a)Ab einer Paralaxe von \(p<0{,}01''\), d.h. ab einer Entfernung von \(100\,\rm{pc} = 326\,\rm{Lj}\) funktioniert die Methode der jährlichen trigonometrischen Pralaxe nicht mehr.
b)Mit dem Entfernungsmodul \(M = m - 5 \cdot lg \frac{r}{10 pc}\) folgt \[M = 0{,}4 - 5 \cdot \frac{540\,\rm{Lj}}{32{,}6\,\rm{Lj}} = -5{,}7\,\rm{mag}\] Für die Leuchtkraft gilt dann \[\frac{L_B}{L_S} = 2,512^{4,8-(-5,7)} \Rightarrow L_B = 1{,}6 \cdot 10^4 \cdot L_S\]
c)Wegen des Stefan-Boltzmann-Gesetzes \(L\sim A\cdot T^4\) muss bei größerem \(L\) und kleinerem \(T\) die Oberfläche \(A\) wesentlich größer als die der Sonne sein.
Der Radius berechnet sich aus \(\tan{\alpha} = \frac{2 \cdot R}{r}\Rightarrow R=0{,}5\cdot \tan{\alpha}\cdot r\) wobei (\(R\): Sternradius und \(r\): Sternentfernung) \[\Rightarrow R = 0{,}5 \cdot \tan {0{,}054''} \cdot 540\cdot 9{,}46\cdot 10^{15}\,\rm{m}\] \[\Rightarrow R = 6{,}7\cdot 10^8\,\rm{km} = 960 R_{S} = 4{,}5\,\rm{AE}\] In unserem Planetensystem würde Beteigeuze fast bis zur Jupiterbahn mit \(5{,}2\,\rm{AE}\) reichen.
d)Für die Oberflächentemperatur gilt:\[ T = \sqrt[4]{\frac{L_B}{\sigma \cdot 4\cdot R^2\cdot \pi}}\] \[\Rightarrow T=\sqrt[4]{\frac{1,6 \cdot 10^4\cdot 3{,}82\cdot 10^{26}\,\rm{W}}{5{,}67\cdot 10^-8 \rm{\frac{W}{m^2\cdot K^4}}\cdot 4\cdot (6{,}7\cdot 10^{11}\,\rm{m})^2\cdot \pi}} = 2090\,\rm{K}\]
e)Die Wellenlänge ergibt sich aus dem Wienschen Verschiebungsgesetz \(\lambda_m = \frac{w}{T}\) \[\Rightarrow \lambda_m = \frac{2{,}9\cdot 10^{-3}\,\rm{m}\cdot \rm{K}}{2100\,\rm{K}} = 1{,}4\cdot 10^{-6}\,\rm{m}\] Die Wellenlänge liegt im Infraroten Bereich, der Stern erscheint daher rötlich.
