Astronomie

Fixsterne

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  • Wie wird ein Stern geboren?
  • Was ist ein Roter Riese …
  • … und was ein Weißer Zwerg?
  • Wie entstehen eigentlich Schwarze Löcher?

Beteigeuze (Abitur BY 1998 GK A6-1)

Aufgabe

Entfernung, Größe und Temperatur

Der helle Schulterstern des Orion mit dem Namen Beteigeuze, ist von uns 540 Lichtjahre entfernt. Durchmesser und Helligkeit sind zeitlich nicht konstant. Seine Abstrahlung sei als Schwarzkörperstrahlung angenommen. Er ist einer der wenigen Sterne, dessen Winkeldurchmesser direkt (interferometrisch) gemessen werden konnte.

Im Folgenden werde Beteigeuze stets im Zustand des Helligkeitsmaximums betrachtet, in dem die scheinbare Helligkeit \(m=0{,}4\) und der Winkeldurchmesser \(0{,}054''\) betragen.

a)Warum versagt bei Beteigeuze die Entfernungsbestimmung nach der Methode der trigonometrischen Parallaxe mit erdgebundenen Teleskopen? (2 BE)

b)Berechnen Sie für Beteigeuze die absolute Helligkeit und die Leuchtkraft als Vielfaches der Sonnenleuchtkraft. [zur Kontrolle: \(M=-5{,}7; L=1{,}6\cdot 10^4 L_{\rm {S}}\)] (7 BE)

c)Beteigeuze hat eine geringere Oberflächentemperatur als die Sonne. Dennoch hat Beteigeuze im Vergleich zu ihr eine wesentlich größere Leuchtkraft. Geben Sie hierfür eine Erklärung und berechnen Sie den Radius von Beteigeuze als Vielfaches des Sonnenradius. Bis zu welcher Planetenbahn würde Beteigeuzes Oberfläche fast hinreichen, wenn dieser Stem statt der Sonne in unserem Planetensystem stünde? [zur Kontrolle: \(R=9{,}6\cdot 10^2 R_{\rm{S}}\)] (9 BE)

d)Berechnen Sie die Oberflächentemperatur von Beteigeuze. [zur Kontrolle: \(T=2{,}1\cdot 10^3\,\rm{K}\)] (5 BE)

e)Berechnen Sie die Wellenlänge, bei der Beteigeuze das Maximum der Strahlungsintensität hat. In welchem Spektralbereich liegt dieses Maximum? In welcher Farbe erscheint Beteigeuze deshalb dem Beobachter? (5 BE)

Lösung

a)Ab einer Paralaxe von \(p<0{,}01''\), d.h. ab einer Entfernung von \(100\,\rm{pc} = 326\,\rm{Lj}\) funktioniert die Methode der jährlichen trigonometrischen Pralaxe nicht mehr.

b)Mit dem Entfernungsmodul \(M = m - 5 \cdot lg \frac{r}{10 pc}\) folgt \[M = 0{,}4 - 5 \cdot \frac{540\,\rm{Lj}}{32{,}6\,\rm{Lj}} = -5{,}7\,\rm{mag}\] Für die Leuchtkraft gilt dann \[\frac{L_B}{L_S} = 2,512^{4,8-(-5,7)} \Rightarrow L_B = 1{,}6 \cdot 10^4 \cdot L_S\]

c)Wegen des Stefan-Boltzmann-Gesetzes \(L\sim A\cdot T^4\) muss bei größerem \(L\) und kleinerem \(T\) die Oberfläche \(A\) wesentlich größer als die der Sonne sein.

Der Radius berechnet sich aus \(\tan{\alpha} = \frac{2 \cdot R}{r}\Rightarrow R=0{,}5\cdot \tan{\alpha}\cdot r\) wobei (\(R\): Sternradius und \(r\): Sternentfernung) \[\Rightarrow R = 0{,}5 \cdot \tan {0{,}054''} \cdot 540\cdot 9{,}46\cdot 10^{15}\,\rm{m}\] \[\Rightarrow R = 6{,}7\cdot 10^8\,\rm{km} = 960 R_{S} = 4{,}5\,\rm{AE}\] In unserem Planetensystem würde Beteigeuze fast bis zur Jupiterbahn mit \(5{,}2\,\rm{AE}\) reichen.

d)Für die Oberflächentemperatur gilt:\[ T = \sqrt[4]{\frac{L_B}{\sigma \cdot 4\cdot R^2\cdot \pi}}\] \[\Rightarrow T=\sqrt[4]{\frac{1,6 \cdot 10^4\cdot 3{,}82\cdot 10^{26}\,\rm{W}}{5{,}67\cdot 10^-8 \rm{\frac{W}{m^2\cdot K^4}}\cdot 4\cdot (6{,}7\cdot 10^{11}\,\rm{m})^2\cdot \pi}} = 2090\,\rm{K}\]

e)Die Wellenlänge ergibt sich aus dem Wienschen Verschiebungsgesetz \(\lambda_m = \frac{w}{T}\) \[\Rightarrow \lambda_m = \frac{2{,}9\cdot 10^{-3}\,\rm{m}\cdot \rm{K}}{2100\,\rm{K}} = 1{,}4\cdot 10^{-6}\,\rm{m}\] Die Wellenlänge liegt im Infraroten Bereich, der Stern erscheint daher rötlich.