Zwei gleichartige, gleichphasig schwingende Ultraschallsender, die sich im Abstand \(b = 3,0{\rm{cm}}\) voneinander befinden, bestrahlen eine \(a = 2,0{\rm{m}}\) entfernte Wand. Der Abstand der beiden symmetrisch zur Achse c liegenden Minima 3. Ordnung beträgt \(d = 2,0{\rm{m}}\).
a)Gilt \(a \gg b\), so kann man näherungsweise davon ausgehen, dass die Wellenstrahlen die von L1 bzw. L2 zum betrachteten Ort an der Wand fast parallel verlaufen (siehe rechtes Bild). Zeigen Sie, dass unter dieser Annahme für den Gangunterschied gilt: \(\Delta s = b \cdot \sin \left( \alpha \right)\).
b)Berechnen Sie die Frequenzen der beiden Sender, wenn die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Wellen \({c = 340\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}\) ist. Hinweis: Berechnen Sie die Winkelweite \({{\alpha _3}}\), unter der das Minimum 3. Ordnung auftritt, aus den oben angegebenen Längen.
c)Untersuchen Sie, wie viele Minima man in dem rechten Halbraum (von den Sendern aus betrachtet) beobachten kann.
d)Untersuchen Sie, wie die Frequenz der Schallgeber abgeändert werden müsste, damit im rechten Halbraum weniger Minima als in Teilaufgabe b) zu beobachten sind.
b)Winkel unter dem das Minimum 3. Ordnung auftritt: \[\tan \left( {{\alpha _3}} \right) = \frac{{\frac{d}{2}}}{a}\; \Rightarrow \tan \left( {{\alpha _3}} \right) = \frac{{1,0{\rm{m}}}}{{2,0{\rm{m}}}} \Rightarrow {\alpha _3} = 27^\circ \] Für das Minimum 3. Ordnung gilt \[{b \cdot \sin \left( {{\alpha _3}} \right) = \left( {2 \cdot 3 - 1} \right) \cdot \frac{\lambda }{2} \Leftrightarrow \lambda = \frac{{2 \cdot b \cdot \sin \left( {{\alpha _3}} \right)}}{5} \Rightarrow \lambda = \frac{{2 \cdot 3,0{\rm{cm}} \cdot 0,45}}{5} = 0,54{\rm{cm}}}\] Für die Frequenz gilt dann \[f = \frac{c}{\lambda } \Rightarrow f = \frac{{340\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}}{{0,0054{\rm{m}}}} \approx 6,3 \cdot {10^4}{\rm{Hz}}\]
c)Destruktive Interferenz tritt auf für \[b \cdot \sin \left( \alpha \right) = \left( {2 \cdot k - 1} \right) \cdot \frac{\lambda }{2} \Leftrightarrow \sin \left( \alpha \right) = \frac{{\left( {2 \cdot k - 1} \right) \cdot \lambda }}{{2 \cdot b}}\;,\;k \in \mathbb{N}\] Da der Sinus stets kleiner oder gleich 1 ist, gilt \[\frac{{\left( {2 \cdot k - 1} \right) \cdot \lambda }}{{2 \cdot b}} \le 1 \Leftrightarrow 2 \cdot k - 1 \le \frac{{2 \cdot b}}{\lambda } \Rightarrow 2 \cdot k \le \frac{{2 \cdot 3,0{\rm{m}}}}{{0,54{\rm{m}}}} + 1 \Rightarrow k \le 6,1\] Man kann also Minima bis zur 6. Ordnung beobachten. Aufgrund der Symmetrie kann man im rechten Halbraum also 12 Minima beobachten.
d)Es gilt \[2 \cdot k - 1 \le \frac{{2 \cdot b}}{\lambda } \Leftrightarrow 2 \cdot k \le \frac{{2 \cdot b}}{\lambda } + 1 \Leftrightarrow k \le \frac{b}{\lambda } + 0,5\] Damit weniger Minima beobachtet werden, müsste \(k\) verkleinert werden. Dies wird durch Vergrößerung der Wellenlänge erreicht. Also muss die Frequenz der Schallgeber vermindert werden.
