Ein Lautsprecher L1 und ein Mikrophon M sind wie skizziert im Abstand von \(x = 1,50{\rm{m}}\) gegenübergestellt. Der Lautsprecher L2 schwingt gleichphasig und mit derselben Frequenz wie L1. Er befindet sich zuerst ganz dicht bei L1 und wird dann längs der \(y\)-Achse verschoben. Wenn er den Abstand \(y = 1,32{\rm{m}}\) von L1 erreicht hat, registriert das Mikrophon zum ersten Mal ein Minimum des Empfanges.
a)Berechne ohne Kleinwinkelnäherung die Frequenz, mit der die beiden Lautsprecher schwingen.
b)L2 bleibt \(1,32{\rm{m}}\) von L1 entfernt. Nun wird die Frequenz der beiden Lautsprecher verändert.
Berechne, bei welchen Frequenzen \(f\) mit \(550{\rm{Hz}} < f < 1500{\rm{Hz}}\) das Mikrophon Empfangsmaxima registriert.
c)L1 und L2 bleiben weiter \(1,32{\rm{m}}\) voneinander entfernt. Sie werden gleichphasig mit \(f = 680{\rm{Hz}}\) betrieben. Auf der \(y\)-Achse sollen zwei weitere gleichphasig mit \(f = 680{\rm{Hz}}\) schwingende Lautsprecher L3 und L4 so aufgestellt werden, dass im Mikrophon eine möglichst große Empfangssteigerung auftritt.
Berechne, wo die zusätzlichen Lautsprecher anzubringen sind.
a)Das erste Minimum tritt genau dann auf, wenn der Gangunterschied, d.h. die Differenz der Streckenlängen \(z\) und \(x\), genau die halbe Wellenlänge \(\frac{\lambda }{2}\) ist. Daraus ergibt sich für das erste Minimum die Bedingung \[z - 1,50{\rm{m}} = \frac{\lambda }{2} \Leftrightarrow z = 1,50{\rm{m}} + \frac{\lambda }{2}\] Nach dem Satz des PYTHAGORAS gilt nun \[\begin{eqnarray}{\left( {1,32{\rm{m}}} \right)^2} + {\left( {1,50{\rm{m}}} \right)^2} &=& {z^2}\\{\left( {1,32{\rm{m}}} \right)^2} + {\left( {1,50{\rm{m}}} \right)^2} &=& {\left( {1,50{\rm{m}} + \frac{\lambda }{2}} \right)^2}\end{eqnarray}\] Auflösen die Gleichung nach \(\lambda\) liefert \(\lambda = 1,00{\rm{m}}\).
Dann berechnet man aus der Wellenlänge \(\lambda = 1,00{\rm{m}}\) und der Schallgeschwindigkeit \(c = 340\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\) die Frequenz \(f\) der Schallwellen: \[\lambda = \frac{c}{f} \Leftrightarrow f = \frac{c}{\lambda } \Rightarrow f = \frac{{340\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}}{{1,00{\rm{m}}}} = 340{\rm{Hz}}\]
b)Maxima treten nun genau dann auf, wenn der Gangunterschied, d.h. die Differenz der Streckenlängen \(z\) und \(x\), ein ganzzahliges Vielfaches der Wellenlänge \(\lambda\) ist. Daraus ergibt sich für die erste mögliche Wellenlänge \(\lambda_1\) die Bedingung \[z - 1,50{\rm{m}} = \lambda_1 \Leftrightarrow z = 1,50{\rm{m}} + \lambda_1\] und analoge Überlegungen wie in Teilaufgabe a) liefern \({\lambda _1} = 0,50{\rm{m}}\) bzw. \({f_1} = 680{\rm{Hz}}\). Für die zweite mögliche Wellenlänge \(\lambda_2\) ergibt sich die Bedingung \[z - 1,50{\rm{m}} = 2 \cdot {\lambda _2} \Leftrightarrow z = 1,50{\rm{m}} + 2 \cdot {\lambda _2}\] woraus \({\lambda _2} = 0,25{\rm{m}}\) bzw. \({f_2} = 1360{\rm{Hz}}\) folgt.
c)Die zusätzlichen Lautsprecher müssen so angebracht werden, dass der jeweilige Gangunterschied zum Mikrophon \(2 \cdot \lambda = 2 \cdot 0,50{\rm{m}} = 1,00{\rm{m}}\) bzw. \(3 \cdot \lambda = 3 \cdot 0,50{\rm{m}} = 1,50{\rm{m}}\) beträgt. Daraus ergibt sich für den Gangunterschied \(2 \cdot \lambda \) die Bedingung \[z = 1,50{\rm{m}} + 2 \cdot \lambda = 2,50{\rm{m}}\] und nach dem Satz von PYTHAGORAS \[{y^2} + {\left( {1,50{\rm{m}}} \right)^2} = {\left( {2,50{\rm{m}}} \right)^2}\] Auflösen die Gleichung nach \(y\) liefert \(y = 2,00{\rm{m}}\). Analoge Überlegungen liefern für für den Gangunterschied \(3 \cdot \lambda \) den Wert \(y = 2,60{\rm{m}}\).
