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Grundwissen

Saitenschwingung

Das Wichtigste auf einen Blick

  • Jede Eigenschwingung lässt sich eindeutig aus sinusförmigen Eigenschwingungen zusammensetzen.
  • Die Klanghöhe wird durch den Grundton (Frequenz \(f_0\)) bestimmt, welcher durch die Grundschwingung hervorgerufen wird.
  • Die Klangfarbe wird durch die Obertöne bestimmt, welche durch die Oberschwingungen hervorgerufen werden.
Aufgaben Aufgaben

Bei den Saiteninstrumenten wird eine gespannte Saite durch Zupfen, Streichen oder durch den Schlag eines kleinen Hammers (z.B. Klavier) zu Schwingungen angeregt. Dabei können recht komplexe Schwingungsformen auftreten, die deutlich von den sinusförmigen stehenden Wellen wie wir sie am Gummiseil beobachtet haben, abweichen.

Grundsätzlich ist eine schwingende Saite keine sehr intensive Schallquelle, da durch sie nur wenig Luft in Bewegung gesetzt wird. Daher wird die gespannte Saite über einen sogenannten Steg geführt. Dieser wiederum überträgt die Schwingungen auf einen Holzkörper z.B. den Korpus einer Violine, der eine im Verhältnis zur Saite wesentlich größere Oberfläche besitzt.

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Abb. 2 Dreiecksschwingung einer gezupften Saite

Zupft man eine Saite in ihrer Mitte an, so schwingt die Saite als Ganzes nicht sinusförmig. Vielmehr erinnert die Schwingungsform an ein Dreieck bzw. an eine Rampe. Im Folgenden wollen wir als einfaches Modell einer schwingenden Saite diese Dreiecksschwingung benutzen.

Der französische Mathematiker und Physiker Jean Baptiste Joseph FOURIER (1768 - 1830) hat nun nachgewiesen, dass sich jedes periodische Signal - z.B. auch eine Dreiecksschwingung - aus Sinusschwingungen aufbauen lässt. Welche Schwingungen man dazu auswählen muss, ist mathematisch auf dieser Stufe nicht nachvollziehbar. Es gibt jedoch eine Vielzahl von zum Teil hochprofessionellen Computerprogrammen, mit deren Hilfe man vorgegebene Kurvenformen in Sinusschwingungen zerlegen kann.

Für den Aufbau unseres oben gezeigten Dreieckssignals kann man z.B. folgende Sinusfunktionen benutzen: \[\begin{eqnarray}y\left( x \right) &=& \frac{1}{{{1^2}}} \cdot \sin \left( x \right) \quad {\rm{(Grundschwingung,\;Frequenz}}\;{f_0}{\rm{)}}\\ &-& \frac{1}{{{3^2}}} \cdot \sin \left( {3 \cdot x} \right)\quad {\rm{(2.\;Oberschwingung,\;Frequenz}}\;{3 \cdot f_0}{\rm{)}}\\ &+& {\rm{ }}\frac{1}{{{5^2}}} \cdot \sin \left( {5 \cdot x} \right)\quad {\rm{(4.\;Oberschwingung,\;Frequenz}}\;{5 \cdot f_0}{\rm{)}}\\ &-& \frac{1}{{{7^2}}} \cdot \sin \left( {7 \cdot x} \right)\quad {\rm{(6.\;Oberschwingung,\;Frequenz}}\;{7 \cdot f_0}{\rm{)}}\\ &+& {\rm{ }}\frac{1}{{{9^2}}} \cdot \sin \left( {9 \cdot x} \right)\quad {\rm{(8.\;Oberschwingung,\;Frequenz}}\;{9 \cdot f_0}{\rm{)}}\\ &-& \;...\end{eqnarray}\]

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Abb. 3 Überlagerung verschiedener Sinusschwingungen zu einer Dreiecksschwingung

Die Frequenzen und die Amplituden der Sinusschwingungen, die man zum Aufbau des periodischen Signals - im Beispiel unsere Dreiecksschwingung -  benötigt, stellt man häufig in einem sogenannten Frequenzspektrum dar.

 

Zusammenfassung

  • Jede Eigenschwingung lässt sich eindeutig aus sinusförmigen Eigenschwingungen zusammensetzen.

  • Zur Darstellung des Klanges verwendet man ein Frequenzspektrum.

  • Die Klanghöhe wird durch den Grundton (Frequenz \(f_0\)) bestimmt, welcher durch die Grundschwingung hervorgerufen wird.

  • Die Klangfarbe wird durch die Obertöne bestimmt, welche durch die Oberschwingungen hervorgerufen werden.

Hinweis: Weitere Informationen findest du auf den FOURIER-Seiten.

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