Akustische Wellen

Akustik

Akustische Wellen

  • Was versteht man unter Frequenz, was unter Amplitude?
  • Wie beschreibt man Schallwellen mathematisch?
  • Was ist der DOPPLER-Effekt?
  • Wie sorgt Antischall für Ruhe?

Das Wichtigste auf einen Blick

In idealen Flüssigkeiten und Gasen breitet sich Schall nur in Form von Längswellen (Longitudinalwellen) aus. Störungen werden über die Stöße der Teilchen weitergegeben.

In Festkörpern kann sich Schall in Form von Längswellen (Longitudinalwellen) und Querwellen (Transversalwellen) ausbreiten. Störungen werden über die Kopplungskräfte der Teilchen weitergegeben.

Schall kann reflektiert, gebrochen und gebeugt werden. Diese Tatsachen deuten darauf hin, dass sich Schall in Form von Wellen ausbreitet. Ein untrügliches Zeichen für den Wellencharakter des Schalls ist das Auftreten von Interferenzerscheinungen (z.B. stehende Schallwellen oder Zwei-Quellen-Interferenz bei Lautsprechern). Die folgenden Animationen zeigen die möglichen Arten der Ausbreitung von Schallwellen in verschiedenen Medien.

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1 Ausbreitung einer Longitudinalwelle in einem Gas oder einer Flüssigkeit

In idealen Flüssigkeiten und Gasen stoßen die einzelnen Teilchen ständig gegeneinander. Die Anregung durch eine Schallquelle wie z.B. einen Lautsprecher pflanzt sich aufgrund dieser Stöße in die Richtung der Anregung fort (Längs- oder Longitudinalwelle), bis sie schließlich auf einen Schallempfänger wie z.B. unser Ohr trifft.

Da in idealen Flüssigkeiten und Gasen die einzelnen Teilchen frei gegeneinander verschiebbar sind, kann man die Kopplungskräfte zwischen den Teilchen vernachlässigen. Somit ist die Ausbreitung des Schalls in Form von Querwellen (Transversalwellen) in diesen Medien nicht denkbar.

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2 Ausbreitung einer Longitudinalwelle in einem Festkörper
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3 Ausbreitung einer Transversalwelle in einem Festkörper

In der folgenden Animation zeigen wir dir im Detail, wie sich Longitudinal- und Transversalwellen in Festkörpern aufgrund er hier wirkenden Kopplungskräfte zwischen den Teilchen ausbreiten.

4 Die Kopplungskräfte zwischen den Teilchen in einem Festkörper (Kristallgitter als Feder-Kugel-Modell) führen zur Ausbreitung sowohl von Longitudinal- als auch von Transversalwellen

Die Dehnung bzw. Stauchung der Federn im Modell ist ein Maß für die Stärke der Kopplungskräfte zwischen den Teilchen. In der Animation kann man sehen, dass die Kopplungskräfte in Richtung der Longitudinalwelle größer sind als in Richtung der Transversalwelle. Wo größere Kräfte wirken, treten auch größere Beschleunigungen auf. Somit ist auch die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Longitudinalwelle größer als die der Transversalwelle. Diese Tatsache lässt sich auch bei Erdbebenwellen beobachten.

©  W. Fendt 1998
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1 DOPPLER-Effekt am Beispiel eines vorbeifahrenden Notarztwagens

Diese Simulation zeigt einen Notarztwagen, der mit eingeschaltetem Martinshorn an einer Person vorbeifährt, die an der Straße steht. Solange das Fahrzeug näherkommt, nimmt die Person einen höheren Ton wahr (entsprechend einer höheren Frequenz); später, wenn sich das Fahrzeug wieder entfernt, hört sie einen niedrigeren Ton (niedrigere Frequenz).

Bemerkung: In einer Hinsicht ist diese App ausgesprochen unrealistisch: Damit der DOPPLER-Effekt deutlich zu erkennen ist, wurde eine extrem hohe Fahrzeuggeschwindigkeit (60 % der Schallgeschwindigkeit) vorausgesetzt.

Wir danken Herrn Walter Fendt für die Erlaubnis, diese HTML5/Javascript-Animation auf LEIFIphysik zu nutzen.

Bestimme durch Stoppen mit der Stoppuhr den zeitlichen Abstand zwischen zwei Wellenfronten beim sich nähernden und beim sich entfernenden Krankenwagen.

Errechne daraus und aus der Schallgeschwindigkeit \({c_{Schall}} = 334\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\) jeweils die (unrealistische) Frequenz.

Du hast sicher schon erlebt, dass sich eine Schallquelle auf dich zu bewegt hat (z.B. Krankenauto mit Sirene), bzw. dass du dich mit höherer Geschwindigkeit einer ruhenden Schallquelle genähert hast. In beiden Fällen tritt eine Frequenzänderung des gehörten Tones auf.

Dieses Phänomen, das in ähnlicher Form auch bei bewegten Lichtquellen auftritt, wurde von dem österreichischen Physiker Christian DOPPLER (1803 – 1853) geklärt. Man nennt dieses Phänomen seither den DOPPLER-Effekt.

Noch etwas detaillierter kannst du dir den DOPPLER-Effekt anhand der folgenden Simulation studieren. Die Schallgeschwindigkeit beträgt hier \(300\rm{\frac{m}{s}}\). Du kannst hierbei einige der relevanten Parameter variieren und die sich dadurch ergebenden Änderungen einprägen. Insbesondere können auch die Fälle untersucht werden, bei denen die Quellengeschwindigkeit größer als die Schallgeschwindigkeit ist (Überschallgeschwindigkeit).

SenderEmpfänger
Anfangsort
xS,0
Geschwindigkeit
vS
Frequenz
fS
Anfangsort
xE,0
Geschwindigkeit
vE
Frequenz
fE
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2 DOPPLER-Effekt; verändert werden können die Frequenz des Sendesignals sowie Anfangsort und Geschwindigkeit von Sender und Empfänger

Bei der Analyse des DOPPLER-Effektes muss man zwei verschiedene Fälle unterscheiden.

1. Fall: Die Schallquelle bewegt sich – der Beobachter ruht (in Bezug zum Medium Luft)

Der höhere Ton bei der Annäherung der Quelle ist dadurch zu erklären, dass die z.B. die Wellenberge in kürzeren Abständen beim Beobachter eintreffen, d.h. die Wellenlänge wird kleiner und bei fester Schallgeschwindigkeit \(c\) damit die gehörte Frequenz \(f’\) (zur Erinnerung: \(c = f’ \cdot \lambda\) ) größer.

Bei \(t=0\) sende die Quelle gerade einen Wellenberg (rot) ab. Zur Zeit \(t=T\) hat sich dieser Wellenberg um die Strecke \(\lambda \) ausgebreitet. Die Quelle (jetzt grün) hat sich in dieser Zeit um die Strecke \(v \cdot t\) bewegt und sendet gerade wieder einen Wellenberg (grün) aus.

Für die vom Beobachter registrierte Wellenlänge \(\lambda '\) gilt: \[\lambda ' = \lambda  - v \cdot T\] Die vom Beobachter registrierte Frequenz \(f'\) gilt dann \[f' = \frac{c}{{\lambda '}} = \frac{c}{{\lambda  - v \cdot T}} = \frac{c}{{\frac{c}{f} - v \cdot T}}\] Erweitern des Bruches mit \(f\) ergibt \[f' = f \cdot \frac{c}{{c - v \cdot T \cdot f}} = f \cdot \frac{c}{{c - v \cdot T \cdot \frac{1}{T}}} = f \cdot \frac{c}{{c - v}}\quad(1)\] Bewegt sich die Quelle vom Beobachter weg, so ist in obiger Formel \(v\) durch \((-v)\) zu ersetzen und es ergibt sich \[f' = f \cdot \frac{c}{{c + v}}(2)\] Die Frequenz wird also – wie die Erfahrung auch zeigt – kleiner.

Wie Sie in dem Applet beobachten konnten, kommt es für \(v > c\) zu einer Verdichtung der Wellenfronten. Die Einhüllende der Wellenberge wird als Machscher Kegel bezeichnet. An der Mantelfläche des Kegels summieren sich die Luftverdichtungen, es entsteht ein besonders starker Überdruck, der sich für den Beobachter in einem explosionsartigen Knall äußert. Ein mit Überschall fliegendes Flugzeug "schleppt" seinen "Düsenknall" auf dem Mantel des Machschen Kegels fortwährend hinter sich her.

Für den Öffnungswinkel des Machschen Kegels gilt \[\sin \left( {\frac{\alpha }{2}} \right) = \frac{{c \cdot t}}{{v \cdot t}} = \frac{c}{v}\]

von Ensign John Gay, U.S. Navy [Public domain],
via Wikimedia Commons

Die Abbildung zeigt einen Düsenjet der US-Navy, der gerade die Schallmauer durchbricht. Auf Grund günstiger atmosphärischer Bedingungen ist die Hüllkurve des machschen Kegels zu beobachten.

2. Fall: Die Schallquelle ruht (in Bezug zum Medium Luft) – der Beobachter bewegt sich

In diesem Fall ändert sich die Wellenlänge \(\lambda \) nicht. Die Frequenzverschiebung kommt nun dadurch zustande, dass sich die Relativgeschwindigkeit \( v_\text{rel} \) zwischen Schallwelle und Beobachter, die im ruhenden Fall die Schallgeschwindigkeit \( c \) ist, durch die Bewegung des Beobachters ändert.

a) Der Beobachter bewegt sich mit der Geschwindigkeit \( v \) auf die Quelle zu: \[{v_\text{rel}} = c + v \Rightarrow f' = \frac{{c + v}}{\lambda } = \frac{{c + v}}{{\frac{c}{f}}} = f \cdot \frac{{c + v}}{c}(3)\] Beachten Sie, dass die Formel \((3)\) nicht mit der Formel \((2)\) übereinstimmt.

b) Der Beobachter bewegt sich mit der Geschwindigkeit \( v \) von der Quelle weg: \[{v_\text{rel}} = c - v \Rightarrow f' = \frac{{c - v}}{\lambda } = \frac{{c - v}}{{\frac{c}{f}}} = f \cdot \frac{{c - v}}{c}(4)\] Beachten Sie, dass die Formel \((4)\) nicht mit der Formel \((1)\) übereinstimmt.

Zusammenfassung

Diagramm Frequenzen bei bewegter Quelle und bewegtem Beobachter
Frequenzen bei bewegter Quelle und/oder bewegtem Beobachter

Die Schallquelle bewegt sich – der Beobachter ruht (in Bezug zum Medium Luft)

Durch die Relativbewegung der Schallquelle zum Medium ändert sich für den Beobachter die Wellenlänge \(\lambda \) der Schallwelle.

Bewegt sich die Quelle auf den Beobachter zu, so steigt die Frequenz beim Beobachter gemäß \(f' = f \cdot \frac{c}{{c - v}} \quad(1)\).

Bewegt sich die Quelle vom Beobachter weg, so sinkt die Frequenz beim Beobachter gemäß \(f' = f \cdot \frac{c}{{c + v}} \quad(2)\).

Die Schallquelle ruht – der Beobachter bewegt sich (in Bezug zum Medium Luft)

Durch die Relativbewegung des Beobachters zum Medium ändert sich für den Beobachter die Ausbreitungsgeschwindigkeit \(c\) der Schallwelle.

Bewegt sich der Beobachter auf die Quelle zu, steigt die Frequenz beim Beobachter gemäß \(f' = f \cdot \frac{{c + v}}{c} \quad(3)\).

Bewegt sich der Beobachter von der Quelle weg, sinkt die Frequenz beim Beobachter gemäß \(f' = f \cdot \frac{{c - v}}{c} \quad(4)\).

In der graphischen Darstellung ist die Frequenz \(f’\) in Abhängigkeit vom Quotienten \(\frac{v}{c}\) der Geschwindigkeit \(v\) und der Schallgeschwindigkeit \(c\) für die vier verschiedenen Fälle dargestellt.

Akustische Schwebung in Wellendarstellung
Abb.
1
Akustische Schwebung in Wellendarstellung

Erzeugt man zwei Töne gleicher Lautstärke (d.h. die Schwingungen haben gleiche Amplitude) mit leicht verschiedenen Frequenzen \({f_1}\) und \({f_2}\) (\({f_1} \approx {f_2}\)), so nimmt unser Ohr nicht die beiden Töne getrennt wahr. Vielmehr hören wir ein An- und Abschwellen eines Tones, dessen Höhe ungefähr mit der Höhe der Ausgangstöne übereinstimmt. Man bezeichnet diese Erscheinung als Schwebung. Die nebenstehende Abbildung zeigt die \(t\)-\(y\)-Diagramme der beiden Ausgangstöne (\(f_1>f_2\) und \({f_1} \approx {f_2}\)). Für die Diagramme wurden \({f_1} = 530\,{\rm{Hz}}\) und \({f_2} = 500\,{\rm{Hz}}\).

Als Überlagerung ergibt sich eine Schwingung (Überlagerungsschwingung), deren Frequenz \({f_{{\rm{R}}}}\) das arithmetische Mittel der beiden Ausgangsfrequenzen ist:\[{f_{{\rm{R}}}} = \frac{{{f_1} + {f_2}}}{2}\]Die Amplitude dieser Überlagerungsschwingung schwankt mit der Frequenz \({f_{{\rm{S}}}}\) (Frequenz der Einhüllenden), für die gilt\[{f_{{\rm{S}}}} = \frac{{{f_1} - {f_2}}}{2}\]Diese Frequenz der Einhüllenden ist in der Regel sehr viel kleiner als die Frequenz der Überlagerungsschwingung \(f_{\rm{R}}\). Als Schwebungsfrequenz bezeichnet man schließlich die Frequenz \({f_{{\rm{Schwebung}}}}\), mit der sich der Betrag der Einhüllenden verändert. Für sie gilt\[{f_{{\rm{Schwebung}}}} = \left| {{f_1} - {f_2}} \right|\]Erklingen nun also zwei Töne, deren Frequenzen sich nur wenig unterscheiden, so ist ein Ton der Frequenz \({f_{{\rm{R}}}}\) zu hören. Dieser Ton ist aber nicht gleich laut, sondern seine Lautstärke schwankt mit der Schwebungsfrequenz \({f_{{\rm{Schwebung}}}}\).

Je näher die beiden Ausgangsfrequenzen beieinander liegen, desto langsamer schwillt die Lautstärke der resultierenden Schwingung an und ab (desto geringer ist die Frequenz der Einhüllenden).

Mathematisch lassen sich die Beziehungen für die resultierende Frequenz und die Schwebungsfrequenz leicht ableiten: Für die resultierende Schwingung gilt: \[{y_{res}}(t) = \hat y \cdot \sin \left( {2 \cdot \pi  \cdot {f_1} \cdot t} \right) + \hat y \cdot \sin \left( {2 \cdot \pi  \cdot {f_2} \cdot t} \right) \quad(1)\]Aus der Trigonometrie kennt man die folgende Beziehung \[\sin \left( \alpha  \right) + \sin \left( \beta  \right) = 2 \cdot \sin \left( {\frac{{\alpha  + \beta }}{2}} \right) \cdot \cos \left( {\frac{{\alpha  - \beta }}{2}} \right) \quad(2)\]Wendet man die Beziehung \((2)\) bei der Gleichung \((1)\) an, so folgt\[\begin{eqnarray}{y_{{\rm{res}}}}(t) &=& \overbrace {2 \cdot \hat y \cdot \cos \left( {2 \cdot \pi  \cdot \underbrace {\frac{{{f_1} - {f_2}}}{2}}_{\;{f_{\rm{S}}}} \cdot t} \right)}^{{\rm{Amplitudenfaktor}}} \cdot \sin \left( {2 \cdot \pi  \cdot \underbrace {\frac{{{f_1} + {f_2}}}{2}}_{{f_{\rm{R}}}} \cdot t} \right)\\ &=& \overbrace {2 \cdot \hat y \cdot \cos \left( {\pi  \cdot {f_{{\rm{Schwebung}}}} \cdot t} \right)}^{{\rm{Amplitudenfaktor}}} \cdot \sin \left( {2 \cdot \pi  \cdot \underbrace {\frac{{{f_1} + {f_2}}}{2}}_{{f_{\rm{R}}}} \cdot t} \right)\end{eqnarray}\]

Hörbeispiele

So hört sich der Ton mit \(f_1=530\,\rm{Hz}\) an:

So hört sich der Ton mit \(f_2=500\,\rm{Hz}\) an:

So hört sich die sich ergebende Schwebung mit Ergeb Ton mit \(f_{\rm{Schwebung}}=30\,\rm{Hz}\) an:

Hinweis: Mit dem Computer oder zwei Smartphones kannst du selbst schnell und einfach beliebige Schwebungen erzeugen. Dazu musst du lediglich zwei Sinustöne erzeugen, deren Frequenz sich nicht zu stark voneinander unterscheidet. Am PC geht dies einfach mit Audacity, am Smartphone funktioniert die App phyphox sehr gut. 

Anwendungen

Tiefe Töne sind über große Entfernungen weiter hörbar als hohe Töne. Deswegen versucht man Schiffsbrüchigen eine Pfeife mitzugeben, die möglichst tiefe Töne von sich gibt. Wollte man einen tiefen Ton direkt erzeugen, würde die Pfeife (vgl. Orgelpfeife) sehr unhandlich groß. Durch Überlagerung zweier Töne gelingt es eine niederfrequente Schwingung mit der Schwebungsfrequenz zu erzeugen.

Beim Stimmen einer Gitarre kann man die Schwebung ausnutzen (vgl. die entsprechende Musteraufgabe).

Das Wichtigste auf einen Blick

  • Konstruktive Interferenz bedeutet eine Verstärkung, destruktive Interferenz bedeutet eine Auslöschung.
  • Der Gangunterschied \(\Delta s\) zwischen den zwei Quellen und dem Empfänger bestimmt, ob konstruktive oder destruktive Interferenz auftritt.
  • Es kann an mehreren Orten konstruktive bzw. destruktive Interferenz auftreten.

Der Begriff "Interferenz"

Die Überlagerung von Wellen wird als Interferenz bezeichnet. Dabei sind zwei Fälle von besonderer Bedeutung: konstruktive Interferenz und destruktive Interferenz. Bei konstruktiver Interferenz verstärken sich die einzelnen Wellen, bei destruktiver Interferenz löschen sich die Wellen gegenseitig aus.

Interferenzerscheinungen können in der Regel bei allen Wellenphänomenen auftreten, also nicht nur bei Schallwellen sondern auch bei Wasserwellen und bei Licht. Bei Schall führt konstruktive Interferenz zu höherer Lautstärke, destruktive Interferenz zu Stille.

Zwei-Quellen-Interferenz

Im einfachsten Fall der gibt es nur zwei Sender (Quellen) von denen Wellen ausgehen. Man spricht hier von Zwei-Quellen-Interferenz (ZQI). Im Bereich der Akustik und Schallwellen sind die Sender meist zwei Lautsprecher, von denen Elementarwellen ausgehen.

Vereinfachend wollen wir annehmen, dass die betrachteten Wellen harmonisch sind und gleiche Amplitude, Frequenz und Schwingungsrichtung besitzen. Dies ist bspw. erfüllt, wenn zwei Lautsprecher bei einen Ton von 440 Hz ausgeben.

Zwei wichtige Fälle

Stehen die beiden Lautsprecher (Sender S1 und S2) an einer Wand und sind in den Raum gerichtet, so erzeugen die Lautsprecher zwei Kreiswellensysteme. Der Empfänger E, der in einigem Abstand von den Sendern irgendwo im Raum steht, kann ein Mikrofon oder dein Ohr sein. Der Empfänger registriert die Überlagerung der beiden von den Lautsprechern ausgehenden Wellen.  Bei der Überlagerung der Schallwellen treten an unterschiedlichen Orten die beiden folgenden Extremfälle auf.

Konstruktive Interferenz

Konstruktive Interferenz von Schallwellen
Abb.
1
Bedingung für konstruktive Interferenz
Ein Berg von Welle 1 trifft auf einen Berg von Welle 2 oder ein Tal von Welle 1 trifft auf ein Tal von Welle 2. In diesem Fall kommt es zur Maximalauslenkung - die Lautstärke hier ist am größten.

Zur konstruktiven Interferenz kommt es immer dann, wenn der Gangunterschied\(\Delta s\) einem vielfachen der Wellenlänge \(\lambda\) ist, als für \(\Delta s = \left| {\overline {{S_2}E}  - \overline {{S_1}E} } \right|\) gilt
\[\Delta s = n \cdot \lambda\;\;\; \rm{mit}\;\;\; n \in \left\{ {\color{Red}{0}\;;\;1\;;\;2\;;\;...} \right\}\]

Man spricht für \(n = 0 \Rightarrow \Delta s = 0 \cdot \lambda = 0\) vom Maximum 0. Ordnung.

Für \(n = 1 \Rightarrow \Delta s = 1 \cdot \lambda = \lambda\) kommt es zum Maximum 1. Ordnung.

Destruktive Interferenz

Destruktive Interferenz bei Wellen
Abb.
2
Bedingung für destruktive Interferenz
Ein Berg von Welle 1 trifft auf ein Tal von Welle 2 oder ein Tal von Welle 1 trifft auf einen Berg von Welle 2. In diesem Fall kommt es zur Auslöschung - es kann kein Ton mehr wahrgenommen werden.

Zur destruktiven Interferenz kommt es immer dann, wenn die beiden Wellen um \(\frac{\lambda}{2}\) gegeneinander verschoben sind und der Gangunterschied \(\Delta s = \left| {\overline {{S_2}E}  - \overline {{S_1}E} } \right|\) die Werte \(\frac{\lambda }{2}\), \(3 \cdot \frac{\lambda }{2}\), \(5 \cdot \frac{\lambda }{2}\) usw. annimmt.

Mathematisch elegant kannst du dies in der folgenden Form schreiben:
\[\Delta s = \left( {n - \frac{1}{2}} \right) \cdot \lambda \;\;\; \rm{mit}\;\;\;n \in \left\{ {\color{Red}{1}\;;\;2\;;\;3\;;\;...} \right\}\]

Man spricht für \(n = 1 \Rightarrow \Delta s = \left( {1 - \frac{1}{2}} \right) \cdot \lambda  = \frac{\lambda }{2}\) vom Minimum 1.Ordnung.

Das Wichtigste auf einen Blick

  • Allgemein gilt für den Gangunterschied \(\Delta s = \left| {\overline {{S_2}E} - \overline {{S_1}E} } \right|\)
  • Im Falle eines rechtwinkligen Aufbaus hilft der Satz des Pythagoras
  • Bei weit entferntem Empfänger kann die Kleinwinkelnäherung genutzt werden und \(\Delta s = b \cdot \frac{d}{a}\)

Allgemeiner Fall

Allgemein gilt für den Gangunterschied im Falle von zwei Quellen immer \[\Delta s = \left| {\overline {{S_2}E} - \overline {{S_1}E} } \right|\] Für zwei besondere Fälle lässt sich dieser Gangunterschied besonders leicht ausrechnen.

Gangunterschied \(\Delta s\) bei rechtwinkligem Dreieck

Interferenz von Schallwellen bei rechtwinkliger Ausrichtung
Abb.
3
Interferenz von Schallwellen bei rechtwinkligem Spezialfall
Besonders einfach ist die Berechnung des Gangunterschiedes \(\Delta s\), wenn der Empfänger auf einer Linie mit einer der beiden Quellen liegt. Dann bilden die drei Punkte \(\rm{S_1,\,S_2,\, E}\) ein rechtwinkliges Dreieck. Mithilfe des Satzes von Pythagoras kannst du so bei zwei bekannten bzw. gegebenen Strecken die dritte Strecke berechnen, also auch \(s_1\) und \(s_2\). Da für den Gangunterschied allgemein \(\Delta s=\left| s_1-s_2\right|\) gilt, folgt der Gangunterschied direkt aus den bekannten Strecken des rechtwinkligen Dreiecks.

Gangunterschied \(\Delta s\) in großer Entfernung von den Quellen

Die Berechnung der sogenannten Winkelweite \(\alpha\), unter der konstruktive oder destruktive Interferenz auftritt, wird dann besonders einfach, wenn die Entfernung \(a\) des Empfängers E sehr groß gegenüber dem Abstand \(b\) der beiden Sender ist (\(b \ll a\)). In diesem Fall sind die Geraden \(\overline{\rm{S_1 E}}\)  und \(\overline{\rm{S_2 E}}\) nahezu parallel und der Winkel \(\alpha\) sehr klein.

Interferenz von Schallwellen bei großem Abstand Sender Empfänger
Abb.
4
Interferenz von Schallwellen bei großem Abstand Sender Empfänger

Aus der Zeichnung kann man entnehmen, dass für den Gangunterschied \(\Delta s\) gilt
\[\sin \left( \alpha  \right) = \frac{{\Delta s}}{b} \Leftrightarrow \Delta s = b \cdot \sin \left( \alpha  \right) \quad (1)\]
Außerdem gilt
\[\tan (\alpha ) = \frac{d}{a}\quad (2)\]
Ist \(\alpha\) sehr klein (d.h. in der Schulpraxis \(\alpha<5^\circ \)), so stimmt der Sinus und der Tangens eines Winkels gut überein, d.h. es gilt \(\tan (\alpha ) \approx \sin (\alpha )\); man nennt dies die Kleinwinkelnäherung. Mit dieser Näherung folgt dann aus \((1)\) und \((2)\)
\[\Delta s = b \cdot \tan \left(\alpha \right) = b \cdot \frac{d}{a}\]

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