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Grundwissen

DOPPLER-Effekt

Das Wichtigste auf einen Blick

  • Der Doppler-Effekt ist die zeitliche Stauchung bzw. Dehnung einer Welle durch die Veränderungen des Abstands zwischen Sender und Empfänger.
  • Man unterscheidet häufig, ob sich der Sender oder der Empfänger bewegt. Der andere ist zur Vereinfachung in Ruhe.
  • Verkleinert sich der Abstand Sender-Empfänger so steigt die wahrgenommene Frequenz.
  • Vergrößert sich der Abstand so sinkt die wahrgenommene Frequenz,
Aufgaben Aufgaben
©  W. Fendt 1998
HTML5-Canvas nicht unterstützt!
Abb. 1 DOPPLER-Effekt am Beispiel eines vorbeifahrenden Notarztwagens

Diese Simulation zeigt einen Notarztwagen, der mit eingeschaltetem Martinshorn an einer Person vorbeifährt, die an der Straße steht. Solange das Fahrzeug näherkommt, nimmt die Person einen höheren Ton wahr (entsprechend einer höheren Frequenz); später, wenn sich das Fahrzeug wieder entfernt, hört sie einen niedrigeren Ton (niedrigere Frequenz).

Bemerkung: In einer Hinsicht ist diese App ausgesprochen unrealistisch: Damit der DOPPLER-Effekt deutlich zu erkennen ist, wurde eine extrem hohe Fahrzeuggeschwindigkeit (60 % der Schallgeschwindigkeit) vorausgesetzt.

Wir danken Herrn Walter Fendt für die Erlaubnis, diese HTML5/Javascript-Animation auf LEIFIphysik zu nutzen.

Bestimme durch Stoppen mit der Stoppuhr den zeitlichen Abstand zwischen zwei Wellenfronten beim sich nähernden und beim sich entfernenden Krankenwagen.

Errechne daraus und aus der Schallgeschwindigkeit \({c_{Schall}} = 334\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\) jeweils die (unrealistische) Frequenz.

Du hast sicher schon erlebt, dass sich eine Schallquelle auf dich zu bewegt hat (z.B. Krankenauto mit Sirene), bzw. dass du dich mit höherer Geschwindigkeit einer ruhenden Schallquelle genähert hast. In beiden Fällen tritt eine Frequenzänderung des gehörten Tones auf.

Dieses Phänomen, das in ähnlicher Form auch bei bewegten Lichtquellen auftritt, wurde von dem österreichischen Physiker Christian DOPPLER (1803 – 1853) geklärt. Man nennt dieses Phänomen seither den DOPPLER-Effekt.

Noch etwas detaillierter kannst du dir den DOPPLER-Effekt anhand der folgenden Simulation studieren. Die Schallgeschwindigkeit beträgt hier \(300\rm{\frac{m}{s}}\). Du kannst hierbei einige der relevanten Parameter variieren und die sich dadurch ergebenden Änderungen einprägen. Insbesondere können auch die Fälle untersucht werden, bei denen die Quellengeschwindigkeit größer als die Schallgeschwindigkeit ist (Überschallgeschwindigkeit).

SenderEmpfänger
Anfangsort
xS,0
Geschwindigkeit
vS
Frequenz
fS
Anfangsort
xE,0
Geschwindigkeit
vE
Frequenz
fE
HTML5-Canvas nicht unterstützt!
Abb. 2 DOPPLER-Effekt; verändert werden können die Frequenz des Sendesignals sowie Anfangsort und Geschwindigkeit von Sender und Empfänger

Bei der Analyse des DOPPLER-Effektes muss man zwei verschiedene Fälle unterscheiden.

1. Fall: Die Schallquelle bewegt sich – der Beobachter ruht (in Bezug zum Medium Luft)

Der höhere Ton bei der Annäherung der Quelle ist dadurch zu erklären, dass die Wellenberge in kürzeren Abständen beim Beobachter eintreffen, d.h. die Wellenlänge wird kleiner und bei fester Schallgeschwindigkeit \(c\) damit die gehörte Frequenz \(f’\) (zur Erinnerung: \(c = f’ \cdot \lambda\) ) größer.

Bei \(t=0\) sende die Quelle gerade einen Wellenberg (rot) ab. Zur Zeit \(t=T\) hat sich dieser Wellenberg um die Strecke \(\lambda \) ausgebreitet. Die Quelle (jetzt grün) hat sich in dieser Zeit um die Strecke \(v \cdot T\) bewegt und sendet gerade wieder einen Wellenberg (grün) aus.

Für die vom Beobachter registrierte Wellenlänge \(\lambda '\) gilt: \[\lambda ' = \lambda  - v \cdot T\] Die vom Beobachter registrierte Frequenz \(f'\) gilt dann \[f' = \frac{c}{{\lambda '}} = \frac{c}{{\lambda  - v \cdot T}} = \frac{c}{{\frac{c}{f} - v \cdot T}}\] Erweitern des Bruches mit \(f\) ergibt \[f' = f \cdot \frac{c}{{c - v \cdot T \cdot f}} = f \cdot \frac{c}{{c - v \cdot T \cdot \frac{1}{T}}} = f \cdot \frac{c}{{c - v}}\quad(1)\] Bewegt sich die Quelle vom Beobachter weg, so ist in obiger Formel \(v\) durch \((-v)\) zu ersetzen und es ergibt sich \[f' = f \cdot \frac{c}{{c + v}}(2)\] Die Frequenz wird also – wie die Erfahrung auch zeigt – kleiner.

Wie Sie in dem Applet beobachten konnten, kommt es für \(v > c\) zu einer Verdichtung der Wellenfronten. Die Einhüllende der Wellenberge wird als Machscher Kegel bezeichnet. An der Mantelfläche des Kegels summieren sich die Luftverdichtungen, es entsteht ein besonders starker Überdruck, der sich für den Beobachter in einem explosionsartigen Knall äußert. Ein mit Überschall fliegendes Flugzeug "schleppt" seinen "Düsenknall" auf dem Mantel des Machschen Kegels fortwährend hinter sich her.

Für den Öffnungswinkel des Machschen Kegels gilt \[\sin \left( {\frac{\alpha }{2}} \right) = \frac{{c \cdot t}}{{v \cdot t}} = \frac{c}{v}\]

von Ensign John Gay, U.S. Navy [Public domain],
via Wikimedia Commons

Die Abbildung zeigt einen Düsenjet der US-Navy, der gerade die Schallmauer durchbricht. Auf Grund günstiger atmosphärischer Bedingungen ist die Hüllkurve des machschen Kegels zu beobachten.

2. Fall: Die Schallquelle ruht (in Bezug zum Medium Luft) – der Beobachter bewegt sich

In diesem Fall ändert sich die Wellenlänge \(\lambda \) nicht. Die Frequenzverschiebung kommt nun dadurch zustande, dass sich die Relativgeschwindigkeit \( v_\text{rel} \) zwischen Schallwelle und Beobachter, die im ruhenden Fall die Schallgeschwindigkeit \( c \) ist, durch die Bewegung des Beobachters ändert.

a) Der Beobachter bewegt sich mit der Geschwindigkeit \( v \) auf die Quelle zu: \[{v_\text{rel}} = c + v \Rightarrow f' = \frac{{c + v}}{\lambda } = \frac{{c + v}}{{\frac{c}{f}}} = f \cdot \frac{{c + v}}{c}(3)\] Beachten Sie, dass die Formel \((3)\) nicht mit der Formel \((2)\) übereinstimmt.

b) Der Beobachter bewegt sich mit der Geschwindigkeit \( v \) von der Quelle weg: \[{v_\text{rel}} = c - v \Rightarrow f' = \frac{{c - v}}{\lambda } = \frac{{c - v}}{{\frac{c}{f}}} = f \cdot \frac{{c - v}}{c}(4)\] Beachten Sie, dass die Formel \((4)\) nicht mit der Formel \((1)\) übereinstimmt.

Zusammenfassung
diagramm_akustwellen_gru_0.gif Joachim Herz Stiftung
Frequenzen bei bewegter Quelle und/oder bewegtem Beobachter

Die Schallquelle bewegt sich – der Beobachter ruht (in Bezug zum Medium Luft)

Durch die Relativbewegung der Schallquelle zum Medium ändert sich für den Beobachter die Wellenlänge \(\lambda \) der Schallwelle.

Bewegt sich die Quelle auf den Beobachter zu, so steigt die Frequenz beim Beobachter gemäß \(f' = f \cdot \frac{c}{{c - v}} \quad(1)\).

Bewegt sich die Quelle vom Beobachter weg, so sinkt die Frequenz beim Beobachter gemäß \(f' = f \cdot \frac{c}{{c + v}} \quad(2)\).

Die Schallquelle ruht – der Beobachter bewegt sich (in Bezug zum Medium Luft)

Durch die Relativbewegung des Beobachters zum Medium ändert sich für den Beobachter die Ausbreitungsgeschwindigkeit \(c\) der Schallwelle.

Bewegt sich der Beobachter auf die Quelle zu, steigt die Frequenz beim Beobachter gemäß \(f' = f \cdot \frac{{c + v}}{c} \quad(3)\).

Bewegt sich der Beobachter von der Quelle weg, sinkt die Frequenz beim Beobachter gemäß \(f' = f \cdot \frac{{c - v}}{c} \quad(4)\).

In der graphischen Darstellung ist die Frequenz \(f’\) in Abhängigkeit vom Quotienten \(\frac{v}{c}\) der Geschwindigkeit \(v\) und der Schallgeschwindigkeit \(c\) für die vier verschiedenen Fälle dargestellt.

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