Astronomie

Fixsterne

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Exoplanet des Sterns HD209458 (Abitur BY 2001 GK A6-1)

Aufgabe

Im Jahre 1999 konnte durch Beobachtung des Spektrums von HD209458 (im Folgenden kurz "Stern" genannt) die Existenz eines planetaren Begleiters (Exoplanet) nachgewiesen werden. Beide Himmelskörper bewegen sich, wie in der (nicht maßstabsgetreuen) Abbildung 1 dargestellt, auf Kreisbahnen um ihren gemeinsamen Schwerpunkt. Dieser entfernt sich mit der Geschwindigkeit \(v_{\rm{Sp}}\) von uns. Vereinfachend wird angenommen, dass die Bahnebenen von Exoplanet und Erde übereinstimmen. Die Radialgeschwindigkeit \(v_{\rm{r}}\) des Sterns gegenüber unserem Sonnensystem, bereinigt von allen Zusatzeffekten, wurde über mehrere Tage gemessen. Abbildung 2 zeigt die zeitliche Abhängigkeit dieser Radialgeschwindigkeit \(v_{\rm{r}}\).

a)Tragen Sie in einer Skizze für die Sternposition 2 die Lage von Stern, Exoplanet und deren gemeinsamen Schwerpunkt ein. (3 BE)

b)Ermitteln Sie aus Abbildung 2 für jede der Sternpositionen 1 bis 4 die Werte der Radialgeschwindigkeiten \(v_{\rm{r}}\) des Sterns. Begründen Sie, dass der Wert \(v_{\rm{r}}=110\,\rm{\frac{m}{s}}\) in Position 2 erreicht wird. (6 BE)

c)Die Wellenlänge der Hα-Linie im Labor beträgt \(\lambda=656{,}5\,\rm{nm}\). Berechnen Sie die Wellenlängenänderung \(\Delta \lambda\) der Hα-Linie im Spektrum des Sterns gegenüber dem Laborwert, wenn sich der Stern in Position 2 befindet. Beschreiben und erklären Sie die weitere zeitliche Entwicklung der Wellenlängenänderung der Hα-Linie. (8 BE)

d)Bestimmen Sie die Bahngeschwindigkeit des Massenzentrums des Sterns um den gemeinsamen Schwerpunkt des Systems.[zur Kontrolle: v = 80 m/s] (3 BE)

e)Ermitteln Sie aus Abbildung 2 die Umlaufdauer des Sterns und berechnen Sie den Abstand rs zwischen Schwerpunkt und Sternzentrum. [zur Kontrolle: rs = 3,9·103 km] (5 BE)

Untersuchungen zeigen, dass der Stern unserer Sonne sehr ähnlich ist. Für die weiteren Überlegungen können für die Größe, die Masse und die Leuchtkraft die Werte unserer Sonne verwendet werden.

f)Folgern Sie aus der Bewertung des Ergebnisses von Teilaufgabe e), dass die Masse des Exoplaneten sehr klein gegenüber der Sternmasse ist. Verwenden Sie, dass der Bahnradius des Exoplaneten größer als der Sternradius sein muss. (7 BE)

g)Begründen Sie, dass der Bahnradius \(r_{\rm{p}}\) des Exoplaneten um den Stern wesentlich kleiner ist als \(1\,\rm{AE}\). Bestimmen Sie die Bestrahlungsstärke auf dem Exoplaneten für \(r_{\rm{p}}=0{,}05\,\rm{AE}\) und vergleichen Sie diese mit der Solarkonstanten. Welche Folgerungen können aus dem Ergebnis für die Verhältnisse auf dem Exoplaneten gezogen werden? (10 BE)

h)Der Stern hat die scheinbare Helligkeit \(m = 8{,}2\). Berechnen Sie seine Entfernung von der Erde in Lichtjahren. (4 BE)

Lösung

a)Die ausgefüllte Skizze ergibt sich zu

 

b)In den Punkten 1 und 3 ist die Radialgeschwindigkeit \(v_{\rm{r}}=v_{\rm{Sp}}=30\,\rm{\frac{m}{s}}\), da sich das gesamte System von uns wegbewegt, innerhalb des Systems aber nur tangentiale Geschwindigkeiten auftreten.

Im Punkt 2 bewegt sich Stern mit der Bahngeschwindigkeit \(v_{\rm{B}}\) und Schwerpunkt von uns weg, es ist \(v_{\rm{r,2}}=v_{\rm{Sp}}+v_{\rm B}=110\,\rm{\frac{m}{s}}\).

Im Punkt 4 sind Bahngeschwindigkeit \(v_{\rm{B}}\) und Schwerpunktgeschwindigkeit \(v_{\rm{Sp}}\) entgegengesetzt gerichtet, es ist \(v_{\rm{r,4}}=v_{\rm{Sp}}-v_{\rm B}=-50\,\rm{\frac{m}{s}}\).

c)Für die Dopplerverschiebung gilt \(\frac{\Delta \lambda}{\lambda} = \frac{v_r}{c}\)

In Position 2 beträgt die Wellenlängenänderung der Hα-Linie: \(\Delta \lambda = \frac{110\,\rm{\frac{m}{s}}}{3 \cdot 10^8\,\rm{\frac{m}{s}}} \cdot 656{,}5\,\rm{nm} = 2{,}4 \cdot 10^{-13}\,\rm{m}\)

In Position 1 und 3: \(\Delta \lambda = \frac{30\,\rm{\frac{m}{s}}}{3 \cdot 10^8\,\rm{\frac{m}{s}}} \cdot 656{,}5\,\rm{nm} = 0{,}65 \cdot 10^{-13}\,\rm{m}\)

In Position 4: \(\Delta \lambda = \frac{-50\,\rm{\frac{m}{s}}}{3 \cdot 10^8 \,\rm{\frac{m}{s}}} \cdot 656{,}5\,\rm{nm} = -1{,}1 \cdot 10^{-13}\,\rm{m}\)

Die Wellenlängenänderung der Hα-Linie schwankt zwischen den berechneten Werten.

d)Die Bahngeschwindigkeit des Massenzentrums beträgt \(v_{\rm B}=110\,\rm{\frac{m}{s}}-30\,\rm{\frac{m}{s}}=80\,\rm{\frac{m}{s}}\)

e)Die Umlaufdauer ist \(T = 3{,}5\,\rm{d} = 3{,}024\cdot 10^5\,\rm{s}\). Weiter gilt \[v_{\rm{B}} = \frac{2 \cdot r_{\rm{S}} \cdot \pi}{T} \Rightarrow r_{\rm{S}}= \frac{v_{\rm B} \cdot T}{2 \cdot \pi} \] \[\Rightarrow r_{\rm S} = \frac{80\,\rm{\frac{m}{s}} \cdot 3{,}024 \cdot 10^5\,\rm{s}}{2 \cdot \pi} = 3{,}850 \cdot 10^6\,\rm{m}\]

f)Nach den Vorgaben muss der Bahnradius \(r_{\rm P}\) des Exoplaneten größer sein als der Radius unserer Sonne, also \(r_{\rm P}>7\cdot 10^8\,\rm{m}\). Die Schwerpunktbedingung lautet: \( m_P \cdot r_P = m_S \cdot r_S\) \[\Rightarrow \frac{m_P}{m_S} = \frac{r_S}{r_P} < \frac{3{,}85 \cdot 10^6\,\rm{m}}{7 \cdot 10^8\,\rm m} = 5{,}5 \cdot 10^{-3} \]Die Masse des Exoplaneten ist also weniger als ein 500stel der Sternmasse.

g)Da die Umlaufdauer des Exoplaneten mit \(3{,}5\,\rm{d}\) wesentlich kleiner ist als die Umlaufdauer der Erde um die Sonne, die Umlaufdauer aber bei gleichem Zentralgestirn den Bedingungen des 3. Keplerschen Gesetz folgt, muss der Bahnradius des Exoplaneten wesentlich kleiner als der Erdbahnradius (\(=1\,\rm{AE}\)) sein. Würde man die Sternmasse genau kennen, könnte man aus der Umlaufdauer den Bahnradius bestimmen.
Die Bestrahlungsstärke ergibt sich aus: \(S_{\rm P} = \frac{(1\,\rm{AE})^2}{(0{,}05\,\rm{AE})^2} \cdot S_0 = 400\cdot S_0 = 544\,\rm{\frac{kW}{m^2}}\)

Auf dem Exoplaneten wären sehr hohe, für das Leben zu heiße Temperaturen. Man könnte diese Temperaturen mittels Strahlungsgleichgewicht bestimmen.

h)Mithilfe des Entfernungsmoduls \(m - M = 5 \cdot \log{\frac{r}{10\,\rm{pc}}}\) ergibt sich:
\[r = 10^{\frac{m - M}{5}} \cdot 10\,\rm{pc} \Rightarrow r = 10^{\frac{8{,}2 - 4{,}8}{5}} \cdot 10\,\rm{pc} = 48\,\rm{pc} = 156\,\rm{Lj} \]