Lineare Bewegung - Gleichungen

Mechanik

Lineare Bewegung - Gleichungen

  • Was versteht man unter einem Zeit-Orts-Diagramm?
  • Geschwindigkeit - Beschleunigung – was ist denn der Unterschied?
  • Wie bestimmt man eine Momentangeschwindigkeit?
  • Von Reaktionszeiten und Bremswegen …

Vorbemerkung

Zur Vereinfachung werden in diesem Kapitel meist nur eindimensionale Bewegungen betrachtet. Dies bedeutet, dass sich das bewegte Objekt nur längs einer Geraden bewegt.

Will man die Bewegung eines Gegenstands (z.B. Modellauto) dokumentieren, so kann man die Bewegung beispielsweise filmen. Beim Film wird jedem Bild von der in die Kamera eingebauten Uhr ein Zeitpunkt zugeordnet. Den Ort des Autos kann man z.B. gut feststellen, wenn die Bewegung vor einem Maßband ablaufen lässt und dieses Maßband mitgefilmt wird.

Anstelle der Kamera genügt zur Feststellung der Zeitpunkte an denen sich das Auto an einem bestimmten Ort befindet bereits eine gewöhnliche Uhr. Notiert man z.B. zu jeder Sekunde den Ort an dem sich das Auto befindet, so ist Bewegung vollständig dokumentiert. In einer Tabelle kann man die Zeit-Orts-Wertepaare niederlegen.

Zeit-Orts-Tabelle (die Daten beziehen sich auf die folgende Animation)

t in s 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32
x in m 20 20 20 20 20 20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 60 60 60 60 60 60 61
t in s 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65
x in m 62 64 66 69 72 76 80 85 90 95 99 103 107 111 114 117 120 123 123 123 123 123 123 121 120 119 118 116 115 114 113 111 110

Zeit - Orts - Diagramm

Etwas anschaulicher als in einer Tabelle ist die Darstellung der Bewegung im sogenannten Zeit-Orts-Diagramm. Üblicherweise wählt man die Ortsachse als Hochwertachse und die Zeitachse als Rechtswertachse. Merke: Immer die zuerst genannte Achse ist die horizontale oder Rechtswertachse (vergleiche hierzu auch das \(x\)-\(y\)-Diagramm in der Mathematik)



 

Hinweis: Völlig "ruckartige" Bewegungsänderungen kommen in der Praxis nicht vor. Dies bedeutet, dass die "Knicke" im Zeit-Orts-Diagramm eigentlich nicht sinnvoll sind. Zugunsten einer einfacheren Darstellung leisten wir uns diese Ungenauigkeit.

Aus der Animation können einige allgemeine Erkenntnisse und Vorgehensweisen abgeleitet werden:

  • Damit der jeweilige Ort des Gegenstands eindeutig festgelegt werden kann, führt man eine Ortsachse ein. Die Richtung der Ortsachse legt man in die (überwiegend) auftretende Bewegungsrichtung.

  • Meist legt man den Nullpunkt der Ortsachse an die Stelle, wo die Bewegung beginnt (dies ist bei der Animation nicht der Fall gewesen).

  • Waagrechte Teile des Zeit-Orts-Graphen signalisieren, dass der Gegenstand in dem Zeitintervall ruht (Abschnitte 1, 4 und 7).

  • Steigt der Zeit-Orts-Graph an (positive Geradensteigung, bzw. positive Tangentensteigung bei gekrümmten Graphen), so bewegt sich der Gegenstand in Richtung der festgelegten Ortsachse (Abschnitte 2, 3, 5 und 6).

  • Fällt der Zeit-Orts-Graph (negative Geradensteigung, bzw. negative Tangentensteigung bei gekrümmten Graphen), so bewegt sich der Gegenstand entgegen der Richtung der festgelegten Ortsachse (der Gegenstand bewegt sich rückwärts wie in Abschnitt 8).

  • Je schneller sich der Gegenstand bewegt desto höher ist der Betrag der Steigung des Graphen, d.h. die Steigung im Zeit-Orts-Diagramm ist ein Maß für die Geschwindigkeit des Gegenstands (vergleiche hierzu Abschnitt 2 mit 3).

  • Bei einem gekrümmten Zeit-Orts-Graphen gilt:

    • Nimmt die Steigung mit der Zeit zu, so handelt es sich um eine beschleunigte Bewegung (der Geschwindigkeitsbetrag nimmt zu wie in Abschnitt 5).

    • Nimmt die Steigung mit der Zeit ab, so handelt es sich um eine verzögerte Bewegung (der Geschwindigkeitsbetrag nimmt ab wie in Abschnitt 6).

Häufige Fehlvorstellung: Das obige t-x-Diagramm verleitet leicht zur (falschen) Annahme, dass z.B. das Auto eine Fahrt über mehrere Gebirgspässe macht und das Diagramm das entsprechende Höhenprofil ist (dann würde aber ein x-y-Diagramm vorliegen). Tatsächlich führt das Auto eine eindimensionale Bewegung in der Horizontalen aus. Die Rechtswertachse ist keine Orts- sondern eine Zeitachse.

Für die im Zeit-Orts-Diagramm vorgestellte Bewegung wird in der folgenden Animation nochmals (allerdings verkleinert) dargestellt. Unter diesem Zeit-Orts-Diagramm (\(t\)-\(x\)-Diagramm) findest du das zugehörige Zeit-Geschwindigkeits-Diagramm (\(t\)-\(v\)-Diagramm).


 

Hinweis: Völlig "ruckartige" Bewegungsänderungen kommen in der Praxis nicht vor. Dies bedeutet, dass die "Knicke" auch im Zeit-Geschwindigkeits-Diagramm eigentlich nicht sinnvoll sind. Zugunsten einer einfacheren Darstellung leisten wir uns diese Ungenauigkeit.

Aus der Animation können einige allgemeine Erkenntnisse abgeleitet werden:

  • Ein horizontaler Verlauf des Graphen im \(t\)-\(v\)-Diagramm weist auf eine gleichförmige Bewegung hin.

  • Liegt der horizontale Verlauf des \(t\)-\(v\)-Graphen auf der \(t\)-Achse, so ruht der Körper (\(v = 0\)).

  • Ansteigende bzw. abfallende Kurventeile im \(t\)-\(v\)-Diagramm weisen auf Beschleunigungsvorgänge hin (Änderung des Geschwindigkeitsbetrags bei der eindimensionalen Bewegung).

Im Folgenden besteht die Möglichkeit, die Zeit-Orts- und Zeit-Geschwindigkeits-Diagramme verschiedener typischer Bewegungen eines Körpers zu betrachten:

Der Körper ruht

Der Körper bewegt sich gleichförmig mit verschiedenen Geschwindigkeiten vorwärts

Der Körper bewegt sich rückwärts und kommt anschließend zur Ruhe

Der Körper bewegt sich anfangs beschleunigt, dann kurz gleichförmig und dann verzögert

Eine Kugel bewegt sich zwischen zwei schiefen Ebenen und einer Horizontalen

Eine Kugel schwingt eine volle Schwingung an einer Feder

Im Folgenden besteht die Möglichkeit, die Zeit-Orts-, Zeit-Geschwindigkeits- und Zeit-Beschleunigungs-Diagramme von gleichförmigen Bewegungen mit positiven und negativen Geschwindigkeiten und verschiedenen Anfangsbedingungen zu betrachten.

Die folgenden Animationen beiden zeigen den tieferen mathematischen Zusammenhang zwischen den beiden Diagrammen: aus dem Zeit-Orts-Diagramm lässt sich zu jedem Zeitpunkt die momentane Geschwindigkeit bestimmen, umgekehrt aber auch aus dem Zeit-Geschwindigkeits-Diagramm zu jedem Zeitpunkt der momentane Ort (bei Kenntniss des Startortes).

Vom Zeit-Orts-Diagramm zum Zeit-Geschwindigkeits-Diagramm


Vom Zeit-Geschwindigkeits-Diagramm zum Zeit-Orts-Diagramm


Graphische Interpretation

Die Steigung im \(t\)-\(x\)-Diagramm ist ein Maß für die Geschwindigkeit

Graphische Interpretation

Die Fläche unter dem \(t\)-\(v\)-Graphen ist ein Maß für den zurückgelegten Weg.

Wenn du die Grundwissensseite über die gleichförmige Bewegung durchgearbeitet hast, wirst du sofort erkennen, dass der folgende Graph, welcher die geradlinige Fahrt eines Autos dokumentiert, keine gleichförmige Bewegung beschreibt.

Charakterisiere die mit dem Graph dargestellte Bewegung in Worten.

Es ist offensichtlich, dass bei der betrachteten Bewegung Zeit und Ort nicht zueinander direkt proportional sind, dass also keine gleichförmige Bewegung vorliegt.

Um die "Schnelligkeit" einer nicht gleichförmigen Bewegung beschreiben zu können, haben die Physiker die Begriffe mittlere Geschwindigkeit \({\bar v}\) (auch Durchschnittsgeschwindigkeit genannt) und Momentangeschwindigkeit \(v\) geschaffen.

Zur Berechnung der mittleren Geschwindigkeit in einem Zeitraum (z.B. zwischen \(t = 0\) und \(t = {t_3}\)) dividiert man den zurückgelegten Weg \({\Delta x}\) durch die benötigte Zeit \({\Delta t}\). Damit ergibt sich folgende Definition:

Mittlere Geschwindigkeit (Durchschnittsgeschwindigkeit)
\[\bar v\; = \;\frac{{{x_e} - {x_a}}}{{{t_e} - {t_a}}} = \frac{{\Delta x}}{{\Delta t}} \Rightarrow [\bar v]\; = \;\frac{{[\Delta x]}}{{[\Delta t]}} = 1\frac{m}{s} = 1\frac{m}{s}\]

Hinweise:

  • Wahrscheinlich wirst du dir denken, dass diese Festlegung genauso ist, wie die Festlegung der Geschwindigkeit bei der gleichförmigen Bewegung. Die Definition der mittleren Geschwindigkeit ist jedoch nicht nur auf die gleichförmige Bewegung beschränkt, sondern ist auf alle Bewegungstypen anwendbar.

  • \({{x_e}}\) bzw. \({{t_e}}\) ist die Ortskoordinate bzw. der Zeitpunkt am Ende des betrachteten Zeitraums, \({{x_a}}\) und \({{t_t}}\) sind die entsprechenden Größen am Anfang des Zeitraums.

 

Die folgende Abbildung zeigt die Graphen zweier Bewegungen, deren mittlere Geschwindigkeiten (bezogen auf den gesamten Bewegungszeitraum) übereinstimmen, die aber trotzdem sehr verschieden sind:

Um Details in der "Schnelligkeit" einer Bewegung beschreiben zu können, hat man in der Physik den Begriff der Momentangeschwindigkeit eingeführt. Die Momentangeschwindigkeit beschreibt die "Schnelligkeit" in einem Zeitpunkt, die mittlere Geschwindigkeit charakterisiert die "Schnelligkeit" in einem (meist größeren) Zeitraum.

Wenn wir die Momentangeschwindigkeit beim links dargestellten Bewegungsablauf mit einfachen Werkzeugen ermitteln wollen, werden wir unsere Kenntnisse über die mittlere Geschwindigkeit einsetzen.

Um die Momentangeschwindigkeit des Autos zum Zeitpunkt t1 am Ort s1 zu ermitteln, kann man z.B. kurz vor s1 und kurz nach s1 Lichtschranken, welche den Abstand Δs haben, postieren. Man misst dann die Zeit Δt, die das Auto zum Passieren der beiden Lichtschranken benötigt. Dies ist die gleiche Vorgehensweise, die wir zur Ermittlung einer mittleren Geschwindigkeit kennen gelernt haben.

Um eine möglichst genaue Information über die Geschwindigkeit am Ort s1 zu bekommen, sollte der Abstand der beiden Lichtschranken so klein wie möglich sein (Δs → 0).

Hinweis: Hier siehst du schon, dass die Forderung Δs → 0 auf praktische Probleme stößt, da die Lichtschranken einander nicht beliebig genähert werden können.

Die Momentangeschwindigkeit v zum Zeitpunkt t ist die mit mittlere Geschwindigkeit in einem möglichst kleinen Zeitintervall Δt, das um den Zeitpunkt t gelegt wird.

 

Im Folgenden besteht die Möglichkeit, die Zeit-Orts-, Zeit-Geschwindigkeits- und Zeit-Beschleunigungs-Diagramme von gleichmäßig beschleunigten Bewegungen ohne Anfangsgeschwindigkeit mit verschiedenen Anfangsbedingungen zu betrachten.

Aufgabe: Herleitung einer weiteren Bewegungsgleichung für die konstant beschleunigte Bewegung ohne Anfangsgeschwindigkeit

Zeigen Sie, dass sich aus dem Zeit-Orts- und dem Zeit-Geschwindigkeits-Gesetz für die konstant beschleunigte Bewegung ohne Anfangsgeschwindigkeit die folgende (3. Bewegungsgleichung) herleiten lässt:
\[{v^2} = 2 \cdot a \cdot x\]
Hinweis: Diese dritte Bewegungsgleichung ist zwar überflüssig, da sie aus den beiden ersten Bewegungsgleichungen ableitbar ist; für die Lösung so mancher Aufgabe leistet sie aber sehr gute Dienste.

Im Folgenden besteht die Möglichkeit, die Zeit-Orts-, Zeit-Geschwindigkeits- und Zeit-Beschleunigungs-Diagramme von gleichmäßig beschleunigten Bewegungen ohne Anfangsgeschwindigkeit mit verschiedenen Anfangsbedingungen zu betrachten.

Aufgabe: Herleitung einer weiteren Bewegungsgleichung für die konstant beschleunigte Bewegung mit Anfangsgeschwindigkeit

Zeigen Sie, dass sich aus dem Zeit-Orts- und dem Zeit-Geschwindigkeits-Gesetz für die konstant beschleunigte Bewegung mit Anfangsgeschwindigkeit die folgende (3. Bewegungsgleichung) herleiten lässt:
\[{v^2} - {v_0}^2 = 2 \cdot a \cdot x\]
Hinweis: Diese dritte Bewegungsgleichung ist zwar überflüssig, da sie aus den beiden ersten Bewegungsgleichungen ableitbar ist; für die Lösung so mancher Aufgabe leistet sie aber sehr gute Dienste.

Im Folgenden besteht die Möglichkeit, die Zeit-Orts-, Zeit-Geschwindigkeits- und Zeit-Beschleunigungs-Diagramme von gleichmäßig verzögerten Bewegungen mit verschiedenen Anfangsbedingungen zu betrachten.

Aufgabe: Herleitung einer weiteren Bewegungsgleichung für die konstant verzögerte Bewegung

Zeigen Sie, dass sich aus dem Zeit-Orts- und dem Zeit-Geschwindigkeits-Gesetz für die konstant verzögerte Bewegung die folgende (3. Bewegungsgleichung) herleiten lässt:
\[{v^2} - {v_0}^2 = 2 \cdot a \cdot x\]
Hinweis: Diese dritte Bewegungsgleichung ist zwar überflüssig, da sie aus den beiden ersten Bewegungsgleichungen ableitbar ist; für die Lösung so mancher Aufgabe leistet sie aber sehr gute Dienste.

Die Bewegungsgleichungen haben das gleiche Aussehen wie bei der gleichmäßig beschleunigten Bewegung. Bei diesem Bremsvorgang muss man sich aber darüber klar sein, dass dass Vorzeichen von \(a\) entgegengesetzt dem Vorzeichen der Anfangsgeschwindigkeit \(v_0\) sein muss - bei üblicherweise positiver Anfangsgeschwindigkeit \(v_0\) also ein negativer Wert für \(a\).

Die Beschleunigung wird in den Autoprospekten in folgender Form angegeben:

Porsche Carrera: von 0 auf 100km/h ins 3,9s ; Fiat Punto: von 0 auf 100km/h in 14,5s

Mittlere Beschleunigung

Diagramm 1

In der Physik wird die Beschleunigung etwas kompakter und in Anlehnung an die Definition der Geschwindigkeit festgelegt:
\[ \text{mittlere Beschleunigung} = \frac{\text{Geschwindigkeitsänderung}}{\text{dafür benötigte Zeit}} \]
\[ \overline{a} = \frac{v_e - v_w}{t_e - t_a} \quad \Rightarrow \quad \left[ \overline{a} \right] = \frac{\left[ \Delta v \right]}{\left[ \Delta t \right]} = 1 \mathrm{\frac{\frac{m}{s}}{s}} = 1 \mathrm{\frac{m}{s^2}} \]
Hinweis: Nimmt die Geschwindigkeit im betrachteten Zeitraum ab, so wird \(\Delta v\) negativ und damit auch die mittlere Beschleunigung. Man spricht dann meist von negativer Beschleunigung oder Verzögerung.

  1. Berechne die mittlere Beschleunigung eines Fiat Punto und eines Porsche Carrera im Bereich zwischen 0 km/h und 100 km/h in der Einheit 1 m/s2.

  2. Beschreibe in Worten den Verlauf der Beschleunigung im Diagramm 1.

Momentanbeschleunigung

Die mittlere Beschleunigung gibt einen Durchschnittswert der Beschleunigung in einem gewissen Zeitintervall an. Will man die Momentanbeschleunigung zu einem Zeitpunkt t1 wissen, so geht man ganz ähnlich vor wie beim Übergang von der mittleren Geschwindigkeit zur Momentangeschwindigkeit:

Man legt um den fraglichen Zeitpunkt ein Zeitintervall und bestimmt die zugehörige Geschwindigkeitsänderung \(\Delta v\). Schließlich verkleinert man dieses Zeitintervall fortwährend, solange dies messtechnisch noch sinnvoll ist.

Die Momentanbeschleunigung \(a\) zum Zeitpunkt \(t_1\) ist die mit mittlere Beschleunigung in einem möglichst kleinen Zeitintervall \(\Delta t\), das um den Zeitpunkt \(t_1\) gelegt wird.

Neben der gleichförmigen Bewegung (v = const. a = 0), bei der die auf einen Körper wirkende resultierende Kraft Null ist, können Sie inzwischen auch Bewegungen behandeln, bei denen die wirkende Kraft konstant ist (a = const.). Die daraus resultierenden Bewegungsgleichungen wurden bereits in der 9. Jahrgangsstufe behandelt.
Bei realen Bewegungen ist es jedoch eher die Ausnahme, dass die Beschleunigung Null oder einen konstanter Wert hat. Um solche Bewegungen in den Griff zu bekommen, müsste man als mathematisches Hilfsmittel das Integrieren beherrschen, welches Sie erst in der Oberstufe zur Verfügung haben werden. Mit der Methode der kleinen Schritte, die man besonders bequem mit einem Computer anwenden kann lassen sich aber auch mit beschränktem mathematischen Aufwand komplexere Bewegungstypen behandeln.
Im Folgenden wird zunächst das Prinzip dieser Methode erläutert. Dann testen wir diese Methode an dem uns bereits bekannten Beispiel der konstant beschleunigten Bewegung (vertrauensbildende Maßnahme). Schließlich sind Sie dann in der Lage, diese Methode auf schwierigere Bewegungen (z.B. freier Fall mit Luftreibung) anzuwenden.

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