Akustische Wellen

Akustik

Akustische Wellen

  • Was versteht man unter Frequenz, was unter Amplitude?
  • Wie beschreibt man Schallwellen mathematisch?
  • Was ist der DOPPLER-Effekt?
  • Wie sorgt Antischall für Ruhe?

Das Wichtigste auf einen Blick

In idealen Flüssigkeiten und Gasen breitet sich Schall nur in Form von Längswellen (Longitudinalwellen) aus. Störungen werden über die Stöße der Teilchen weitergegeben.

In Festkörpern kann sich Schall in Form von Längswellen (Longitudinalwellen) und Querwellen (Transversalwellen) ausbreiten. Störungen werden über die Kopplungskräfte der Teilchen weitergegeben.

Schall kann reflektiert, gebrochen und gebeugt werden. Diese Tatsachen deuten darauf hin, dass sich Schall in Form von Wellen ausbreitet. Ein untrügliches Zeichen für den Wellencharakter des Schalls ist das Auftreten von Interferenzerscheinungen (z.B. stehende Schallwellen oder Zwei-Quellen-Interferenz bei Lautsprechern). Die folgenden Animationen zeigen die möglichen Arten der Ausbreitung von Schallwellen in verschiedenen Medien.

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1 Ausbreitung einer Longitudinalwelle in einem Gas oder einer Flüssigkeit

In idealen Flüssigkeiten und Gasen stoßen die einzelnen Teilchen ständig gegeneinander. Die Anregung durch eine Schallquelle wie z.B. einen Lautsprecher pflanzt sich aufgrund dieser Stöße in die Richtung der Anregung fort (Längs- oder Longitudinalwelle), bis sie schließlich auf einen Schallempfänger wie z.B. unser Ohr trifft.

Da in idealen Flüssigkeiten und Gasen die einzelnen Teilchen frei gegeneinander verschiebbar sind, kann man die Kopplungskräfte zwischen den Teilchen vernachlässigen. Somit ist die Ausbreitung des Schalls in Form von Querwellen (Transversalwellen) in diesen Medien nicht denkbar.

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2 Ausbreitung einer Longitudinalwelle in einem Festkörper
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3 Ausbreitung einer Transversalwelle in einem Festkörper

In der folgenden Animation zeigen wir dir im Detail, wie sich Longitudinal- und Transversalwellen in Festkörpern aufgrund er hier wirkenden Kopplungskräfte zwischen den Teilchen ausbreiten.

4 Die Kopplungskräfte zwischen den Teilchen in einem Festkörper (Kristallgitter als Feder-Kugel-Modell) führen zur Ausbreitung sowohl von Longitudinal- als auch von Transversalwellen

Die Dehnung bzw. Stauchung der Federn im Modell ist ein Maß für die Stärke der Kopplungskräfte zwischen den Teilchen. In der Animation kann man sehen, dass die Kopplungskräfte in Richtung der Longitudinalwelle größer sind als in Richtung der Transversalwelle. Wo größere Kräfte wirken, treten auch größere Beschleunigungen auf. Somit ist auch die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Longitudinalwelle größer als die der Transversalwelle. Diese Tatsache lässt sich auch bei Erdbebenwellen beobachten.

Erzeugt man zwei Töne gleicher Lautstärke (d.h. die Schwingungen haben gleiche Amplitude) mit leicht verschiedenen Frequenzen \({f_1}\) und \({f_2}\) (\({f_1} \approx {f_2}\)), so nimmt unser Ohr nicht die beiden Töne getrennt wahr. Vielmehr hören wir ein An- und Abschwellen eines Tones, dessen Höhe ungefähr mit der Höhe der Ausgangstöne übereinstimmt. Man bezeichnet diese Erscheinung als Schwebung. Die nebenstehende Abbildung zeigt die \(t\)-\(y\)-Diagramme der beiden Ausgangstöne (\(f_1>f_2\) und \({f_1} \approx {f_2}\)). Für die Diagramme wurden \({f_1} = 530\,{\rm{Hz}}\) und \({f_2} = 500\,{\rm{Hz}}\).

Als Überlagerung ergibt sich eine Schwingung (Überlagerungsschwingung), deren Frequenz \({f_{{\rm{R}}}}\) das arithmetische Mittel der beiden Ausgangsfrequenzen ist:\[{f_{{\rm{R}}}} = \frac{{{f_1} + {f_2}}}{2}\]Die Amplitude dieser Überlagerungsschwingung schwankt mit der Frequenz \({f_{{\rm{S}}}}\) (Frequenz der Einhüllenden), für die gilt\[{f_{{\rm{S}}}} = \frac{{{f_1} - {f_2}}}{2}\]Diese Frequenz der Einhüllenden ist in der Regel sehr viel kleiner als die Frequenz der Überlagerungsschwingung \(f_{\rm{R}}\). Als Schwebungsfrequenz bezeichnet man schließlich die Frequenz \({f_{{\rm{Schwebung}}}}\), mit der sich der Betrag der Einhüllenden verändert. Für sie gilt\[{f_{{\rm{Schwebung}}}} = \left| {{f_1} - {f_2}} \right|\]Erklingen nun also zwei Töne, deren Frequenzen sich nur wenig unterscheiden, so ist ein Ton der Frequenz \({f_{{\rm{R}}}}\) zu hören. Dieser Ton ist aber nicht gleich laut, sondern seine Lautstärke schwankt mit der Schwebungsfrequenz \({f_{{\rm{Schwebung}}}}\).

Je näher die beiden Ausgangsfrequenzen beieinander liegen, desto langsamer schwillt die Lautstärke der resultierenden Schwingung an und ab (desto geringer ist die Frequenz der Einhüllenden).

Mathematisch lassen sich die Beziehungen für die resultierende Frequenz und die Schwebungsfrequenz leicht ableiten: Für die resultierende Schwingung gilt: \[{y_{res}}(t) = \hat y \cdot \sin \left( {2 \cdot \pi  \cdot {f_1} \cdot t} \right) + \hat y \cdot \sin \left( {2 \cdot \pi  \cdot {f_2} \cdot t} \right) \quad(1)\]Aus der Trigonometrie kennt man die folgende Beziehung \[\sin \left( \alpha  \right) + \sin \left( \beta  \right) = 2 \cdot \sin \left( {\frac{{\alpha  + \beta }}{2}} \right) \cdot \cos \left( {\frac{{\alpha  - \beta }}{2}} \right) \quad(2)\]Wendet man die Beziehung \((2)\) bei der Gleichung \((1)\) an, so folgt\[\begin{eqnarray}{y_{{\rm{res}}}}(t) &=& \overbrace {2 \cdot \hat y \cdot \cos \left( {2 \cdot \pi  \cdot \underbrace {\frac{{{f_1} - {f_2}}}{2}}_{\;{f_{\rm{S}}}} \cdot t} \right)}^{{\rm{Amplitudenfaktor}}} \cdot \sin \left( {2 \cdot \pi  \cdot \underbrace {\frac{{{f_1} + {f_2}}}{2}}_{{f_{\rm{R}}}} \cdot t} \right)\\ &=& \overbrace {2 \cdot \hat y \cdot \cos \left( {\pi  \cdot {f_{{\rm{Schwebung}}}} \cdot t} \right)}^{{\rm{Amplitudenfaktor}}} \cdot \sin \left( {2 \cdot \pi  \cdot \underbrace {\frac{{{f_1} + {f_2}}}{2}}_{{f_{\rm{R}}}} \cdot t} \right)\end{eqnarray}\]

Beispiele für Anwendungen

Tiefe Töne sind über große Entfernungen weiter hörbar als hohe Töne. Deswegen versucht man Schiffsbrüchigen eine Pfeife mitzugeben, die möglichst tiefe Töne von sich gibt. Wollte man einen tiefen Ton direkt erzeugen, würde die Pfeife (vgl. Orgelpfeife) sehr unhandlich groß. Durch Überlagerung zweier Töne gelingt es eine niederfrequente Schwingung mit der Schwebungsfrequenz zu erzeugen.

Beim Stimmen einer Gitarre kann man die Schwebung ausnutzen (vgl. die entsprechende Musteraufgabe).

Hinweise

Eine schöne Simulation zur Schwebung von Walter Fendt finden Sie auf der folgenden Seite.

Ein Video-Clip zur Schwebung wird von der Uni Heidelberg angeboten.

Unter der Adresse http://www.schule-bw.de/unterricht/faecher/physik/online_material/akustik/ueberlagerung/schwebung.htm bietet der Landesbildungsserver Baden-Württemberg Hörbeispiele zur Schwebung.

©  W. Fendt 1998
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1 DOPPLER-Effekt am Beispiel eines vorbeifahrenden Notarztwagens

Diese Simulation zeigt einen Notarztwagen, der mit eingeschaltetem Martinshorn an einer Person vorbeifährt, die an der Straße steht. Solange das Fahrzeug näherkommt, nimmt die Person einen höheren Ton wahr (entsprechend einer höheren Frequenz); später, wenn sich das Fahrzeug wieder entfernt, hört sie einen niedrigeren Ton (niedrigere Frequenz).

Bemerkung: In einer Hinsicht ist diese App ausgesprochen unrealistisch: Damit der DOPPLER-Effekt deutlich zu erkennen ist, wurde eine extrem hohe Fahrzeuggeschwindigkeit (60 % der Schallgeschwindigkeit) vorausgesetzt.

Wir danken Herrn Walter Fendt für die Erlaubnis, diese HTML5/Javascript-Animation auf LEIFIphysik zu nutzen.

Bestimme durch Stoppen mit der Stoppuhr den zeitlichen Abstand zwischen zwei Wellenfronten beim sich nähernden und beim sich entfernenden Krankenwagen.

Errechne daraus und aus der Schallgeschwindigkeit \({c_{Schall}} = 334\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\) jeweils die (unrealistische) Frequenz.

Du hast sicher schon erlebt, dass sich eine Schallquelle auf dich zu bewegt hat (z.B. Krankenauto mit Sirene), bzw. dass du dich mit höherer Geschwindigkeit einer ruhenden Schallquelle genähert hast. In beiden Fällen tritt eine Frequenzänderung des gehörten Tones auf.

Dieses Phänomen, das in ähnlicher Form auch bei bewegten Lichtquellen auftritt, wurde von dem österreichischen Physiker Christian DOPPLER (1803 – 1853) geklärt. Man nennt dieses Phänomen seither den DOPPLER-Effekt.

Noch etwas detaillierter kannst du dir den DOPPLER-Effekt anhand der folgenden Simulation studieren. Die Schallgeschwindigkeit beträgt hier \(300\rm{\frac{m}{s}}\). Du kannst hierbei einige der relevanten Parameter variieren und die sich dadurch ergebenden Änderungen einprägen. Insbesondere können auch die Fälle untersucht werden, bei denen die Quellengeschwindigkeit größer als die Schallgeschwindigkeit ist (Überschallgeschwindigkeit).

SenderEmpfänger
Anfangsort
xS,0
Geschwindigkeit
vS
Frequenz
fS
Anfangsort
xE,0
Geschwindigkeit
vE
Frequenz
fE
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2 DOPPLER-Effekt; verändert werden können die Frequenz des Sendesignals sowie Anfangsort und Geschwindigkeit von Sender und Empfänger

Bei der Analyse des DOPPLER-Effektes muss man zwei verschiedene Fälle unterscheiden.

1. Fall: Die Schallquelle bewegt sich – der Beobachter ruht (in Bezug zum Medium Luft)

Der höhere Ton bei der Annäherung der Quelle ist dadurch zu erklären, dass die z.B. die Wellenberge in kürzeren Abständen beim Beobachter eintreffen, d.h. die Wellenlänge wird kleiner und bei fester Schallgeschwindigkeit \(c\) damit die gehörte Frequenz \(f’\) (zur Erinnerung: \(c = f’ \cdot \lambda\) ) größer.

Bei \(t=0\) sende die Quelle gerade einen Wellenberg (rot) ab. Zur Zeit \(t=T\) hat sich dieser Wellenberg um die Strecke \(\lambda \) ausgebreitet. Die Quelle (jetzt grün) hat sich in dieser Zeit um die Strecke \(v \cdot t\) bewegt und sendet gerade wieder einen Wellenberg (grün) aus.

Für die vom Beobachter registrierte Wellenlänge \(\lambda '\) gilt: \[\lambda ' = \lambda  - v \cdot T\] Die vom Beobachter registrierte Frequenz \(f'\) gilt dann \[f' = \frac{c}{{\lambda '}} = \frac{c}{{\lambda  - v \cdot T}} = \frac{c}{{\frac{c}{f} - v \cdot T}}\] Erweitern des Bruches mit \(f\) ergibt \[f' = f \cdot \frac{c}{{c - v \cdot T \cdot f}} = f \cdot \frac{c}{{c - v \cdot T \cdot \frac{1}{T}}} = f \cdot \frac{c}{{c - v}}\quad(1)\] Bewegt sich die Quelle vom Beobachter weg, so ist in obiger Formel \(v\) durch \((-v)\) zu ersetzen und es ergibt sich \[f' = f \cdot \frac{c}{{c + v}}(2)\] Die Frequenz wird also – wie die Erfahrung auch zeigt – kleiner.

Wie Sie in dem Applet beobachten konnten, kommt es für \(v > c\) zu einer Verdichtung der Wellenfronten. Die Einhüllende der Wellenberge wird als Machscher Kegel bezeichnet. An der Mantelfläche des Kegels summieren sich die Luftverdichtungen, es entsteht ein besonders starker Überdruck, der sich für den Beobachter in einem explosionsartigen Knall äußert. Ein mit Überschall fliegendes Flugzeug "schleppt" seinen "Düsenknall" auf dem Mantel des Machschen Kegels fortwährend hinter sich her.

Für den Öffnungswinkel des Machschen Kegels gilt \[\sin \left( {\frac{\alpha }{2}} \right) = \frac{{c \cdot t}}{{v \cdot t}} = \frac{c}{v}\]

von Ensign John Gay, U.S. Navy [Public domain],
via Wikimedia Commons

Die Abbildung zeigt einen Düsenjet der US-Navy, der gerade die Schallmauer durchbricht. Auf Grund günstiger atmosphärischer Bedingungen ist die Hüllkurve des machschen Kegels zu beobachten.

2. Fall: Die Schallquelle ruht (in Bezug zum Medium Luft) – der Beobachter bewegt sich

In diesem Fall ändert sich die Wellenlänge \(\lambda \) nicht. Die Frequenzverschiebung kommt nun dadurch zustande, dass sich die Relativgeschwindigkeit \( v_\text{rel} \) zwischen Schallwelle und Beobachter, die im ruhenden Fall die Schallgeschwindigkeit \( c \) ist, durch die Bewegung des Beobachters ändert.

a) Der Beobachter bewegt sich mit der Geschwindigkeit \( v \) auf die Quelle zu: \[{v_\text{rel}} = c + v \Rightarrow f' = \frac{{c + v}}{\lambda } = \frac{{c + v}}{{\frac{c}{f}}} = f \cdot \frac{{c + v}}{c}(3)\] Beachten Sie, dass die Formel \((3)\) nicht mit der Formel \((2)\) übereinstimmt.

b) Der Beobachter bewegt sich mit der Geschwindigkeit \( v \) von der Quelle weg: \[{v_\text{rel}} = c - v \Rightarrow f' = \frac{{c - v}}{\lambda } = \frac{{c - v}}{{\frac{c}{f}}} = f \cdot \frac{{c - v}}{c}(4)\] Beachten Sie, dass die Formel \((4)\) nicht mit der Formel \((1)\) übereinstimmt.

Zusammenfassung

Die Schallquelle bewegt sich – der Beobachter ruht (in Bezug zum Medium Luft)

Durch die Relativbewegung der Schallquelle zum Medium ändert sich für den Beobachter die Wellenlänge \(\lambda \) der Schallwelle.

Bewegt sich die Quelle auf den Beobachter zu, so steigt die Frequenz beim Beobachter gemäß \(f' = f \cdot \frac{c}{{c - v}} \quad(1)\).

Bewegt sich die Quelle vom Beobachter weg, so sinkt die Frequenz beim Beobachter gemäß \(f' = f \cdot \frac{c}{{c + v}} \quad(2)\).

Die Schallquelle ruht – der Beobachter bewegt sich (in Bezug zum Medium Luft)

Durch die Relativbewegung des Beobachters zum Medium ändert sich für den Beobachter die Ausbreitungsgeschwindigkeit \(c\) der Schallwelle.

Bewegt sich der Beobachter auf die Quelle zu, steigt die Frequenz beim Beobachter gemäß \(f' = f \cdot \frac{{c + v}}{c} \quad(3)\).

Bewegt sich der Beobachter von der Quelle weg, sinkt die Frequenz beim Beobachter gemäß \(f' = f \cdot \frac{{c - v}}{c} \quad(4)\).

In der graphischen Darstellung ist die Frequenz \(f’\) in Abhängigkeit vom Quotienten \(\frac{v}{c}\) der Geschwindigkeit \(v\) und der Schallgeschwindigkeit \(c\) für die vier verschiedenen Fälle dargestellt.

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