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Grundwissen

Saitenschwingung

Das Wichtigste auf einen Blick

  • Jede Eigenschwingung lässt sich eindeutig aus sinusförmigen Eigenschwingungen zusammensetzen.
  • Die Klanghöhe wird durch den Grundton (Frequenz \(f_0\)) bestimmt, welcher durch die Grundschwingung hervorgerufen wird.
  • Die Klangfarbe wird durch die Obertöne bestimmt, welche durch die Oberschwingungen hervorgerufen werden.
Aufgaben Aufgaben

Bei den Saiteninstrumenten wird eine gespannte Saite durch Zupfen, Streichen oder durch den Schlag eines kleinen Hammers (z.B. Klavier) zu Schwingungen angeregt. Dabei können recht komplexe Schwingungsformen auftreten, die deutlich von den sinusförmigen stehenden Wellen wie wir sie am Gummiseil beobachtet haben, abweichen.

Grundsätzlich ist eine schwingende Saite keine sehr intensive Schallquelle, da durch sie nur wenig Luft in Bewegung gesetzt wird. Daher wird die gespannte Saite über einen sogenannten Steg geführt. Dieser wiederum überträgt die Schwingungen auf einen Holzkörper z.B. den Korpus einer Violine, der eine im Verhältnis zur Saite wesentlich größere Oberfläche besitzt.

Dreiecksform der Saitenschwingung

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Abb. 2 Dreiecksschwingung einer gezupften Saite

Zupfst du eine Saite in ihrer Mitte an, so schwingt die Saite als Ganzes nicht sinusförmig. Vielmehr erinnert die Schwingungsform an ein Dreieck bzw. an eine Rampe. Im Folgenden wollen wir als einfaches Modell einer schwingenden Saite diese Dreiecksschwingung benutzen.

Sinusschwingungen für alle periodische Schwingungen 

Der französische Mathematiker und Physiker Jean Baptiste Joseph FOURIER (1768 - 1830) hat nachgewiesen, dass sich jedes periodische Signal - z.B. auch eine Dreiecksschwingung - aus Sinusschwingungen aufbauen lässt. Welche Schwingungen man dazu auswählen muss, ist mathematisch komplex und mit Schulmathematik nicht zu lösen. Es gibt jedoch eine Vielzahl von Computerprogrammen und Apps wie "phyphox", mit deren Hilfe man vorgegebene Kurvenformen in Sinusschwingungen zerlegen kann (Fourier-Transformation).

Dreiecksschwingung aus verschiedenen Sinusschwingungen

Für den Aufbau unseres oben gezeigten Dreieckssignals kann man z.B. folgende Sinusfunktionen benutzen: \[\begin{eqnarray}y\left( x \right) &=& \frac{1}{{{1^2}}} \cdot \sin \left( x \right) \quad {\rm{(Grundschwingung,\;Frequenz}}\;{f_0}{\rm{)}}\\ &-& \frac{1}{{{3^2}}} \cdot \sin \left( {3 \cdot x} \right)\quad {\rm{(2.\;Oberschwingung,\;Frequenz}}\;{3 \cdot f_0}{\rm{)}}\\ &+& {\rm{ }}\frac{1}{{{5^2}}} \cdot \sin \left( {5 \cdot x} \right)\quad {\rm{(4.\;Oberschwingung,\;Frequenz}}\;{5 \cdot f_0}{\rm{)}}\\ &-& \frac{1}{{{7^2}}} \cdot \sin \left( {7 \cdot x} \right)\quad {\rm{(6.\;Oberschwingung,\;Frequenz}}\;{7 \cdot f_0}{\rm{)}}\\ &+& {\rm{ }}\frac{1}{{{9^2}}} \cdot \sin \left( {9 \cdot x} \right)\quad {\rm{(8.\;Oberschwingung,\;Frequenz}}\;{9 \cdot f_0}{\rm{)}}\\ &-& \;...\end{eqnarray}\]

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Abb. 3 Überlagerung verschiedener Sinusschwingungen zu einer Dreiecksschwingung

In Abb. 3 kannst du dir neben der Dreiecksschwingung auch einige der verschiedenen  Sinusschwingungen einblenden lassen, aus denen sich die Dreiecksschwingung zusammensetzen lässt. Wenn Du dir auch die Summe der aktivierten Sinusschwingungen anzeigen lässt, kannst du sehen, dass mit jeder zusätzlichen Oberschwingung die Summe der Sinusschwingungen sich etwas mehr der Dreiecksschwingung annähert.

Frequenzspektrum

Joachim Herz Stiftung
Abb. 4 Frequenzspektrum einer Saitenschwingung

Die Frequenzen und die Amplituden der Sinusschwingungen, die man zum Aufbau des periodischen Signals - im Beispiel unsere Dreiecksschwingung -  benötigt, stellt man häufig in einem sogenannten Frequenzspektrum dar. Abb. 4 zeigt ein entsprechendes Beispiel.

Klanghöhe und Klangfarbe eines Tones

Du kannst mit verschiedenen Instrumenten Töne gleicher Höhe spielen. Dennoch klingen die Töne auf verschiedenen Instrumenten natürlich unterschiedlich. Ursache hier ist, dass die Klanghöhe durch den Grundton (Frequenz \(f_0\)) bestimmt wird, welcher durch die Grundschwingung hervorgerufen wird. Die Klangfarbe des Tones wird aber durch die Obertöne bestimmt, welche durch die Oberschwingungen hervorgerufen werden. Und bei verschiedenen Instrumenten sind verschiedene Oberschwingungen unterschiedlich stark ausgeprägt.

Hinweis: Weitere Informationen findest du auf den FOURIER-Seiten.

Aufgaben

Saitenschwingung

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