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Grundwissen

Gangunterschied bei zwei Quellen

Das Wichtigste auf einen Blick

  • Allgemein gilt für den Gangunterschied \(\Delta s = \left| {\overline {{S_2}E} - \overline {{S_1}E} } \right|\)
  • Im Falle eines rechtwinkligen Aufbaus hilft der Satz des Pythagoras
  • Bei weit entferntem Empfänger kann die Kleinwinkelnäherung genutzt werden und \(\Delta s = b \cdot \frac{d}{a}\)

Allgemeiner Fall

Allgemein gilt für den Gangunterschied im Falle von zwei Quellen immer \[\Delta s = \left| {\overline {{S_2}E} - \overline {{S_1}E} } \right|\] Für zwei besondere Fälle lässt sich dieser Gangunterschied besonders leicht ausrechnen.

Gangunterschied \(\Delta s\) bei rechtwinkligem Dreieck

schallwellen_interferenz_gangunterschied_rechtwinklig.svg Joachim Herz Stiftung
Abb. 3 Interferenz von Schallwellen bei rechtwinkligem Spezialfall
Besonders einfach ist die Berechnung des Gangunterschiedes \(\Delta s\), wenn der Empfänger auf einer Linie mit einer der beiden Quellen liegt. Dann bilden die drei Punkte \(\rm{S_1,\,S_2,\, E}\) ein rechtwinkliges Dreieck. Mithilfe des Satzes von Pythagoras kannst du so bei zwei bekannten bzw. gegebenen Strecken die dritte Strecke berechnen, also auch \(s_1\) und \(s_2\). Da für den Gangunterschied allgemein \(\Delta s=\left| s_1-s_2\right|\) gilt, folgt der Gangunterschied direkt aus den bekannten Strecken des rechtwinkligen Dreiecks.

Gangunterschied \(\Delta s\) in großer Entfernung von den Quellen

Die Berechnung der sogenannten Winkelweite \(\alpha\), unter der konstruktive oder destruktive Interferenz auftritt, wird dann besonders einfach, wenn die Entfernung \(a\) des Empfängers E sehr groß gegenüber dem Abstand \(b\) der beiden Sender ist (\(b \ll a\)). In diesem Fall sind die Geraden \(\overline{\rm{S_1 E}}\)  und \(\overline{\rm{S_2 E}}\) nahezu parallel und der Winkel \(\alpha\) sehr klein.

schallwellen_interferenz_grosser_abstand_se.svg Joachim Herz Stiftung
Abb. 4 Interferenz von Schallwellen bei großem Abstand Sender Empfänger

Aus der Zeichnung kann man entnehmen, dass für den Gangunterschied \(\Delta s\) gilt
\[\sin \left( \alpha  \right) = \frac{{\Delta s}}{b} \Leftrightarrow \Delta s = b \cdot \sin \left( \alpha  \right) \quad (1)\]
Außerdem gilt
\[\tan (\alpha ) = \frac{d}{a}\quad (2)\]
Ist \(\alpha\) sehr klein (d.h. in der Schulpraxis \(\alpha<5^\circ \)), so stimmt der Sinus und der Tangens eines Winkels gut überein, d.h. es gilt \(\tan (\alpha ) \approx \sin (\alpha )\); man nennt dies die Kleinwinkelnäherung. Mit dieser Näherung folgt dann aus \((1)\) und \((2)\)
\[\Delta s = b \cdot \tan \left(\alpha \right) = b \cdot \frac{d}{a}\]