Akustische Wellen

Wir nutzen die Formel zur Berechnung der Frequenz bei sich näherndem Sender\[f' = f \cdot \frac{c}{{c - v_{\rm{S}}}}\]Setzen wir für \(f'=\frac{c}{\lambda'}\) und \(f=\frac{c}{\lambda}\) ein und bilden auf beiden Seiten der Gleichung den Kehrwert der Brüche, so erhalten wir\[f' = f \cdot \frac{c}{{c - {v_{\rm{S}}}}} \Rightarrow \frac{c}{{\lambda '}} = \frac{c}{\lambda } \cdot \frac{c}{{c - {v_{\rm{S}}}}} \Leftrightarrow \frac{{\lambda '}}{c} = \frac{\lambda }{c} \cdot \frac{{c - {v_{\rm{S}}}}}{c}\]Wir multiplizieren beide Seiten der Gleichung mit \(c\), formen den Bruch auf der rechten Seite um und erhalten\[\lambda ' = \lambda  \cdot \frac{{c - {v_{\rm{S}}}}}{c} = \lambda  \cdot \left( {1 - \frac{v_{\rm{S}}}{c}} \right)\]Lösen wir diese Gleichung nun nach \(\frac{v_{\rm{S}}}{c}\) auf, so erhalten wir\[\frac{{{v_{\rm{S}}}}}{c} = \frac{{\lambda  - \lambda '}}{\lambda }\]Mit \(\lambda=13\,\rm{cm}\) und \(\lambda'=8\,\rm{cm}\) erhalten wir beim Einsetzen der gegebenen Werte (bei zwei gültigen Ziffern Genauigkeit)\[\frac{{{v_{\rm{S}}}}}{c} = \frac{{13\,{\rm{cm}} - 8\,{\rm{cm}}}}{{13\,{\rm{cm}}}} = 0{,}38\]

Wir berechnen zuerst die Ausbreitungsgeschwindigkeit des Schalls. Mit \(\lambda = 13\,\rm{cm}=0{,}13\,\rm{m}\) und \(f=2{,}6\,\rm{kHz}=2{,}6 \cdot 10^3\,\rm{Hz}\) erhalten wir mit der Formel für die Wellenlänge einer harmonischen Welle\[\lambda  = \frac{c}{f} \Leftrightarrow c = \lambda  \cdot f\]beim Einsetzen der gegebenen Werte (bei zwei gültigen Zffern Genauigkeit)\[c = 0{,}13\,{\rm{m}} \cdot 2{,}6 \cdot {10^3}\,{\rm{Hz}} = 340\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\]Aus dem Ergebnis von Teilaufgabe a) erhalten wir für die Geschwindigkeit der Schallquelle\[\frac{v_{\rm{S}}}{c} = 0{,}38 \Leftrightarrow v_{\rm{S}}=0{,}38 \cdot c\]und damit (bei zwei gültigen Ziffern Genauigkeit)\[v_{\rm{S}}=0{,}38 \cdot 340\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}=130\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\]

Wenn sich die Schallquelle vom Beobachter wegbewegt, gilt für die Wellenlänge, die der Beobachter registriert\[\lambda'=\lambda + v_{\rm{S}} \cdot T = \lambda + v_{\rm{S}} \cdot \frac{1}{f}\]Mit \(\lambda=13\,\rm{cm}=0{,}13\,\rm{m}\), \(v_{\rm{S}}=130\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\) und \(f=2{,}6\,\rm{kHz}=2{,}6 \cdot 10^3\,\rm{Hz}\) erhalten wir (bei zwei gültigen Ziffern Genauigkeit)\[\lambda ' = 0{,}13\,{\rm{m}} + 130\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} \cdot \frac{1}{{2{,}6 \cdot {{10}^3}\,{\rm{Hz}}}} = 0{,}18\,{\rm{m}} = 18\,{\rm{cm}}\]