In einer Lautsprecherbox sind im jeweiligen Abstand von \(d = 25\,\rm{cm}\) nebeneinander insgesamt 4 gleiche Einzellautsprecher L1 bis L4 achsenparallel angeordnet. Jeder Lautsprecher darf als punktförmige Schallquelle mit einem räumlichen Abstrahlwinkel von \(180^\circ \) betrachtet werden. Bei allen Versuchen schwingen die Lautsprecher amplituden- und phasengleich sinusförmig, die Schallgeschwindigkeit betrage \(c = 340\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}}\).
Zunächst sind nur zwei benachbarte Lautsprecher angeschlossen. Die Frequenz der Lautsprecher wird langsam von \(300\,\rm{Hz}\) bis auf \(1500\,\rm{Hz}\) erhöht.
a)Berechne, für welche Frequenz sich in P ein Intensitätsminimum ergibt.
Begründe, dass für diese Frequenz nur bei \(l \gg d\) praktisch völlige Auslöschung stattfindet.
Nun werden alle vier Lautsprecher angeschlossen und der Versuch wie unter Teilaufgabe a) durchgeführt.
b)Zeige, dass sich dann in P bei den Frequenzen \(340\,\rm{Hz}\) und \(680\,\rm{Hz}\) Intensitätsminima feststellen lassen.
Mit der Lautsprecherbox der Teilaufgabe b) soll nun eine vertikale Wand beschallt werden.
c)Untersuche, welche höchste Frequenz überall zwischen A und B lückenlos zu hören ist, wenn die Frequenz der Lautsprecher von \(300\,\rm{Hz}\) bis auf \(20\,\rm{kHz}\) erhöht wird.
a)Intensitätsminimum in P, wenn\[d = \Delta s = \frac{\lambda_1}{2} \Leftrightarrow \lambda_1 = 2 \cdot d \Rightarrow \lambda_1 = 0{,}50\,\rm{m}\]und damit\[f_1 = \frac{c}{\lambda_1} \Rightarrow f_1 = \frac{340\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}}}{0{,}50\,\rm{m}} = 680\,\rm{Hz}\]oder wenn\[d = \Delta s = \frac{3 \cdot \lambda_2}{2} \Leftrightarrow \lambda_2 = \frac{2}{3} \cdot d \Rightarrow \lambda_2 = 0{,}167\,\rm{m}\]und dann\[f_2 = \frac{c}{\lambda_2} \Rightarrow f_2 = \frac{340\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}}}{0{,}167\,\rm{m}} = 2{,}04\,\rm{kHz}\]Im vorgegebenen Frequenzbereich tritt ein Minimum nur bei \(680\,\rm{Hz}\) auf. Für eine völlige Auslöschung müssen die in P interferierenden Wellenzüge u.a. die gleiche Amplitude haben. Mit der Entfernung \(I\) vom Erreger nimmt jedoch die Amplitude der Welle ab. Für \(l \gg d\) sind jedoch die Amplituden der beiden Wellenzüge als gleich groß anzunehmen, da der kleine Wegunterschied \(d\) keinen großen Einfluss mehr hat.
● Bei der vorgegebenen Frequenz \({f^*}\) ist \(d = \frac{{{\lambda ^*}}}{4} = 0,25{\rm{m}}\).
● Für den Gangunterschiede, der Wellen die von L1 und L3 ausgehen gilt \(\Delta {s_{13}} = \frac{{{\lambda ^*}}}{2}\), d.h. diese beiden Wellenzüge löschen sich aus.
●Für den Gangunterschiede, der Wellen die von L2 und L4 ausgehen gilt \(\Delta {s_{24}} = \frac{{{\lambda ^*}}}{2}\), d.h. diese beiden Wellenzüge löschen sich aus.
●Bei der vorgegebenen Frequenz \({f'}\) ist \(d = \frac{{{\lambda '}}}{2} = 0,25{\rm{m}}\).
●Für den Gangunterschiede, der Wellen die von L1 und L2 ausgehen gilt \(\Delta {s_{12}} = \frac{{{\lambda '}}}{2}\), d.h. diese beiden Wellenzüge löschen sich aus.
●Für den Gangunterschiede, der Wellen die von L3 und L4 ausgehen gilt \(\Delta {s_{34}} = \frac{{{\lambda '}}}{2}\), d.h. diese beiden Wellenzüge löschen sich aus.
c)Berechnung der Winkelweite \(\alpha \), unter dem der Punkt A von der Symmetrieachse aus erscheint:\[\tan \left( \alpha \right) = \frac{{6,0{\rm{cm}}}}{{60{\rm{cm}}}} = 0,10 \Rightarrow \alpha = 5,7^\circ \]Bedingung dafür, dass eine Frequenz überall zwischen A und B hörbar ist: Das 1. Minimum muss bei dieser Frequenz unter einem Winkel größer als \(5,7^\circ \) auftreten. Aus Teilaufgabe b) lernt man, dass das 1. Minimum bei vier Lautsprechern für \(\Delta s = d = \frac{\lambda }{4}\) auftritt:\[d \cdot \sin \left( {{\alpha _{\min ,1}}} \right) = \frac{\lambda }{4} \Leftrightarrow \lambda = 4 \cdot d \cdot \sin \left( {{\alpha _{\min ,1}}} \right) \Rightarrow \lambda = 4 \cdot 0,25{\rm{m}} \cdot \sin \left( {5,7^\circ } \right) = 0,099{\rm{m}}\]Für die Wellenlänge von ca. \(0,10{\rm{m}}\) oder mehr liegt das 1. Minimum unter dem Winkel \({5,7^\circ }\) oder mehr. Dies heißt (wegen\(f = \frac{c}{\lambda }\)), dass die Frequenz kleiner oder gleich\[\frac{{{\rm{340}}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}}{{0,10{\rm{m}}}} = 3400{\rm{Hz}}\]sein muss.
