Direkt zum Inhalt

Aufgabe

Eros und NEAR (Abitur BY 2003 GK A5-1)

Schwierigkeitsgrad: mittelschwere Aufgabe

von NASA/JHU/APL (http://www.nasa.gov/) [Public domain], via Wikimedia Commons

Der Planetoid Eros hat eine heliozentrische Bahn mit der numerischen Exzentrizität \(0{,}223\); sein Aphelabstand beträgt \(1{,}78\,\rm{AE}\).

a)Planetoiden unterscheiden sich deutlich von Kometen. Nennen Sie wesentliche Unterscheidungsmerkmale. (4 BE)

b)Zeigen Sie, dass der Perihelabstand von Eros \(1{,}13\,\rm{AE}\) beträgt, und berechnen Sie seine siderische Umlaufzeit. (7 BE)

von Pikarl at de.wikipedia [Public domain], vom Wikimedia Commons

Im Jahr 1996 startete die NASA mit der Raumsonde NEAR eine Expedition zum Planetoiden Eros. Im Jahr 2000 bewegte sich NEAR auf einer Umlaufbahn um Eros mit dem Bahnradius \({r_{\rm{N}}} = 155\,{\rm{km}}\) und der Umlaufzeit \({T_{\rm{N}}} = 6{,}6\,{\rm{d}}\). Im Februar 2001 ist die Sonde erfolgreich auf Eros gelandet. Eros rotiert um seine Achse und hat die Form einer länglichen Kartoffel. Vereinfachend soll er jedoch kugelförmig mit einem Radius von \({R_{{\rm{Eros}}}} = 8{,}5\,{\rm{km}}\) angenommen werden.

c)Berechnen Sie die Masse von Eros und die Fallbeschleunigung \({g_{{\rm{Eros}}}}\) ohne Berücksichtigung der Eigenrotation von Eros. [Zur Kontolle: \({M_{{\rm{Eros}}}} = 6{,}8 \cdot {10^{15}}\,{\rm{kg}}\)] (10 BE)

d)Die gelandete Sonde soll von Eros aus gestartet werden. Berechnen Sie die Fluchtgeschwindigkeit. Erläutern Sie, wo am besten der Startplatz gewählt werden sollte. Begründen Sie Ihre Aussage. (9 BE)

e)Schätzen Sie die mittlere Oberflächentemperatur von Eros im Aphel ab, wenn man annimmt, dass \({\rm{23\% }}\) der eingestrahlten Sonnenenergie reflektiert werden und die Rotation von Eros für eine gleichmäßige Verteilung der absorbierten Sonnenenergie sorgt. (9 BE)

Lösung einblendenLösung verstecken Lösung einblendenLösung verstecken

Hinweis: Bei dieser Lösung von LEIFIphysik handelt es sich nicht um den amtlichen Lösungsvorschlag des bayr. Kultusministeriums.

a)Die Bahnen von Planetoiden sind den Bahnen der Planeten ähnlich, d.h. Sie haben keine allzu große Exzentrizität und kommen damit der Sonne nicht sehr nahe und kreuzen die Bahnen der Planeten kaum. Kometenbahnen zeichnen sich durch sehr hohe Exzentrizität aus, sie kommen der Sonne im Perihel sehr nahe und sind im Aphel sehr weit von der Sonne.

b)\[{r_{{\rm{Aphel}}}} = a \cdot (1 + \varepsilon ) \Leftrightarrow a = \frac{{{r_{{\rm{Aphel}}}}}}{{1 + \varepsilon }} \Rightarrow a = \frac{{1,78{\rm{AE}}}}{{1,223}} = 1{,}46\,{\rm{AE}}\] \[{r_{{\rm{Perihel}}}} = a \cdot (1 - \varepsilon ) \Rightarrow {r_{{\rm{Perihel}}}} = 1,46{\rm{AE}} \cdot 0,777 = 1{,}13\,{\rm{AE}}\]
Nach dem 3. KEPLERschen Gesetz ergibt sich
\[\frac{{{T^2}}}{{{{(1{\rm{a}})}^2}}} = \frac{{{a^3}}}{{{{(1{\rm{AE}})}^3}}} \Rightarrow T = \sqrt {{{1,46}^3}}  \cdot {\rm{a}} = 1{,}76\,{\rm{a}}\]

c)\[\frac{{{T^2}}}{{{r_N}^3}} = \frac{{4{\pi ^2}}}{{G \cdot M}} \Leftrightarrow M = \frac{{4{\pi ^2} \cdot r_N^3}}{{G \cdot T_N^2}}\] \[\Rightarrow M = \frac{{4{\pi ^2} \cdot {{(155 \cdot {{10}^3}{\rm{m}})}^3}}}{{6,673 \cdot {{10}^{ - 11}}\frac{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}{{{\rm{kg}}  \cdot {{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} \cdot {{\left( {6,6 \cdot 24 \cdot 3600{\rm{s}}} \right)}^2}}} = 6,8 \cdot {10^{15}}{\rm{kg}}\]
Kraftansatz Gravitationsgesetz:
\[m \cdot {g_{{\rm{Eros}}}} = \frac{{G \cdot m \cdot {M_{{\rm{Eros}}}}}}{{R_{{\rm{Eros}}}^2}} \Leftrightarrow {g_{{\rm{Eros}}}} = \frac{{G \cdot {M_{{\rm{Eros}}}}}}{{R_{{\rm{Eros}}}^2}}\] \[\Rightarrow {g_{{\rm{Eros}}}} = \frac{{6,673 \cdot {{10}^{ - 11}}\frac{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}{{{\rm{kg}}{\mkern 1mu}  \cdot {{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} \cdot 6,8 \cdot {{10}^{15}}{\rm{kg}}}}{{{{(8500{\rm{m}})}^2}}} = 6,3 \cdot {{10}^{ - 3}}\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}\]

d)Energieansatz: Kinetische Energie = Gravitationsenergie
\[\frac{1}{2}m \cdot v_{{\rm{Flucht}}}^2 = \frac{{G \cdot m \cdot {M_{{\rm{Eros}}}}}}{{{R_{{\rm{Eros}}}}}} \Rightarrow {v_{{\rm{Flucht}}}} = \sqrt {\frac{{2 \cdot G \cdot {M_{{\rm{Eros}}}}}}{{{R_{{\rm{Eros}}}}}}} \] \[\Rightarrow {v_{{\rm{Flucht}}}} = \sqrt {\frac{{2 \cdot 6,673 \cdot {{10}^{ - 11}}\frac{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}{{{\rm{kg}}{\mkern 1mu}  \cdot {{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} \cdot 6,8 \cdot {{10}^{15}}{\rm{kg}}}}{{8500{\rm{m}}}}}  = 10\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\]
Der Startplatz wird am besten am Äquator des Planeten Eros gewählt, und es wird in Rotationsrichtung gestartet. Auf diese Weise kann die auf Grund der Eigenrotation bereits vorhandene kinetische Energie genutzt werden.

e)Die eingestrahlte Leistung ist gleich der abgestrahlten Leistung!
Für die eingestrahlte Leistung gilt
\[{{L_{{\rm{ein}}}} = 0,77 \cdot R_{{\rm{Eros}}}^2 \cdot \pi  \cdot S \cdot \frac{{a_{{\rm{Erde}}}^2}}{{r_{{\rm{Eros}}{\rm{,Aphel}}}^2}} = 0,77 \cdot R_{{\rm{Eros}}}^2 \cdot \pi  \cdot S \cdot \frac{1}{{{{1,78}^2}}}}\]
für die abgestrahlte Leistung gilt nach dem WIEN-Gesetz
\[{{L_{{\rm{ab}}}} = \sigma  \cdot 4 \cdot \pi  \cdot R_{{\rm{Eros}}}^2 \cdot {T^4}}\]
Daraus ergibt sich \[0{,}77 \cdot S \cdot \frac{{a_{{\rm{Erde}}}^2}}{{r_{{\rm{Eros}}{\rm{,Aphel}}}^2}} = \sigma  \cdot 4 \cdot {T^4}\] \[\Rightarrow T = \sqrt[4]{{\frac{{0,77 \cdot S}}{{4 \cdot {{1,78}^2} \cdot \sigma }}}} \Rightarrow T = \sqrt[4]{{\frac{{0,77 \cdot 1360\frac{{\rm{W}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{2}}}}}}}{{4 \cdot {{1,78}^2} \cdot 5,67 \cdot {{10}^{ - 8}}\frac{{\rm{W}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{2}}} \cdot {{\rm{K}}^{\rm{4}}}}}}}}} = 195\,{\rm{K}}\]

Grundwissen zu dieser Aufgabe

Astronomie

Planetensystem