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Grundwissen

Absolute Sternhelligkeit

Das Wichtigste auf einen Blick

  • Der Abstand eines Sternes von der Erde hat Einfluss auf seine beobachtete Helligkeit.
  • Die absolute Helligkeit \(M\) gibt an, wie hell ein Stern im Normabstand von \(10\,\rm{pc}\) erscheinen würde.
  • Der Entfernungsmodul gibt die Differenz von relativer und absoluter Helligkeit an: \(m - M = 5 \cdot \lg \left( {\frac{r}{{10\,\rm{pc}}}} \right)\)
Aufgaben Aufgaben

Abstand beeinflusst scheinbare Helligkeit

absolute_sternhelligkeit_bild.svg Joachim Herz Stiftung
Abb. 1 Flächen gleicher ankommender Strahlungsleistung in verschiedenen Abständen

Die von einem Stern ausgehende Strahlung durchdringt den Raum ohne absorbiert zu werden und wird in alle Richtungen in gleicher Stärke gestrahlt. Die gesamte Leistung, die durch eine um den Stern gelegte Kugelschale mit beliebigem Radius \(r\) fließt, ist daher konstant. Jedoch verteilt sich die ausgehende Strahlungsleistung mit zunehmender Größe der Kugelschalen auf eine größere Fläche (abgl. Abb.1).
Hieraus folgt, dass die Strahlungsleistung pro \(\rm{m^2}\) im Abstand \(r\) vom Stern die gesamte Strahlungsleistung des Sterns \(L\) dividiert durch die Kugeloberfläche \(A=4\pi\cdot r^2\) einer Kugel mit eben diesem Radius \(r\) ist:\[E = \frac{L}{{4 \cdot {r^2} \cdot \pi }}\]wobei \(E\) die ankommende Strahlungsleistung pro \(\rm{m^2}\) ist und \(L\) die abgestrahlte Leistung (Leuchtkraft) des Sterns ist.

Aus diesem Grund erscheinen zwei Sterne gleicher Leuchtkraft \(L\) für uns Beobachter auf der Erde unterschiedlich hell, wenn die Sterne einen unterschiedlichen Abstand von der Erde besitzen.

Vergleichbarkeit durch Helligkeit im Normabstand

Um Sterne bezüglich ihrer Leuchtkraft \(L\) vergleichen zu können, müssten sie alle gleichen Abstand vom Beobachter haben. Diesen Normabstand hat man mit \(10\,{\rm{pc }}\left( { = 32{,}6\,{\rm{ Lj}}} \right)\) festgelegt.

Absolute Helligkeit

Die (scheinbare) Helligkeit, mit der Sterne in \(10\,{\rm{pc}}\) Entfernung erscheinen würden, heißt absolute Helligkeit \(M\). Die absolute Helligkeit ist ein Maß zum Leuchtkraftvergleich der Sterne.

Umrechnung von scheinbarer in absolute Helligkeit

Es gilt
\[{M_1} - {M_2} = - 2,5 \cdot \lg \frac{{\frac{{{L_1}}}{{4\pi \cdot {{\left( {10\,\rm{pc}} \right)}^2}}}}}{{\frac{{{L_2}}}{{4\pi \cdot {{\left( {10\,\rm{pc}} \right)}^2}}}}} = - 2,5 \cdot \lg \frac{{{L_1}}}{{{L_2}}}\]
und weiter
\[m - M = - 2,5 \cdot \lg \frac{{\frac{L}{{4\pi \cdot {r^2}}}}}{{\frac{L}{{4\pi \cdot {{\left( {10\,\rm{pc}} \right)}^2}}}}} = - 2,5 \cdot \lg {\left( {\frac{{10\,\rm{pc}}}{r}} \right)^2} = + 5 \cdot \lg \left( {\frac{r}{{10\,\rm{pc}}}} \right)\]
Dies ist der sog. Entfernungsmodul.

Entfernungsmodul

Der Entfernungsmodul gibt die Differenz zwischen scheinbarer Helligkeit \(m\) und absoluter Helligkeit \(M\) an, die in einem festen Zusammenhang mit der Entfernung \(r\) des Sterns steht: \[m - M = 5 \cdot \lg \left( {\frac{r}{{10\,\rm{pc}}}} \right)\]

Aufgabe

Die scheinbare Helligkeit der Sonne beträgt \( - 26{,}7\,{\rm{mag}}\). Berechnen Sie daraus ihre absolute Helligkeit.

Lösung

Mit \(r = 1{\rm{AE = 1}} \cdot 1{,}5 \cdot 10^{11}\,\rm{m}\) und \(10\,\rm{pc} = 10 \cdot 3{,}08 \cdot 10^{16}\,\rm{m}\) ergibt sich mit dem Entfernungsmodul\[m - M = 5 \cdot \lg \left( {\frac{r}{{10\,\rm{pc}}}} \right) \Leftrightarrow M = m - 5 \cdot \lg \left( {\frac{r}{{10\,\rm{pc}}}} \right) \Rightarrow M =- 26{,}7 - 5 \cdot \lg \left( {\frac{{1 \cdot 1{,}5 \cdot {{10}^{11}}{\rm{m}}}}{{10 \cdot 3{,}08 \cdot {{10}^{16}}{\rm{m}}}}} \right) = 4{,}9\]

Der Stern Spica in der Jungfrau besitzt eine jährliche Parallaxe von \(0{,}019''\). Seine scheinbare Helligkeit beträgt \( 0{,}98\,{\rm{mag}}\). Berechnen Sie seine absolute Helligkeit.

Lösung

Mit der Entfernungsbestimmung aus der Parallaxe\[\frac{r}{{1\,{\rm{pc}}}} = \frac{{1''}}{p} \Leftrightarrow r = \frac{{1'' \cdot 1{\rm{pc}}}}{p} \Rightarrow r = \frac{{1'' \cdot 1{\rm{pc}}}}{{0,019''}} = 53\,{\rm{pc}}\]ergibt sich mit dem Entfernungsmodul \[m - M = 5 \cdot \lg \left( {\frac{r}{{10\,{\rm{pc}}}}} \right) \Leftrightarrow M = m - 5 \cdot \lg \left( {\frac{r}{{10\,{\rm{pc}}}}} \right) \Rightarrow M = 0,98 - 5 \cdot \lg \left( {\frac{{53\,{\rm{pc}}}}{{10\,{\rm{pc}}}}} \right) =- 2{,}6\]

Für den hellen Schulterstern des Orion "Beteigeuze" kennt man auf Grund seines Spektrums die absolute Helligkeit \(M =-5{,}7\,{\rm{mag}}\), wohingegen seine scheinbare Helligkeit \(m = 0{,}4\,{\rm{mag}}\) beträgt. Berechnen Sie die Entfernung von Beteigeuze.

Lösung

Aus dem Entfernungsmodul ergibt sich\[m - M = 5 \cdot \lg \left( {\frac{r}{{10{\rm{pc}}}}} \right) \Leftrightarrow \frac{{m - M}}{5} = \lg \left( {\frac{r}{{10{\rm{pc}}}}} \right) \Leftrightarrow {10^{\frac{{m - M}}{5}}} = \frac{r}{{10{\rm{pc}}}} \Leftrightarrow r = 10\,{\rm{pc}} \cdot {10^{\frac{{m - M}}{5}}}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert \[r = {10^{\frac{{0{,}4 - ( - 5{,}7)}}{5}}} \cdot 10\,{\rm{pc}} = 166\,{\rm{pc}} = 541\,{\rm{Lj}}\]