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Aufgabe

Pluto (Abitur BY 1998 GK A5-1)

Schwierigkeitsgrad: mittelschwere Aufgabe

Der Planet Pluto bewegt sich auf einer elliptischen Bahn um die Sonne, wobei sein Abstand zur Sonne zwischen \(29{,}0\,\rm{AE}\) und \(50{,}0\,\rm{AE}\) schwankt.

a)Berechnen Sie aus diesen Daten die Länge der großen Halbachse \(a\) (in AE) der Bahnellipse und die Umlaufdauer \(T\) des Planeten Pluto. (5BE)
[zur Kontrolle: a = 39,5 AE]

b)Zeichnen Sie unter Verwendung der Ergebnisse von Teilaufgabe a) die Plutobahn, wenn die kleine Halbachse \(38{,}1\,\rm{AE}\) beträgt (1 cm → 5 AE). Tragen Sie auch den Ort der Sonne ein. (5 BE)

c)Pluto, dessen Bahnebene um \(17^{\circ}\) gegen die Ekliptik geneigt ist, erreicht seinen größten Abstand von der Ekliptikebene in der Nähe seines Aphels. Berechnen Sie damit einen ungefähren Wert für Plutos größten Ekliptikabstand in AE. (5 BE)

Im Folgenden soll vereinfacht angenommen werden, dass die Bahnen von Neptun und Pluto in der Ekliptik liegen und Neptun sich näherungsweise auf einer Kreisbahn bewegt.

d)Zeichnen Sie unter diesen Annahmen die Neptunbahn in die Skizze von Teilaufgabe 1 b ein. Ein Teil der Neptunbahn liegt außerhalb der von der Plutobahn eingeschlossenen Fläche. Schätzen Sie unter Verwendung Ihrer Zeichnung ab, für wie viele Jahre sich Neptun bei einem Umlauf dort befindet. (7 BE)

e)Pluto benötigt auf dem kurzen Bahnabschnitt zwischen den Überkreuzungspunkten weniger Zeit als die in Teilaufgabe d) für Neptun gefragte Zeit. Begründen Sie diesen Sachverhalt. Berechnen Sie dazu das Verhältnis der Perihelgeschwindigkeit von Pluto zu der Bahngeschwindigkeit von Neptun. (9 BE)

f)Ähnlich wie für die Erde definiert man für Pluto eine Solarkonstante \(S_{\rm{Pl}}\). Berechnen Sie diese für den Fall, dass Pluto sich im Perihel befindet. Berechnen Sie ferner die Oberflächentemperatur auf Pluto unter den Annahmen, dass 63 % der einfallenden Strahlungsleistung sofort reflektiert werden und sich auf der gesamten Planetenoberfläche die gleiche Temperatur einstellt. (7 BE)

g) Die siderische Umlaufzeit des Plutomondes Charon beträgt \(6{,}4\,\rm{d}\), für den Bahnradius hat man \(2{,}0\cdot 10^4\,\rm{km}\) ermittelt. Berechnen Sie damit die Gesamtmasse des Pluto-Charon-Systems und geben Sie diese in Erdmassen an. (5 BE)

h) In Oberflächennähe von Pluto wurden Methangasmoleküle mit einer mittleren Geschwindigkeit \(v=2{,}6\cdot 10^2\,\rm{\frac{m}{s}}\) nachgewiesen. Nach neueren Messungen hat Pluto eine Masse von \(m=1{,}4\cdot10^{22}\,\rm{kg}\). Zeigen Sie, dass Pluto diese Moleküle gravitativ halten kann. (6 BE)

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a)\[\begin{array}{I}  2 a = r_P + r_A \Rightarrow a = 0,5 \cdot (r_P + r_A) \Rightarrow a = 0,5 \cdot (29,0 AE + 50,0 AE) = 39,5 AE \\
\frac{T_P^2}{T_E^2} = \frac{a_P^3}{a_E^3} \Rightarrow T_P = \sqrt{\frac{a_P^3}{a_E^3}} \cdot T_E \Rightarrow T_P = \sqrt{39,5^3} \cdot 1a = 248 a \end{array}\]

b)Die Skizze ergibt sich zu

c)Für den größten Abstand \(d\) gilt\[ d = r_A \cdot \sin{\alpha}\] \[\Rightarrow d = 50{,}0\,\rm{AE} \cdot \sin{17^\circ} = 14{,}5\,\rm{AE}\]

d)Siehe Skizze von b). Neptun hat einen Kreissektor von \(2\cdot 34^{\circ}\) außerhalb der Plutobahn \[ \Rightarrow t = \frac{2 \cdot 34}{360} \cdot 164{,}8\,\rm{a} = 31\,\rm{a} \]

e)Es gilt \[ v_{Pl, P} = \sqrt{G \cdot M \cdot \left( \frac{2}{r_{Pl, P}} - \frac{1}{a_P} \right) }\quad \text{und} \quad v_N = \sqrt{ G \cdot M \cdot \frac{1}{a_N} }\] \[\Rightarrow \frac{v_{Pl, P}}{v_N} = \sqrt{ \frac{ \frac{2}{r_{Pl, P}} - \frac{1}{a_P} }{ \frac{1}{a_N} } } \Rightarrow \frac{v_{Pl, P}}{v_N} = \sqrt{ \frac{ \frac{2}{29} - \frac{1}{39,5} }{ \frac{1}{30,1} } } = 1{,}15 \] Pluto hat den geringeren Weg (Innenbahn) und die größere Geschwindigkeit und braucht deshalb geringere Zeit als Neptun.

f)Die Solarkonstante am Pluto beträgt im Perihel\[S_{Pl} = \frac{L}{4 \pi r_P^2} \Rightarrow S_{Pl} = \frac{ 3,82 \cdot 10^{26} W }{ 4 \cdot (29 \cdot 1,5 \cdot 10^{11} m)^2 \cdot \pi } = 1{,}6\,\rm{\frac{W}{m^2}}\] Für das Strahlungsgleichgewicht gilt: \[S_{Pl} \cdot R_{Pl}^2 \cdot \pi \cdot (1 - A) = 4 \cdot \pi \cdot R_{Pl}^2 \cdot \sigma \cdot T^4 \Rightarrow T = \sqrt[4]{ \frac{ S_{Pl} \cdot (1 - A) }{ 4 \cdot \sigma } }\Rightarrow T = \sqrt[4]{ \frac{ 1,6 \frac{W}{m^2} \cdot (1-0,63) }{ 4 \cdot 5,67 \cdot 10^{-8} \frac{W}{m^2 K^4} } } = 40\,\rm{K} \]

g)Es gilt\[\frac{T^2}{r^3} = \frac{4 \pi^2}{G \cdot (m_1 + m_2)} \Rightarrow m_{Pl} + m_{Ch} = \frac{ 4 \pi^2 r^3 }{G \cdot T^2} \] \[\Rightarrow m_{Pl} + m_{Ch} = \frac{ 4 \cdot \pi^2 \cdot (2 \cdot 10^7 m)^3 }{ 6,67 \cdot 10^{-11} \frac{m^3}{kg \cdot s^2} \cdot (6,4 \cdot 24 \cdot 3600s)^2 } = 1{,}5 \cdot 10^{22}\,\rm{kg} = 2,5 \cdot 10^{-3} M_E \]

g)Für die Fluchtgeschwindigkeit gilt \[\frac{G \cdot m \cdot M}{r} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2\] \[\Rightarrow v = \sqrt{ \frac{2 \cdot G \cdot M}{r} } \Rightarrow v = \sqrt{ \frac{2 \cdot 6,67 \cdot 10^{-11} \frac{m^3}{kg \cdot s^2} \cdot 1,4 \cdot 10^{22} kg }{0,17 \cdot 6,368 \cdot 10^6 m} } = 1{,}3 \cdot 10^3\,\rm{\frac{m}{s}}\] Die Fluchtgeschwindigkeit ist 5 mal größer als die Geschwindigkeit \(v=2{,}6\cdot 10^2\,\rm{\frac{m}{s}}\) der Methanmoleküle. Somit ist kein Verlassen möglich.

Grundwissen zu dieser Aufgabe

Astronomie

Planetensystem