Hinweis: Bei dieser Lösung von LEIFIphysik handelt es sich nicht um den amtlichen Lösungsvorschlag des bayr. Kultusministeriums.
a)Die Bahnen von Planetoiden sind den Bahnen der Planeten ähnlich, d.h. Sie haben keine allzu große Exzentrizität und kommen damit der Sonne nicht sehr nahe und kreuzen die Bahnen der Planeten kaum. Kometenbahnen zeichnen sich durch sehr hohe Exzentrizität aus, sie kommen der Sonne im Perihel sehr nahe und sind im Aphel sehr weit von der Sonne.
b)\[{r_{{\rm{Aphel}}}} = a \cdot (1 + \varepsilon ) \Leftrightarrow a = \frac{{{r_{{\rm{Aphel}}}}}}{{1 + \varepsilon }} \Rightarrow a = \frac{{1,78{\rm{AE}}}}{{1,223}} = 1{,}46\,{\rm{AE}}\] \[{r_{{\rm{Perihel}}}} = a \cdot (1 - \varepsilon ) \Rightarrow {r_{{\rm{Perihel}}}} = 1,46{\rm{AE}} \cdot 0,777 = 1{,}13\,{\rm{AE}}\]
Nach dem 3. KEPLERschen Gesetz ergibt sich
\[\frac{{{T^2}}}{{{{(1{\rm{a}})}^2}}} = \frac{{{a^3}}}{{{{(1{\rm{AE}})}^3}}} \Rightarrow T = \sqrt {{{1,46}^3}} \cdot {\rm{a}} = 1{,}76\,{\rm{a}}\]
c)\[\frac{{{T^2}}}{{{r_N}^3}} = \frac{{4{\pi ^2}}}{{G \cdot M}} \Leftrightarrow M = \frac{{4{\pi ^2} \cdot r_N^3}}{{G \cdot T_N^2}}\] \[\Rightarrow M = \frac{{4{\pi ^2} \cdot {{(155 \cdot {{10}^3}{\rm{m}})}^3}}}{{6,673 \cdot {{10}^{ - 11}}\frac{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}{{{\rm{kg}} \cdot {{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} \cdot {{\left( {6,6 \cdot 24 \cdot 3600{\rm{s}}} \right)}^2}}} = 6,8 \cdot {10^{15}}{\rm{kg}}\]
Kraftansatz Gravitationsgesetz:
\[m \cdot {g_{{\rm{Eros}}}} = \frac{{G \cdot m \cdot {M_{{\rm{Eros}}}}}}{{R_{{\rm{Eros}}}^2}} \Leftrightarrow {g_{{\rm{Eros}}}} = \frac{{G \cdot {M_{{\rm{Eros}}}}}}{{R_{{\rm{Eros}}}^2}}\] \[\Rightarrow {g_{{\rm{Eros}}}} = \frac{{6,673 \cdot {{10}^{ - 11}}\frac{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}{{{\rm{kg}}{\mkern 1mu} \cdot {{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} \cdot 6,8 \cdot {{10}^{15}}{\rm{kg}}}}{{{{(8500{\rm{m}})}^2}}} = 6,3 \cdot {{10}^{ - 3}}\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}\]
d)Energieansatz: Kinetische Energie = Gravitationsenergie
\[\frac{1}{2}m \cdot v_{{\rm{Flucht}}}^2 = \frac{{G \cdot m \cdot {M_{{\rm{Eros}}}}}}{{{R_{{\rm{Eros}}}}}} \Rightarrow {v_{{\rm{Flucht}}}} = \sqrt {\frac{{2 \cdot G \cdot {M_{{\rm{Eros}}}}}}{{{R_{{\rm{Eros}}}}}}} \] \[\Rightarrow {v_{{\rm{Flucht}}}} = \sqrt {\frac{{2 \cdot 6,673 \cdot {{10}^{ - 11}}\frac{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}{{{\rm{kg}}{\mkern 1mu} \cdot {{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} \cdot 6,8 \cdot {{10}^{15}}{\rm{kg}}}}{{8500{\rm{m}}}}} = 10\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\]
Der Startplatz wird am besten am Äquator des Planeten Eros gewählt, und es wird in Rotationsrichtung gestartet. Auf diese Weise kann die auf Grund der Eigenrotation bereits vorhandene kinetische Energie genutzt werden.
e)Die eingestrahlte Leistung ist gleich der abgestrahlten Leistung!
Für die eingestrahlte Leistung gilt
\[{{L_{{\rm{ein}}}} = 0,77 \cdot R_{{\rm{Eros}}}^2 \cdot \pi \cdot S \cdot \frac{{a_{{\rm{Erde}}}^2}}{{r_{{\rm{Eros}}{\rm{,Aphel}}}^2}} = 0,77 \cdot R_{{\rm{Eros}}}^2 \cdot \pi \cdot S \cdot \frac{1}{{{{1,78}^2}}}}\]
für die abgestrahlte Leistung gilt nach dem WIEN-Gesetz
\[{{L_{{\rm{ab}}}} = \sigma \cdot 4 \cdot \pi \cdot R_{{\rm{Eros}}}^2 \cdot {T^4}}\]
Daraus ergibt sich \[0{,}77 \cdot S \cdot \frac{{a_{{\rm{Erde}}}^2}}{{r_{{\rm{Eros}}{\rm{,Aphel}}}^2}} = \sigma \cdot 4 \cdot {T^4}\] \[\Rightarrow T = \sqrt[4]{{\frac{{0,77 \cdot S}}{{4 \cdot {{1,78}^2} \cdot \sigma }}}} \Rightarrow T = \sqrt[4]{{\frac{{0,77 \cdot 1360\frac{{\rm{W}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{2}}}}}}}{{4 \cdot {{1,78}^2} \cdot 5,67 \cdot {{10}^{ - 8}}\frac{{\rm{W}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{2}}} \cdot {{\rm{K}}^{\rm{4}}}}}}}}} = 195\,{\rm{K}}\]