auf der Erde im Vergleich zum schwarzen Körper
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Das von der Sonne kommende Licht ähnelt dem Spektrum eines schwarzen Körpers. Aus der gesamten Strahlungsleistung würde man nach dem Gesetz von Stefan Boltzmann eine Temperatur von 5770 K berechnen, dies nennt man die effektive Temperatur der Sonne.
Aus dem Strahlungsmaximum würde man nach dem Wienschen Gesetz auf eine Temperatur von 6100 K schließen. Man nennt dies die Farbtemperatur der Sonne.
Auf der Erde kommt die Sonnenstrahlung jedoch nicht vollständig an, da z.B. in der Atmosphäre ein Teil der Strahlung reflektiert bzw. absorbiert wird. Da dies nicht alle Wellenlängen gleich stark betrifft, ergibt sich auf der Erde der in Abb. 1 dargestellte Intensitätsverlauf des Sonnenspektrums.
Fraunhoferlinien
Das untenstehende Spektrum ist das Prismenspektrum des Sonnenlichts, wie es auf der Erde erscheint.
Es zeigt viele mehr oder weniger intensive Absorptionslinien, die von Fraunhofer exakt ausgemessen wurden und die ein genaues Bild der Zusammensetzung der Schichten sind, die das Sonnenlicht auf seinem Weg von der Photosphäre der Sonne zum Beobachter auf der Erdoberfläche durchdringt. Es gibt also Ausblick über die Gaszusammenzusetzung in der Sonnenumgebung und in der Erdatmosphäre. Mehr Informationen zu den einzelnen Linien im Spektrum findest du in der Wikipedia.
Als Solarkonstante \({S_0}\) oder \({E_0}\) bezeichnet man die langjährig gemittelte extraterrestrische Bestrahlungsstärke (Intensität) der Sonne, die bei mittlerem Abstand Erde–Sonne ohne den Einfluss der Atmosphäre senkrecht zur Strahlrichtung auf die Erde auftrifft. Der Begriff „Konstante“ wird konventionell verwendet, obwohl es sich um keine Naturkonstante handelt.
Der Mittelwert für die Solarkonstante wurde 1982 von der Weltorganisation für Meteorologie in Genf festgelegt auf \({S_0} = 1367\frac{{\rm{W}}}{{{{\rm{m}}^2}}}\).
Außerhalb der Atmosphäre ist die Bestrahlungsstärke bei jedem Sonnenstand \(h\) (\(h\) ist ein Winkel) gleich der Solarkonstanten \({S_0}\). Am Boden aber wird die Bestrahlungsstärke \(B\) mit sinkendem Sonnenstand \(h\) kleiner. Die Bestrahlungsstärke \(B\) nimmt mit der Länge \(l\) des Wegs durch die Atmosphäre ab. Dies nutzt man zur Bestimmung von \({S_0}\).
Da die Sonnenstrahlung bei jedem Höhenwinkel immer die gesamte Atmosphäre von den oben sehr dünnen Luftschichten bis zu den unten dichten Luftschichten durchläuft, können wir vereinfacht annehmen, dass sie konstant durch eine überall gleich dichte Luftschicht der unterschiedlichen Länge \(l \) läuft. Für die Strahlung gilt, dass sie exponentiell mit der Länge des Wegs durch das Medium abnimmt, das Absorptionsgesetz: \(B = {S_0} \cdot {e^{ - \alpha \cdot l }}\) durch beidseitiges Logarithmieren und Anwenden verschiedener Logarithmengesetze folgt
\[\ln (B) = \ln ({S_0}) - \alpha \cdot l \].
Anmerkung: Der Absorptionskoeffizient ist allerdings für Licht unterschiedlicher Wellenlängenbereiche stark unterschiedlich, was dazu führt, dass das hierbei errechnete Ergebnis systematische Fehler hat, die man beseitigen kann, wenn man die einzelnen Wellenlängebereiche, beispielsweise durch geeignete Filter getrennt misst und berechnet, was aber den Rahmen eines Schulexperiments sprengt.
Zwischen \(d\) und \(l\) und dem Höhenwinkel \(h\) besteht nun die Beziehung
\[{\sin (h) = \frac{d}{l} \Leftrightarrow l = \frac{d}{{\sin (h)}} \Rightarrow \ln (B) = \ln ({S_0}) - \frac{{\alpha \cdot d}}{{\sin (h)}}}\]
In dieser Gleichung sind noch die beiden Unbekannten \({S_0}\) und \({\alpha \cdot d}\) enthalten. Mit zwei solcher Gleichungen d.h. zwei Messungen gelingt es aber, \({S_0}\) zu bestimmen. Führt man am selben Tag, wenn ein klarer Himmel ist, am Vormittag und am Mittag zwei Messungen der Bestrahlungsstärke durch und bestimmt jeweils mittels der Länge des Schattens eines senkrechten Stabes den Höhenwinkel, so kann man die Solarkonstante bestimmen.
Bestimme aus den folgenden Messergebnissen die Solarkonstante \({S_0}\). Hinweis: Die Aufgabe ist nicht ganz leicht, aber man sollte sich mal durchbeißen.
Bestrahlungsstärke
Schattenlänge \(s\) eines \(1,50\rm{m}\) langen Stabes
1. Messung (Morgens)
\(380\frac{{\rm{W}}}{{{{\rm{m}}^2}}}\)
\(3,20\rm{m}\)
2. Messung (Mittags)
\(750\frac{{\rm{W}}}{{{{\rm{m}}^2}}}\)
\(0,70\rm{m}\)
Es gilt allgemein
\[\ln (B) = \ln ({S_0}) - \frac{{\alpha \cdot d}}{{\sin (h)}} \Leftrightarrow \sin (h) \cdot \ln (B) = \sin (h) \cdot \ln ({S_0}) - \alpha \cdot d\]
Für den Morgen gilt
\[\sin ({h_1}) \cdot \ln ({B_1}) = \sin ({h_1}) \cdot \ln ({S_0}) - \alpha \cdot d\]
Für den Mittag gilt
\[\sin ({h_2}) \cdot \ln ({B_2}) = \sin ({h_2}) \cdot \ln ({S_0}) - \alpha \cdot d\]
Subtrahiert man beide Gleichungen voneinander
\[\sin ({h_1}) \cdot \ln ({B_1}) - \sin ({h_2}) \cdot \ln ({B_2}) = \sin ({h_1}) \cdot \ln ({S_0}) - \sin ({h_2}) \cdot \ln ({S_0})\]
und löst nach \(\ln ({S_0})\) auf, so erhält man
\[\ln ({S_0}) = \frac{{\sin ({h_1}) \cdot \ln ({B_1}) - \sin ({h_2}) \cdot \ln ({B_2})}}{{\sin ({h_1}) - \sin ({h_2})}}\]
Zunächst berechnet man die Höhenwinkel aus der Höhe der Stange \(H\) und der Länge des Schattens \(S\):
\[\tan (h) = \frac{H}{S} \Rightarrow {h_1} = \arctan \left( {\frac{{1,50\rm{m}}}{{3,20\rm{m}}}} \right)\; = 25^\circ ;{h_2} = \arctan \left( {\frac{{1,50\rm{m}}}{{0,70\rm{m}}}} \right) = 65^\circ \]
In die obige Gleichung eingesetzt erhält man
\[{S_0} = \exp \left( {\frac{{\sin \left( {{{25}^\circ }} \right) \cdot \ln \left( {380\frac{{\rm{W}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{2}}}}}} \right) - \sin \left( {{{65}^\circ }} \right) \cdot \ln \left( {750\frac{{\rm{W}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{2}}}}}} \right)}}{{\sin \left( {{{25}^\circ }} \right) - \sin \left( {{{65}^\circ }} \right)}}} \right) = 1400\frac{{\rm{W}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{2}}}}}\]
Strahlungsleistung der Sonne
Die von der Sonne ausgehende Strahlung durchdringt den Raum ohne absorbiert zu werden und wird in alle Richtungen in gleicher Stärke gestrahlt. Die gesamte Leistung fließt also durch alle um die Sonne gelegten Kugelflächen in gleicher Größe.
Das besagt, dass die Strahlungsleistung pro \({{{\rm{m}}^{\rm{2}}}}\) im Abstand \(r\) von der Sonne die gesamte Strahlungsleistung \(L\) der Sonne dividiert durch die Kugeloberfläche einer Kugel mit Radius \(r\) ist.
Bestimme aus der Solarkonstanten \({S_0} = 1367\frac{{\rm{W}}}{{{{\rm{m}}^2}}}\) und dem Erdbahnradius \(r = 1{\rm{AE}} = 1,50 \cdot {10^{11}}{\rm{m}}\) die Strahlungsleistung der Sonne.
Die Sonne ist ein Plasmaball. Das Plasma besteht aus Atomkernen und Elektronen. Wegen der großen Teilchengeschwindigkeit können sich die Atomkerne nicht oder höchstens kurzzeitig mit Elektronen zu Atomen vereinigen, weil diese bei gegenseitigen Stößen immer wieder zerlegt würden. Die meisten Atomkerne sind Protonen, die durch Kernfusion im innersten Kern der Sonne zu Heliumkernen fusionieren. Bei diesen Fusionsprozessen wird die Bindungsenergie in Wärmeenergie umgewandelt, die letztendlich für die von der Sonne abgestrahlte Energie verantwortlich ist. Dass die Wahrscheinlichkeit für diese Fusionsprozesse auch im Sonnenineren nicht groß ist, erkennt man daran, dass in den letzten 4,5 Milliarden Jahren erst 6% des Wasserstoffs der Sonne eine Kernfusion durchgeführt haben.
Kern:
35% der Sonnenmasse Energieproduktion durch Fusion Strahlenzone:
Energietransport durch Strahlung, laufendes emittieren, streuen, absorbieren, emittieren.. Transportdauer zur Oberfläche 107a Konvektionszone:
Energietransport durch Konvektion (Aufsteigen heißen Wasserstoffes in Blasen, die an der "Oberfläche" die "Granulation" bilden) Fotosphäre(200 km):
Entstehung der Kontinuumsstrahlung und der fraunhoferschen Linien Chromossphäre (10 000 km)
sichtbar bei Mondabdeckung, Temperatur innen 4500 K außen 106 K, flockige Struktur infolge starker Turbulenzen sowie Störungen (Fackeln, Eruptionen, Protuberanzen) Korona
Nur sichtbar bei Verdeckung der Sonnenscheibe (extrem geringe Dichte)
Energie- bzw. Masseverlust der Sonne auf Grund von Strahlung
Die gesamte Strahlungsleistung der Sonne beträgt L = 3,82·1026 W
Nach der Einsteinschen Formel E = m·c2 verliert die Sonne demnach pro Sekunde eine Masse von \(\frac{{3,82 \cdot {{10}^{26}}Ws}}{{{{(3,0 \cdot {{10}^8}m{s^{ - 1}})}^2}}} = 4,24 \cdot {10^9}kg\)
In 1 Milliarde Jahre hätte die Sonne 4,24·109 kg 109·365·24·3600 = 1,33·1026 kg abgestrahlt.
Der Masseverlust auf Grund der Abstrahlung wären also in einer Milliarde Jahre 22 Erdmassen (mE = 6·1024kg).
Dies sind aber nur 0,007 % der Sonnenmasse (mS = 1,98·1030 kg)
Woher kommt die Energie?
Möglicher Energiegewinn der Sonne durch die Zusammenballung von Materie aufgrund der Gravitation
1.Ansatz:
Die Energie stammt aus der Gravitation beim Zusammenballen der Sonnenmasse aus der Urmaterie.
Ein Teilchen der Masse m, das sich vom Unendlichen bis zur Sonnenoberfläche bewegt, erhält die Gravitationsenergie
\(\Delta E = \frac{{G \cdot m \cdot {m_s}}}{{{R_s}}}\) .
Für die gesamte Gravitationsenergie bei Entstehung der Sonne aus einer Staubwolke ergäbe sich etwa \(E = \frac{{G \cdot {m_s} \cdot {m_s}}}{{{R_s}}}\).
Auf genauere Begründung der nötigen Integration wird verzichtet.
(Anfangs werden Massen durch kleinere Körper (mZ < mS) angezogen, gehen dafür aber näher zusammen (r < RS).
Bei einer Strahlung von L = 3,82·1026 W würde diese Energie für eine Zeit von \(t = \frac{{3,8 \cdot {{10}^{41}}J}}{{3,82 \cdot {{10}^{26}}W}}\)= 1,0·1015 s = 31,7·106 Jahre reichen. Das Sonnenalter ist aber mindestens 109 Jahre.
2. Ansatz: Kernfusion
Aus 4 Wasserstoffatomen entstehen bei der p-p-I-Kette oder beim BETHE-WEIZSÄCKER-Zyklus (vgl. Links am Ende des Artikels) 1 Heliumatom + Energie
Die Energie pro Elementarprozess beträgt 26,7 MeV
Berechne, wie viele Elementarprozesse pro Sekunde in der Sonne geschehen und wie lange dafür die Sonnenmasse reichte, wenn sie zu Beginn nur aus Wasserstoff bestehen würde.
Die Strahlungsenergie der Sonne pro Sekunde beträgt \({E_{{\rm{Sonne}}{\rm{, 1s}}}} = 3,82 \cdot {10^{26}}{\rm{J}}\).
Der Energiegewinn pro Elementarfusion beträgt (0,5 MeV nehmen die Neutrinos mit) \({E_{{\rm{eine Heliumfusion}}}} = 26,2{\rm{MeV}} = 4,19 \cdot {10^{ - 12}}{\rm{J}}\).
Die Zahl der Fusionen pro Sekunde beträgt \(N = \frac{{3,82 \cdot {{10}^{26}}J}}{{4,19 \cdot {{10}^{ - 12}}J}} = 9,1 \cdot {10^{37}}\)
Bestände die Sonne (mS = 2 ·1030 kg) zu Beginn nur aus Wasserstoffatomen (mP = 1,67·10-27 kg), so wären dies 1,2·1057 Stück.
Dies würde maximal reichen für eine Lebensdauer von
\[t = \frac{{1,2 \cdot {{10}^{57}}}}{{4 \cdot 9,1 \cdot {{10}^{37}}\frac{1}{{\rm{s}}}}} = 3,3 \cdot {10^{18}}{\rm{s}} = 1,0 \cdot {10^{11}}{\rm{a}}\]
Die Lebensdauer der Sonne wäre demnach bei vollständiger Wasserstofffusion t = 1,0·1011Jahre.
In Wirklichkeit ist die Lebensdauer der Sonne bei gleichbleibender Strahlung aus zwei Gründen wesentlich geringer:
1. Der in der Ur-Sonne vorhandene Anteil an Wasserstoff ist nicht 100% sondern eher bei 70%
2. Nur im innersten der Sonne sind ausreichend hohe Temperaturen, dass Fusionen wahrscheinlich genug sind, deshalb stehen nur der innerste Teil der Sonne (ca. 10 bis 20 % der Masse) für das "Wasserstoffbrennen" zur Verfügung.
