Astronomie

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Supernova 1987 A (Abitur BY 2000 GK 6-1)

Aufgabe

Im Jahre 1987 wurde eine Supernova (SN 1987 A) beobachtet, die sich in der Großen Magellan'schen Wolke, einer Begleitgalaxie unserer Milchstraße, ereignete. Dies war eine hervorragende Gelegenheit zur Bestimmung der Entfernung dieser Begleitgalaxie. Sanduleak, der Vorläufer-Stern dieser Supernova, war schon vor seiner Explosion von einem Gasring umgeben. Auf Grund von Beobachtungen mit dem Hubble-Space-Teleskop weiß man, dass die elektromagnetische Strahlung der Supernova den Gasring nach \(250\) Tagen erreichte. Den Winkeldurchmesser des Gasrings bestimmte man zu \({1,7''}\).

a)Berechne aus den angegebenen Daten die Entfernung r der Großen Magellan´schen Wolke in Lichtjahren.[zur Kontrolle: \(r = 1{,}7 \cdot {10^5}\,{\rm{Lj}}\)] (5 BE)

b)Sanduleak hatte vor seiner Explosion die \(1{,}1 \cdot {10^5}\)-fache Leuchtkraft der Sonne. Das Intensitätsmaximum der emittierten elektromagnetischen Strahlung lag bei der Wellenlänge \({{\lambda _{{\rm{max}}}} = 181\,{\rm{nm}}}\).
Gib an, in welcher Farbe dieser Stern leuchtete.
Begründe deine Antwort.
Berechne den Radius von Sanduleak in Vielfachen des Sonnenradius. (8 BE)

Bei Supernova-Explosionen werden auch gleichmäßig in alle Richtungen Neutrinos abgestrahlt. Neutrino-Detektoren auf der Erde registrierten von SN 1987 A insgesamt \(20\) Neutrinos, was einer tatsächlichen Einfallsrate von \({1 \cdot {{10}^{14}}}\) Neutrinos pro \({{{\rm{m}}^2}}\) entsprach.

c)Berechne, wie viele Neutrinos bei der Supernova insgesamt entstanden sind. [zur Kontrolle: \({{N_{{\rm{ges}}}} = 3 \cdot {{10}^{57}}}\) ] (4 BE)

d)Für die bei diesem Kollaps freigesetzte Energie werde angenommen, dass sie zu \({\rm{90\% }}\) von Neutrinos mit der durchschnittlichen Energie \({10\,{\rm{MeV}}}\) abgeführt wird.
Berechne, wie lange unsere Sonne strahlen, bis sie die insgesamt freigesetzte Energiemenge auf Grund ihrer jetzigen Leuchtkraft abgegeben hat müsste.
Vergleiche dein Ergebnis mit deiner Vorstellung vom Alter des Universums. (8 BE)

e)Als Überrest einer Supernova-Explosion kann ein Neutronenstern zurückbleiben.
Beschreibe eine Möglichkeit, wie man Neutronensterne am Himmel entdecken kann. (5 BE)

SN 1987 A gehört zur Gruppe der Supernovae vom Typ II. Daneben gibt es Supernovae vom Typ I, die sich dadurch auszeichnen, dass ihre maximalen absoluten Helligkeiten mit einem Wert von \({{M_{\max }} =  - 19{,}1}\) annähernd übereinstimmen.

f)Schildere, wie man solche Supernovae zur Bestimmung der Entfernung von Galaxien benutzen kann. (4 BE)

g)Zu einer eindeutigen Festlegung des Verlaufs der Lichtkurve einer Supernova vom Typ I benötigt das HUBBLE-Space-Teleskop im Maximum dieser Kurve mindestens die scheinbare Helligkeit \(m = 24\).
Berechne, bis zu welcher maximalen Distanz sich Entfernungen von Galaxien, in denen eine Supernova vom Typ I registriert wird, mit Messwerten des HUBBLE-Space-Teleskops bestimmen lassen. (6 BE)

Lösung

Hinweis: Bei dieser Lösung von LEIFIphysik handelt es sich nicht um den amtlichen Lösungsvorschlag des bayr. Kultusministeriums.

a)Radius des Gasrings ergibt sich aus Laufzeitmessung:
\[{r_{{\rm{GR}}}} = 250 \cdot 24 \cdot 3600\,{\rm{s}} \cdot 3{,}0 \cdot {10^8}\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} = 6{,}48 \cdot {10^{15}}\,{\rm{m}}\]
Damit ergibt sich
\[r = \frac{{2 \cdot {r_{{\rm{GR}}}}}}{\alpha } \Rightarrow r = \frac{{2 \cdot 6{,}48 \cdot {{10}^{15}}\,{\rm{m}} \cdot 180 \cdot 3600}}{{1{,}7 \cdot \pi }} = 1{,}57 \cdot {10^{21}}\,{\rm{m}} = 1{,}66 \cdot {10^5}\,{\rm{Lj}}\]

b)Das Intensitätsmaximum von \(181\rm{nm}\) ist im UV-Bereich. Der Stern erscheint blau.
Die Temperatur ergibt sich nach dem WIEN'schen Verschiebungsgesetz mittels
\[{\lambda _{{\rm{max}}}} \cdot T = w \Leftrightarrow T = \frac{w}{{{\lambda _{{\rm{max}}}}}}\] \[\Rightarrow T = \frac{{2{,}9 \cdot {{10}^{ - 3}}\,{\rm{m}} \cdot {\rm{K}}}}{{181 \cdot {{10}^{ - 9}}\,{\rm{m}}}} = 16000\,{\rm{K}}\]
Nach dem Gesetz von STEFAN und BOLTZMANN ergibt sich
\[\sigma  \cdot 4 \cdot r_{{\rm{Sa}}}^2 \cdot \pi  \cdot T_{{\rm{Sa}}}^4 = 1{,}1 \cdot {10^5} \cdot \sigma  \cdot 4 \cdot r_{{\rm{So}}}^2 \cdot \pi  \cdot T_{{\rm{So}}}^4\] \[\Rightarrow {r_{\rm{P}}} = \sqrt {\frac{{1,1 \cdot {{10}^5} \cdot T_{{\rm{So}}}^4}}{{T_{{\rm{Sa}}}^4}}}  \cdot {r_{{\rm{So}}}}\]
Einsetzen der gegebenen Werte liefert
\[{r_{\rm{P}}} = \sqrt {\frac{{1{,}1 \cdot {{10}^5} \cdot {{5800}^4}}}{{{{16000}^4}}}}  \cdot {r_{{\rm{So}}}} = 44 \cdot {r_{{\rm{So}}}}\]

c)Die Zahl der Neutrinos ergibt sich aus \[N_{\rm{Neutr}} = 4 \cdot \pi  \cdot {r^2} \cdot {N_E}\] \[\Rightarrow N_{\rm{Neutr}} = 4 \cdot \pi  \cdot \left(1{,}57 \cdot 10^{21}\,\rm{m}\right)^2 \cdot 1 \cdot {{10}^{14}} \cdot \frac{1}{{{{\rm{m}}^2}}} = 3 \cdot {{10}^{57}}\]

d)Die gesamte abgegebene Energie beträgt \[{E_{{\rm{ges}}}} = \frac{{{N_{{\rm{Neutr}}}} \cdot {E_{{\rm{Neutr}}}}}}{{0,90}}\] \[\Rightarrow {E_{{\rm{ges}}}} = \frac{{3 \cdot {{10}^{57}} \cdot 10 \cdot {{10}^6} \cdot 1,6 \cdot {{10}^{ - 19}}{\rm{J}}}}{{0,90}} = 5{,}3 \cdot {10^{45}}\,{\rm{J}}\]
\[t = \frac{{{E_{{\rm{ges}}}}}}{{{L_{{\rm{Son}}}}}} \Rightarrow t = \frac{{5{,}3 \cdot {{10}^{45}}\,{\rm{J}}}}{{3{,}82 \cdot {{10}^{26}}\,{\rm{W}}}} = 1{,}4 \cdot {10^{19}}\,{\rm{s}} = 4{,}4 \cdot {10^{11}}\,{\rm{a}}\] Für das Weltalter nimmt man Zeiten von etwa \(1{,}5 \cdot {10^{10}}\,{\rm{a}}\) an. Die berechnete Zeit ist \(30\) Mal länger.

e)Neutronensterne sind Pulsare die mit kurzperiodischen (kleiner als 1 Sekunde) Pulsen Strahlung meist im optischen oder Infrarotbereich aussenden. Diese Strahlung, die an den Magnetpolen des Sterns austritt, wird auf Grund der schnellen Rotation der Neutronensterne wie der Strahl eines Leuchtturms über einen Strahlungskegel bewegt und erscheint einem Beobachter im Kegel als pulsierende Strahlung.

f)Man misst die scheinbare Helligkeit mmax dieses Supernovatyps und bestimmt mit dem Entfernungsmodul die Entfernung der die Supernova enthaltenden Galaxie.

g)Mithilfe des Entfernungsmoduls \(m - M = 5 \cdot \lg \left( {\frac{r}{{10\,{\rm{pc}}}}} \right)\) ergibt sich \[r = {10^{\frac{{m - M}}{5}}} \cdot 10\,{\rm{pc}} \Rightarrow r = {10^{\frac{{24 - ( - 19{,}1)}}{5}}} \cdot 10\,{\rm{pc}} = 4{,}2 \cdot {10^9}\,{\rm{pc}} = 1{,}4 \cdot {10^{10}}\,{\rm{Lj}}\]